數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類思想

夏中仁

數(shù)學(xué)“學(xué)”什么？方法和思想。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握、理解以及應(yīng)用，處處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本方法和思想。

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面，讓學(xué)生形成對(duì)分類思想的主動(dòng)應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)

每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類，絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會(huì)。

學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到按不同的標(biāo)準(zhǔn)，有不同的分類方法，認(rèn)識(shí)數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對(duì)數(shù)a 進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。講解絕對(duì)值的意義時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。通過對(duì)正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個(gè)有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識(shí)點(diǎn)，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)。并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，各子項(xiàng)是互相排斥的。如若不然，對(duì)象混雜，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一的體現(xiàn)。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

掌握用分類討論思想解題的關(guān)鍵，在于搞清楚哪些情況下會(huì)引起分類討論。下面就引起分類討論的一些常見情況作一歸納：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。

如：①按絕對(duì)值的意義進(jìn)行分類。在化簡|a－b|時(shí)，須分為a>b、a=b、a

2.根據(jù)圖形的位置關(guān)系或形狀的變化分類。三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、相切、相交三種位置關(guān)系等。例：①已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，求腰上的高。

分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高，可得兩解。

②證明圓周角定理。圓心的位置有三種情況：角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部。先證明第一種，然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑，分別證明了另外兩種情況，從而包含了所有位置情形的圓周角。它是根據(jù)圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

3.根據(jù)條件的開放分類。有些題目中的條件開放，致使求解結(jié)果不唯一，若對(duì)這類問題考慮不全面，時(shí)常發(fā)生漏解現(xiàn)象。

例：甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒鐘跑6米，甲的速度是乙的4/3倍?，F(xiàn)在甲、乙兩人在跑道上相距8米處同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過多少秒鐘后，兩人首次相遇？

分析：①本題不明確甲、乙兩人是同向還是反向跑步。②如果同向未知誰在前誰在后，如果反向也未確定兩人是相向還是相背，所以解題時(shí)應(yīng)分類討論，逐一求解。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一是涉及代數(shù)式、函數(shù)或方程中，根據(jù)字母在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。二是根據(jù)圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例：已知函救y=（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0 和m-1≠0 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m＝l 時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）。

當(dāng)m≠1 時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1。

當(dāng)△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得m=0。

拋物線y=－x2－2x－1，的頂點(diǎn)（－1，0）在x軸上。

綜上所述：m的值為0或1。

由以上幾例，我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得簡單、解題思路清晰、步驟明了，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。