基于無(wú)套利利率模型的臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券定價(jià)研究

摘 要:我國(guó)是世界上遭受自然災(zāi)害損失最嚴(yán)重的國(guó)家之一，應(yīng)該充分發(fā)揮保險(xiǎn)業(yè)分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)和補(bǔ)償經(jīng)濟(jì)損失的作用。巨災(zāi)債券作為國(guó)外保險(xiǎn)發(fā)達(dá)市場(chǎng)的一項(xiàng)金融創(chuàng)新產(chǎn)品，成功地提高了保險(xiǎn)公司對(duì)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的承保能力。本文利用非壽險(xiǎn)精算技術(shù)，對(duì)我國(guó)1990年來(lái)?yè)p失在1億元以上的臺(tái)風(fēng)損失以及次數(shù)分布進(jìn)行擬合，確定我國(guó)每年臺(tái)風(fēng)發(fā)生的總損失服從復(fù)合泊松—伽瑪分布的聚合損失分布模型。隨后結(jié)合無(wú)套利BDT利率期限結(jié)構(gòu)模型以及轉(zhuǎn)移概率參數(shù)，來(lái)匹配未來(lái)利率的變化過(guò)程，建立了我國(guó)巨災(zāi)債券短期利率離散形式的動(dòng)態(tài)變化模型。在此基礎(chǔ)上，完成了我國(guó)到期保證償還型臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券設(shè)計(jì)的定價(jià)研究。

關(guān)鍵詞:巨災(zāi)債券;臺(tái)風(fēng);聚合損失分布;利率期限結(jié)構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào):F840.64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-5192(2010)01-0049-05

Pricing Simulation of Typhoon CAT Bond Based on No-arbitrage Interest Rate Model

LI Yong， LIU Juan

( School of Economics and Management， Tongji University， Shanghai 200092，China)

Abstract:As one of the countries suffered mostly from natural disasters in the world， China should exert the effects of insurance industry against catastrophic risk and losses. Catastrophe (CAT) bonds， known as an important financial innovation product abroad， so far， have strengthened successfully insurers’ acceptance ability. This paper firstly construct one compound Gamma-Possion distribution model on typhoon catastrophe losses since 1990. Combining BDT term structure model of interest rate introduced by transferring possibility parameters， this paper fits for the changing process for the future interest rate and accomplishes a dynamic model of short-term interest rate discrete form. And finally， complete an empirical study on the pricing of payment guaranteed typhoon catastrophe bond in China.

Key words:catastrophe (CAT) bond; typhoon; compound losses distribution; term structure of interest rate

1 引言

進(jìn)入本世紀(jì)以來(lái)，全球氣候惡化、生態(tài)失衡、地質(zhì)變異、環(huán)境污染和溫室效應(yīng)等問(wèn)題日趨嚴(yán)重，導(dǎo)致極端天氣氣候事件增多增強(qiáng)，各種自然災(zāi)害頻發(fā)。自2001年以來(lái)，我國(guó)因巨災(zāi)造成的年均經(jīng)濟(jì)損失高達(dá)約3455億元，占GDP的3%~5%。尤其是2008年，受冰雪天氣與地震災(zāi)害的影響，我國(guó)因巨災(zāi)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失為13547.5億元，比上年增長(zhǎng)473.3%。大范圍的受災(zāi)面積與巨額的經(jīng)濟(jì)損失給我國(guó)政府財(cái)政支出和人民生活造成了巨大壓力。長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)自然災(zāi)害的救助方式主要依靠政府的賑災(zāi)資金與民間援助，但可謂杯水車(chē)薪，而商業(yè)保險(xiǎn)由于自身規(guī)模和承保技術(shù)的限制，一直難以滿足巨災(zāi)保險(xiǎn)的需求，因此大部分的災(zāi)害損失還是由受災(zāi)單位和群眾自己來(lái)承擔(dān)，災(zāi)后生活和當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)的恢復(fù)緩慢而困難。當(dāng)前國(guó)際金融市場(chǎng)上應(yīng)對(duì)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的有效方式是巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品，其中以巨災(zāi)債券最為典型。國(guó)際債券市場(chǎng)的快速發(fā)展表明，巨災(zāi)債券有效地實(shí)現(xiàn)了巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)向資本的轉(zhuǎn)移[1]。巨災(zāi)債券賦予了保險(xiǎn)公司面對(duì)巨災(zāi)事故的風(fēng)險(xiǎn)控制能力，而其成功發(fā)行的關(guān)鍵因素取決于是否合理的定價(jià)。

