微積分在經(jīng)濟學中的運用

隨著經(jīng)濟的發(fā)展及數(shù)學理論的完善，數(shù)學與經(jīng)濟學的關(guān)系越來越密切，應用越來越廣泛。微積分作為數(shù)學知識的基礎(chǔ)，介紹微積分與經(jīng)濟學的書也越來越多，然而大部分書或者著重介紹經(jīng)濟學概念或者著重介紹數(shù)學理論，很少有主要介紹微積分在經(jīng)濟學中的應用的書。本文將通過對一些簡單的微積分知識在經(jīng)濟學中的應用，以使人們意識到理論與實際結(jié)合的重要性。

一、極限在經(jīng)濟分析中的應用

設(shè)銀行存款現(xiàn)值P和將來值B，年利率為r，則t年后的本利和即將來值B=(1+r)t

若一年分次計算復利，則每期利率為■，一年后的本利和即將來值為B=P(1+■)n而t年后的本利和即將來值為B=P(1+■)tn當n→∞時，則t年后的本利和即將來值為B=■P(1+■)m=Pet從而現(xiàn)值P和將來值B之間的關(guān)系為B=Pet或p=Be-t若現(xiàn)值P為1，利息r為100%，則得B=e

二、導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

導數(shù)作為高等數(shù)學的重要組成部分，貫穿于數(shù)學作為研究工具與各學科交叉互用的整個過程，經(jīng)濟學自然也不例外。導數(shù)的引入為經(jīng)濟學分析帶來了重大的變革，對其的運用可以解決許多之前無法定量分析的問題。對經(jīng)濟變量的邊際分析和彈性的研究是導數(shù)在經(jīng)濟學中最為典型的應用方式。邊際分析包括邊際成本、邊際收益和邊際利潤。其中邊際成本是總成本函數(shù)c(q)關(guān)于產(chǎn)量q的導數(shù)，其經(jīng)濟含義是:當產(chǎn)量為q時，再生產(chǎn)一個單位(即△q=1) 所增加的總成本△c(q)。下面舉例說明導數(shù)在邊際成本分析中起到的作用。

例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個單位時，總成本函數(shù)為c(q)=500+0.5q2

則當產(chǎn)量為q0時，該產(chǎn)品的邊際成本MC為 MC=c′(q0)=q0，當q=100時，MC=100;當q=80時，MC=80。

同理，在相應的收益函數(shù)、利潤函數(shù)已知的情況下，利用導數(shù)的知識我們還可以分析廠商的邊際收益和邊際利潤。邊際分析只是導數(shù)在經(jīng)濟學分析中起到作用的一個部分，導數(shù)的另一個重要作用就是進行經(jīng)濟學中的彈性分析。函數(shù)■(x)在點x處的相對改變量△y/y 與自變量的相對改變量△x/x之商的極限，稱為函數(shù)y=■(x)在點x處的彈性。經(jīng)濟學中的彈性用于衡量在一個經(jīng)濟模型中，一個變量對另一個變量變化的敏感程度，包括需求價格彈性、供給價格彈性、商品需求交叉彈性等等。其中，需求價格彈性是最常用的彈性概念，設(shè)某種商品的市場需求量為q，價格為p，需求函數(shù)q=q(p) 可導，則Ep=■q′(p)稱為該產(chǎn)品的需求價格彈性。因為在一般情況下，需求函數(shù)為價格的遞減函數(shù)，因此需求彈性Ep一般為負值，其經(jīng)濟意義為:當某種商品的價格下降(或上升) 1%時，其需求量將增加(或減少)EP%。實際的需求彈性計算見下面的例子:

例2在一個完全競爭市場中，某商品的總需求函數(shù)為q(p) =60-20■ ，則該商品在P0的需求價格彈性為

Ep=■q′(P0)=-■當p0時，Ep=1。

三、積分在經(jīng)濟中的應用

積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù)。設(shè)總量函數(shù)p(x)在區(qū)間I上可導，其邊際函數(shù)為p′x，[a，x]∈I，則總有函數(shù)p(x)=■p■(u)du+P(a)

當 x 從a 變到b 時，p(x)的改變量為△p=p(x)-p(a)=■p■(u)du將 x 改為產(chǎn)量Q，且a=0 時，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)，

可得C(Q)=■C■(x)dx其中C0即為固定成本，■C■(x)dx為可變成本R(Q)=■R■(x)dx (因為R(0)=0) L(Q)=■L■(x)dx-C(0)

案例 1[總量函數(shù)]已知某公司獨家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q 單位商品時，邊際收入函數(shù)為R■(Q)=■-c (元/單位)(a>0，b>0，c>0)。求:(1)公司的總收入函數(shù);(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù)。

解 (1)總收入函數(shù)為R(Q)=■R■(x)dx=■[■-c]dx=-■-cx|=a-■-cQ

(2)設(shè)產(chǎn)品的價格為P，則R=PQ=a-■-cQ ，得需求函數(shù)為P=■-■ -c=■- c

案例 2[收入流的現(xiàn)值]某企業(yè)想購買一臺設(shè)備，該設(shè)備成本為5000 元。T 年后該

設(shè)備的報廢價值為S(t)=5000-400t 元，使用該設(shè)備在t 年時可使企業(yè)增加收入850-40t(元)。

若年利率為5%，計算連續(xù)復利，企業(yè)應在什么時候報廢這臺設(shè)備?此時，總利潤的現(xiàn)值是

多少?

解 T 年后總收入的現(xiàn)值為■(850-40t)e-0.05tdt

T 年后總利潤的現(xiàn)值為L(T)=■(850-40t)e-0.05tdt+(5000-400T)e-0.05tdt-5000

L′(T)=(850-40t)e-0.05T-400e-0.05T-0.05(5000-400T)e-0.05Tdt=(200-20T)e-0.05T

令L′(T)=0，得T=10。當T<10 時，L′(T)>0，當T<10 時，L′(T)<0，則T=10 是惟一的極大值點。即T=10 時，總利潤的現(xiàn)值最大，故應在使用10 年后報廢這臺機器。此時企業(yè)所得的利潤的現(xiàn)值為L(10)=■(200-20T)e-0.05TdT=(400T+4000)e-0.05T=825.25(元)

參考文獻:

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(作者單位:長江大學信息與數(shù)學學院)