慣性矩轉(zhuǎn)軸公式的幾何法研究

陳合龍，邱戰(zhàn)洪

（臺(tái)州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

慣性矩轉(zhuǎn)軸公式的幾何法研究

陳合龍，邱戰(zhàn)洪

（臺(tái)州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

截面的慣性矩（積）是重要的截面參數(shù)，是進(jìn)行工程構(gòu)件設(shè)計(jì)的依據(jù)。慣性矩（積）轉(zhuǎn)軸公式常用于計(jì)算當(dāng)坐標(biāo)軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)截面的慣性矩（積）、計(jì)算主慣性矩，是材料力學(xué)的重要知識點(diǎn)。但轉(zhuǎn)軸公式并沒有指出最大主慣性矩和最小主慣性矩對應(yīng)的軸的位置。定義了廣義慣性積，重新研究了轉(zhuǎn)軸公式，得出更為直觀的轉(zhuǎn)軸公式的慣性矩圓表示方法，該方法簡單、概念明確，不失為轉(zhuǎn)軸公式的重要補(bǔ)充。

慣性矩；廣義慣性積；轉(zhuǎn)軸公式；慣性矩圓

0 前言

轉(zhuǎn)軸公式是材料力學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。在現(xiàn)行材料力學(xué)教材中［2，3］，轉(zhuǎn)軸公式可以計(jì)算當(dāng)坐標(biāo)軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)截面的慣性矩（積）、主慣性矩，并結(jié)合移軸公式，算得截面的最大和最小慣性矩。但是，傳統(tǒng)教材并沒有進(jìn)一步利用轉(zhuǎn)軸公式來確定最大和最小慣性矩對應(yīng)的軸的方位，因?yàn)橹苯舆\(yùn)用方程來解決這個(gè)問題比較冗繁復(fù)雜，而在桿件穩(wěn)定性分析中，這是關(guān)鍵性的問題［1］。因此，本文定義了廣義慣性積，之后順利地引出慣性矩圓，研究發(fā)現(xiàn)，利用慣性矩圓不僅可以確定當(dāng)坐標(biāo)軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)截面的慣性矩（積）的變化規(guī)律，而且能直觀地找出截面的最大和最小慣性矩對應(yīng)的軸的位置。該方法直觀，概念明確，不失為材料力學(xué)的相關(guān)知識點(diǎn)的補(bǔ)充。

1 截面的慣性矩和廣義慣性積

以圖1所示截面為例，截面面積為A，在截面所在平面上任意建立坐標(biāo)系xoy，定義積分：

（1）式和（2）式分別稱為截面對于x軸和y軸的慣性矩。定義積分：

（3）式和（4）式稱為截面對軸 xy 的廣義慣性積。式中，τ（xy）為排列“的逆序數(shù)，τ（yx）為排列“yx”的逆序數(shù)。不妨假定 x 的序號為 1，y 的序號為 2，則下標(biāo)“xy”的逆序次數(shù)為 0，即，而下標(biāo)“yx”的逆序次數(shù)為 1。因此（3）（4）兩式可改寫為：

圖1 任意截面

2 轉(zhuǎn)軸公式、慣性矩圓、主慣性軸

2.1 轉(zhuǎn)軸公式

當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性矩和慣性積會(huì)發(fā)生變化。如圖2所示，坐標(biāo)系x1o1y1相對于坐標(biāo)系xoy逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了角度α，已知截面對于坐標(biāo)系xoy的慣性矩和廣義慣性積：求對于坐標(biāo)系x1o1y1的慣性矩和廣義慣性積：

圖2 坐標(biāo)系相對轉(zhuǎn)動(dòng)

上式就是含有廣義慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。

2.2 慣性矩圓

圖3 慣性矩圓

2.3 主慣性軸

觀察慣性矩圓（圖3）可以發(fā)現(xiàn)，圓的一條直徑位于橫軸上，也就是說，存在這樣一個(gè)坐標(biāo)系，截面對于它的慣性矩中一個(gè)最大，一個(gè)最小，廣義慣性積為零，稱這一對坐標(biāo)軸為主慣性軸，對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩，如果主軸通過截面中心，則稱為中心主軸。不難求出

那么將坐標(biāo)系xoy順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α0，便得到坐標(biāo)系x′o′y′，且截面對于軸x′的慣性矩Ix′最大，對于軸y′的慣性矩 Iy′最小。通過 Ix-Iy、Ixy的正負(fù)號判斷 2α0屬于第幾象限，例如 Ix-Iy<0、Ixy＞0，則 2α0屬于第二象限。

如果截面有對稱軸，顯然，此對稱軸和與其正交的軸一定是主軸，因?yàn)榻孛鎸τ诖溯S系的慣性積為零。

3 結(jié)語

本文以慣性矩（積）轉(zhuǎn)軸公式為研究對象，利用公式中隱含的特征，運(yùn)用解析幾何的方法，并根據(jù)需要定義了廣義慣性積，利用慣性矩圓重新探討了轉(zhuǎn)軸公式，使轉(zhuǎn)軸公式的含義更清晰，概念更明確，新方法比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)軸公式更易于理解。

［1］費(fèi)奧多謝夫著.維成蔣譯.材料力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1985：113-121.

［2］孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)［M］（第五版）.北京：高等教育出版社，2009：336-340.

［3］（美）希伯勒.汪越勝等譯．材料力學(xué)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：635-638.

［4］李炯生，查建國．線性代數(shù)［M］．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1989：57-75.

Research on Transformation Equations of Moments and Products of inertia with Geometry

CHEN He-long，QIU Zhan-hong
(School of Architectural Engineering Taizhou University，Taizhou 318000，China)

The moments and products of inertia of a plane area are important parameters for section and the section designing basis. The transformation equations of moments and product are used to determine the new values of the moments and products of inertia and the Principal axis of inertia when the axises are rotated,but the maximum and minimum principal axis of inertia are not definite. This article defines the generalized products of inertia and derives a new type of transformation equations,and it appears that Using a circle to interpret the transformation equations is a better way.

moments of inertia；generalized products of inertia；transformation equations; circle of moments of inertia

周小莉）

O345

A

1672-3708（2010）03-0054-04

2010-04-23；

2010-05-08

陳合龍（1983- ），男，湖北大冶人，碩士，助教，主要從事工程力學(xué)研究。

book=57,ebook=204