有關(guān)巨災(zāi)債券定價(jià)理論的系統(tǒng)研究開(kāi)始于20世紀(jì)90年代中期，其中最具代表性的理論如下:Cummins 和Geman[2]用套利的思想討論了巨災(zāi)衍生產(chǎn)品定價(jià)。Litzenberger[3]計(jì)算出了賠款損失率分別為Frechet和平穩(wěn)Levy分布的巨災(zāi)債券價(jià)格。Briys[4]在市場(chǎng)完全、巨災(zāi)損失指數(shù)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)以及市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)等假設(shè)下，得到了一個(gè)巨災(zāi)債券價(jià)格的表達(dá)式。Morton[5~7]等對(duì)已發(fā)行的巨災(zāi)債券的參數(shù)進(jìn)行回歸分析，不斷完善和發(fā)展了一套LFC巨災(zāi)債券定價(jià)模型。Loubergé等[8]以B-S模型為基礎(chǔ)[9]，假設(shè)在完全和無(wú)套利機(jī)會(huì)的金融市場(chǎng)中巨災(zāi)債券損失指數(shù)在連續(xù)時(shí)間中服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且利率是連續(xù)的，建立了巨災(zāi)定價(jià)模型。Cox 等[10]提出了基于均衡定價(jià)理論的巨災(zāi)債券定價(jià)模型。Wang[11]和Christofides[12]通過(guò)概率變換發(fā)展了LFC模型，提高了計(jì)算效率。Lee和Yu[13，14]將道德風(fēng)險(xiǎn)和基差風(fēng)險(xiǎn)引入了巨災(zāi)債券定價(jià)模型中，認(rèn)為巨災(zāi)債券可以有效地減少再保險(xiǎn)人的基差風(fēng)險(xiǎn)。國(guó)內(nèi)較有代表性的成果有韓天雄等[15]、李永[16]、田玲等[17]、施建祥[18]、張慶洪等[19]，但目前國(guó)內(nèi)研究缺乏對(duì)我國(guó)巨災(zāi)債券定價(jià)的模擬與實(shí)證研究，導(dǎo)致相關(guān)定價(jià)理論的研究缺乏實(shí)際操作性，需要加以完善。

本文利用非壽險(xiǎn)精算技術(shù)，擬合并建立了我國(guó)臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)損失的聚合風(fēng)險(xiǎn)分布模型，以無(wú)套利BDT[20]利率期限結(jié)構(gòu)模型為基礎(chǔ)，通過(guò)引入轉(zhuǎn)移概率參數(shù)，建立了我國(guó)巨災(zāi)債券短期利率的動(dòng)態(tài)變化模型，并在該利率期限結(jié)構(gòu)下，對(duì)臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券的定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證研究， 完成了對(duì)臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券的初步設(shè)計(jì)。

2 臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券的定價(jià)模型

2.1 巨災(zāi)債券的運(yùn)作機(jī)制

巨災(zāi)債券為附息債券，每年末按照合同約定的條件向投資者支付息票，息票的支付取決于臺(tái)風(fēng)災(zāi)害的損失是否超出觸發(fā)水平，當(dāng)損失超過(guò)觸發(fā)水平時(shí)，當(dāng)期和余期息票將不予支付或者按照一定的比例支付;巨災(zāi)債券為保證償還債券，到期時(shí)保證償還金額是確定的，如下

其中T為債券的期限;K為損失的觸發(fā)水平;Fr為息票金額;Q為息票的回收比例;B為債券到期的保證贖回金額;V(t)為時(shí)刻t得到的支付金額;I(t)為臺(tái)風(fēng)災(zāi)害在時(shí)刻t造成的損失金額。2.2 隨機(jī)利率分布模型

在隨機(jī)利率與金融衍生品定價(jià)中，多采用無(wú)套利利率期限結(jié)構(gòu)模型，而其中的BDT模型在債券定價(jià)和一般性利率衍生品定價(jià)及利率風(fēng)險(xiǎn)管理方面以其相對(duì)簡(jiǎn)單、操作性較強(qiáng)而獲得廣泛應(yīng)用。本文沿用BDT模型的基本思想，通過(guò)利率轉(zhuǎn)移概率參數(shù)，建立擴(kuò)展的離散形式的BDT利率期限結(jié)構(gòu)模型，并通過(guò)我國(guó)不同期限的定期存款利率的初始期限結(jié)構(gòu)，即定期存款的到期收益率與波動(dòng)率，來(lái)匹配未來(lái)短期利率(遠(yuǎn)期利率)的變化過(guò)程。模型假設(shè):

(1)短期利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布;

2.3 損失分布模型

假設(shè)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害每年發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布，即Poisson(λ)，每次災(zāi)害發(fā)生的損失服從伽瑪分布，即Gamma(α，β)，那么每年臺(tái)風(fēng)發(fā)生的總損失服從復(fù)合泊松—伽瑪分布的聚合損失

2.4 臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券的定價(jià)模型

假設(shè)臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券具有上述運(yùn)作機(jī)制，短期隨機(jī)利率的期限結(jié)構(gòu)如圖1所示，臺(tái)風(fēng)聚合損失分布模型為復(fù)合泊松伽瑪分布，并且臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券的觸發(fā)水平與息票的回收比例具有如下結(jié)構(gòu)，見(jiàn)表1。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證損失分布的準(zhǔn)確性，本文利用12個(gè)常見(jiàn)損失分布理論模型分別對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果見(jiàn)表2。可以看出，除了伽瑪分布，其他分布的擬合效果均不理想。因此，確定伽瑪分布為我國(guó)臺(tái)風(fēng)損失金額分布的理想分布(見(jiàn)表2)。

