發(fā)現(xiàn)特殊值 滲透極限思想

方愛斌

“雞兔同籠”問題作為人教版六年級上冊第七單元“數(shù)學廣角”中的教學內(nèi)容，教材中先后呈現(xiàn)了列表法、假設法、方程法、抬足法四種不同的解決問題的策略。此問題蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，適合于小學低中高各年段，每個年段都有不同的側(cè)重方法，與學生的發(fā)展思維相適。以“雞兔同籠”為教學素材，蘇教版作為替換策略的練習題，北師大版把課題定位為《嘗試與猜測》，而人教版則體現(xiàn)多種策略解決問題。作為“通性通法”的嘗試列表法解題策略，在六年級人教版多種策略中如何定位？反復思考之后，我以為，通過引導學生發(fā)現(xiàn)特殊值，滲透極限逼近思想，把猜測變成確定的規(guī)律，將嘗試列表法進行優(yōu)化，有其獨特的教育價值。

教學片斷：

例：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”以史激趣，導入新課后，題目化簡為：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有 8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”

學生嘗試猜測，探索規(guī)律。

1.任意猜：（交流后，匯報你是怎么猜的，以及猜想的情況）。

2.有序猜：出示表格四個組，同桌合作從四個方向猜。

左起，右起，中間靠左，中間靠右開始猜。

3.發(fā)現(xiàn)特殊值，滲透極限逼近思想。

（1）由四種猜法，得一完整表格。（課件出示）

（2）認真觀察，從表格中你能不能發(fā)現(xiàn)“什么情況下，雞的只數(shù)猜多點，什么情況下，兔的只數(shù)猜多點？”（學生獨立思考）

（3）需要幫助嗎？課件提示：（腳數(shù)16，頭數(shù)8，16是8的2

倍）

（4）再觀察，你發(fā)現(xiàn)什么？（小組交流）

（5）越靠近2倍，雞的只數(shù)和兔子只數(shù)有什么變化？越靠近4倍呢？

（6）現(xiàn)在讓你猜兔子和雞的只數(shù)，你會怎么猜？

4.嘗試解決例題，并說說你的想法。

片段反思：

教學時，讓學生經(jīng)歷嘗試、有序列舉（填表）、調(diào)整，進一步培養(yǎng)了學生有序思考的習慣。通過觀察表格，適時地拋出了問題：“什么情況下，雞的只數(shù)猜多點，什么情況下，兔的只數(shù)猜多點？”引發(fā)學生的認知沖突，突顯學生的深刻思考，引導發(fā)現(xiàn)特殊值“當兔的只數(shù)是0只，全部是雞時，腳的只數(shù)是頭數(shù)的2倍。當雞的只數(shù)是0時，也就全是兔子，腳的只數(shù)是頭數(shù)的4倍?！碧剿鞒觯骸叭绻_的只數(shù)越靠近頭數(shù)的2倍，雞的只數(shù)猜多一點，如果腳的只數(shù)越靠近頭數(shù)的4倍，兔的只數(shù)猜多一點。越靠近2倍，雞的只數(shù)越多，越靠近4倍兔子的只數(shù)越多，等于2倍，全是雞，等于4倍全是兔子?！痹趯W生能有序思考基礎上，對特殊值進行合理推理，滲透極限逼近思想，探索猜測方向，優(yōu)化嘗試法，產(chǎn)生新的解題策略，滲透假設法的體驗。

策略思考：

通過滲透極限逼近的思想，對嘗試法進行優(yōu)化，使學生對嘗試的起點有了感性認識，應用這一策略解決問題的幾點思考。

1.一一列舉法，是一種重要的解題策略，有美中不足。解決“雞兔問題”中，通過發(fā)現(xiàn)嘗試起點的規(guī)律，可以彌補這一不足。并且學生如果應用假設法解題，此方法也可作為檢驗答案的依據(jù)，鍛煉學生推理能力，估算能力。

2.當數(shù)據(jù)太大，猜測更有難度時，可通過估算，嘗試用線段點畫出2倍、4倍（端點），3倍（中點）。再取中，或靠左，或靠右，進行嘗試猜測，或跳躍式猜測，與列表法有機結合。

例：文化宮電影院有座位2000個，前排每張4元，后排每張2元，前排和后排總價6800元。問該影院前座和后座各有多少個？

6800比6000多，可猜后排多一些，再跳躍式調(diào)整。

3.當“腳數(shù)”發(fā)生變化時，隨著“腳數(shù)”的變化，調(diào)整倍數(shù)關系。

例：（P116練習題3）盒子里有大小兩種鋼珠，共30個，共重266g，已知大鋼珠每個11g，小鋼珠每個7g。盒中大鋼珠、小鋼珠各有幾個？倍數(shù)由雞兔的2倍、4倍，調(diào)整為7倍、11倍。

4.如果已知總腳數(shù)差，把問題極端化，使得腳數(shù)差最大，通過交換，每換一次，總腳數(shù)差減少“2+4”腳數(shù)只。

例：雞兔共有一百只，雞比兔少70條腿。問雞兔各有幾只？

假設100只全是兔子，則一共有400只腳，雞有0只，腳數(shù)差是400。實際上雞比兔少70只，兩者之間就相差400-70=330只，如果用一只雞去換一只兔子，每換一次的差就較少6只（注意不是2只），因此需換330÷6=55只，既有55只雞。

定位于教學多種方法解決雞兔問題策略，并對嘗試列表法進行優(yōu)化，通過引導發(fā)現(xiàn)特殊值，滲透極限逼近思想，尋找嘗試規(guī)律，培養(yǎng)了學生對嘗試起點的敏感性——本質(zhì)上是對數(shù)據(jù)的敏感性，并不是為了拔高教學要求，而是將學生可接受的水平結合起來，培養(yǎng)學生推理和探究能力，挖掘并提升問題的教育價值。