3.2 臺(tái)風(fēng)發(fā)生次數(shù)的擬合

4 結(jié)論與展望

本文將臺(tái)風(fēng)損失概率分布與利率期限結(jié)構(gòu)相結(jié)合，將臺(tái)風(fēng)損失金額這一不確定性事件作為息票支付的觸發(fā)條件，考慮到了不同時(shí)刻短期利率各種變化路徑下的息票或有支付，使臺(tái)風(fēng)損失風(fēng)險(xiǎn)與金融市場(chǎng)利率風(fēng)險(xiǎn)有機(jī)結(jié)合。該模型研究討論的是到期保證償還型債券，而實(shí)際操作上，國(guó)際巨災(zāi)債券中亦有將息票與本金同時(shí)作為或有支付，即發(fā)生巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，根據(jù)不同的觸發(fā)水平，投資者可能損失部分或全部本金和息票，這使得投資的風(fēng)險(xiǎn)更大。

本研究只是對(duì)巨災(zāi)債券定價(jià)機(jī)制的初步探討，仍然有需要完善之處。比如，在利率期限結(jié)構(gòu)的假設(shè)方面，只考慮了基于短期利率的單因子無(wú)套利模型，而事實(shí)表明，影響利率期限結(jié)構(gòu)的因素不止一個(gè)，需要建立更加復(fù)雜的多因子模型加以討論;此外，本文僅討論了巨災(zāi)債券基于損失風(fēng)險(xiǎn)與利率風(fēng)險(xiǎn)純保費(fèi)的定價(jià)問(wèn)題，并沒(méi)有考慮附加費(fèi)率、道德風(fēng)險(xiǎn)、再投資率等影響價(jià)格構(gòu)成的其他因素。這些問(wèn)題有待在今后的研究中不斷深入和完善。

參 考 文 獻(xiàn):

[1]Cummins J D. Cat bonds and other risk-linked securities: recent developments[J]. Risk Management and Insurance Review， 2008， 11(1): 23-47.

[2]Cummins D J， Geman H. Pricing catastrophe insurance futures and call spread: an arbitrage approach[J]. Journal of Fixed Income， 1995， 4: 46-57

[3]Litzenberger R， Reynold C E. Assessing catastrophe reinsurance-linked securities as a new asset class[J]. Journal of Portfolio Management， 1996， 23: 76-86.

[4]Briys E. From genoa to kobe: natural hazards， insurance risks and the pricing of insurance-linked bonds[M]. London: LehmanBrothers International， 1997.

[5]Morton N L. Price， risk and ratings for insurance-linked notes: in your portfolio[R]. USA: Sedgwick Lane Financial， LLC， 1998.

[6]Morton N L. Pricing risk transactions[R]. USA: Lane Financial， LLC， 2000.

[7]Moton N L， Beckwith R， Developing LFC return indices for insurance securitizations[R]. Wilmette， IL: Lane Financial， 2007.

[8]Loubergé H， Kellezi E， Gilli M. Using catastrophe-linked securities to diversify insurance risk: a financial analysis of CAT bonds[J]. Journal of Insurance Issues， 1999， 22(2): 125-146.

[9]Black F， Karasinski P. Bond and option pricing when short rates are lognormal[J]. Journal of Financial Analysis， 1991， 47: 52-59.

[10]Cox S F， Hal W P. Actuarial and economic aspects of securitizations of risk[EB/OL].http://www.casact.org/library/astin/vol30no1/，ASTIN Bulletin， 2000-05-02/2009-03-12.

[11]Wang S S. Cat bond pricing using probability transforms[A]. Insurance and the State of the Art in Cat Bond Pricing[C]. The Geneva Association， 2004. 19-29.

[12]Christofieds S. Pricing of catastrophe linked securities[EB/OL].http://www.actuaries.org/ASTIN/Colloquia/Bergen/Christofides.pdf.ASTIN， 2004-06-12/2009-03-05.

[13]Lee J P， Yu M T. Pricing default-risky cat bonds with moral hazard and basis Risk[J]. Journal of Risk and Insurance， 2002， 69(1): 25-44.

[14]Lee J， Yu M. Variation of catastrophe reinsurance with catastrophe bonds[J]. Insurance: Mathematics and Economics， 2007， 41: 264-278.

[15]韓天雄，陳建華.巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題[J].保險(xiǎn)研究，2003，(12):31-33.

[16]李永.我國(guó)地震巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化的實(shí)證分析[J].華北地震科學(xué)，2005，(4):47-51.

[17]田玲，向飛.基于風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)框架的巨災(zāi)債券定價(jià)模型比較研究[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)科學(xué)版)，2006，(2):168-174.

[18]施建詳.我國(guó)巨災(zāi)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)證券化研究—臺(tái)風(fēng)災(zāi)害債券的設(shè)計(jì)[J].金融研究，2006，(5):103-112.

[19]張慶洪，葛良驥.厚尾穩(wěn)定分布巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的集合分散效應(yīng)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2008，(3):29-33.

[20]Black F， Derman FE， Toy W. A one factor model of interest ratesand its application to treasury bond options[J]. Financial Analysis Journal， 1990， 46(1): 33-39.