如何培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

近年來，在注重素質(zhì)教育的我國教育背景下，如何進(jìn)行教學(xué)才能培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力成為數(shù)學(xué)教學(xué)界爭論的一個(gè)熱點(diǎn)。本文試圖結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從五大方面來論述和論證了“培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力”的一些成功做法。

一、打好學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是首要條件

打好學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力的前提條件。因?yàn)槿绻粋€(gè)人沒有必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，那么他(她)就很難成功地解決數(shù)學(xué)問題。比如，有些人不懂得長方體的體積公式或求最大值的方法，就很難解決下面的[數(shù)學(xué)問題1]。

[數(shù)學(xué)問題1] 建造一個(gè)容積為 8 ，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120 元和80元，求水池的最低總造價(jià)及其相應(yīng)的建造圖形。

解:設(shè)水池的長為a ， 寬為b ，依題意得 2ab = 8 ，

∴ ab = 4 。

∴ 總造價(jià) y = 120ab + 2(a+b)·2·80

= 120ab + 320(a+b)

≥ 480 +320×2×2 =1760。

∵ 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2時(shí)，上式“=”成立。

所以，當(dāng) a=b=2時(shí)，即池底是邊長為2m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低;最低總造價(jià)為1760元。

答:池底是邊長為2m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低;最低總造價(jià)為1760元。

又如，有些人不懂得函數(shù)的知識(shí)或求最大值的方法，就很難解決下面的[數(shù)學(xué)問題2]。

[數(shù)學(xué)問題2] (05年全國高考題)用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四個(gè)角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖1)。問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大?最大容積是多少?

圖1

解:設(shè)容器的高為x cm， 容器的體積為V cm3，則

V = (90 – 2x)(48 –2x)x ， ( 0< x <24 )

∴ V=4x3-276x2 +4320x，V` =12x2-552x+4320 ，

令 V` = 0 ， 即12x2-552x+4320 = 0

解之，得x1=10，x2=36(舍去)

又∵ 當(dāng) 0 < x < 10時(shí)， V` > 0，當(dāng)10 < x < 24時(shí)，V` < 0

所以，當(dāng)x =10時(shí)，V有極大值，極大值等于V(10)=19600(cm3)。

又∵ V(0)= 0，V(24)= 0

所以當(dāng)x =10時(shí)，V有最大值，最大值等于19600 cm3。

答:容器的高為10cm時(shí)，容器的容積最大;最大的容積是19600 cm3。

綜上所述，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的必要條件，是培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的必要前提條件。

二、培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

具有必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的重要條件。比如，要解答下面的[數(shù)學(xué)問題3]，就必須具有“解不等式及求集合的交、并集運(yùn)算”等運(yùn)算能力。

[數(shù)學(xué)問題3] (05年，天津高考題)設(shè)函數(shù)f(x)In■，則函數(shù)g(x)=f(■)+f(■)的定義域是___。

解:由■>0 解得-1>x>1

∴ g(x)的定義域?yàn)閤|-1<■<1，且-1<■<1=x|-2

又如，要解決下面的[數(shù)學(xué)問題4]，就必須熟練掌握有關(guān)的三角恒等變換運(yùn)算。

[數(shù)學(xué)問題4] 求函數(shù)y=sin(x+■)+■sinx的最小正周期、最大值和最小值。

解:y=sin(x+■)+■sinx=■sinx+cosx=2sin(x+■)

所以，所求的最小正周期為2π，最大值為2，最小值為-2

由以上的論證可知，沒有一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是不能解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必須努力培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，切實(shí)使學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問題所需的必要運(yùn)算技能。

三、培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理與論證能力

推理與論證能力是解決某些數(shù)學(xué)問題重要而必要的能力。因此，在教學(xué)過程中必須努力培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理與論證能力，切實(shí)使學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生能夠獨(dú)立解決這類數(shù)學(xué)問題提供重要而必要的條件。

例如，要解決下面的[數(shù)學(xué)問題5]和[數(shù)學(xué)問題6]，就必須具有用二面角的平面角的定義、異面直線所成的角的定義、直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理等進(jìn)行推理與論證的能力。

[數(shù)學(xué)問題5] 如圖2，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA=4，AB=2，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點(diǎn)。

(1)求證:平面SAC⊥平面EBD。

(2)求二面角A-BD-S的大小。

(3)求直線BA與SC所成的角的大小。

(4)求點(diǎn)A到平面SBD的距離。

圖2 圖3

(1) 證明:∵SA⊥底面ABCD，BD底面ABCD∴ BD⊥SA

又∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥CA，

又∵ SA∩CA=A， ∴ BD⊥平面SAC

又∵ BD平面EBD，∴平面SAC⊥平面EBD.

(2) 解:設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)SO.

∵ ABCD是正方形，∴ AO⊥BD

又∵ SA⊥平面ABCD，∴AO是斜線SO在底面AC上的射影

由三垂線定理，得 SO⊥BD

∴ ∠SOA是二面角的平面角(即∠SOA等于所求的二面角)。

在Rt△SAO中， 容易求得AO=■，SO=3■

∴ sin∠AOS=■=■=■■?圯∠AOS=arcsin■■這就是所求二面角的大小.

(3)解:∵ABCD是正方形，∴ DC∥AB

∴ ∠DCS是異面直線BA與SC所成的角(即∠DCS等于所求的角)。

在△DCS中， 容易求得SC=2■，SD=2■，CD=2，由余弦定理得cos∠DCS=■=■=■?圯∠DCS=arccos■

這就是所求異面直線BA與SC所成的角的大小.

(4)解:由(2)知，SO⊥BD ，SO=3■

∴ S△SBD=■BD·SO=■×2■×3■=6

設(shè)點(diǎn)A到平面SBD的距離為h，由SA⊥底面ABCD，得

∴ ■S△SBD·h=■S△ABD·SA ∴6h=■×2×2×4?圯h=■答:點(diǎn)A到平面SBD的距離為■

[數(shù)學(xué)問題6] 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=18cm， P、Q分別為棱AB、AD的中點(diǎn)，E、F分別為棱BC、CD的中點(diǎn)。(1)求證:平面A1PQ∥平面D1B1F 。 (2)求幾何體A1B1D1-ABEFD的體積。

(1)證明:連結(jié)PF、BD

∵ 在正方體ABCD-A1B1C1D1中

BB1∥DD1 ，且BB1=DD1，

∴BD∥B1D1

又 ∵ 在△ABD中，P、Q分別是AB、DA的中點(diǎn)

∴BD∥PQ

四、培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法

中學(xué)里，解決數(shù)學(xué)問題的基本數(shù)學(xué)思想方法有:(1)定義法;(2)分類討論法;(3)解析法;(4)換元法;(5)配方法;(6)待定系數(shù)法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)導(dǎo)數(shù)法;(11)數(shù)形結(jié)合;(12)篩選回代法;(13)函數(shù)與方程的思想方法;(14)函數(shù)與不等式;(15)參數(shù)法;(16)交集、并集與補(bǔ)集;(17)逆向思維法;(18)枚舉法;(19)建模法;(20)等積法;(21)割補(bǔ)法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)綜合法;(25)反證法;(26)同一法;(27)重組法;(28)構(gòu)造法;(29)多元未知數(shù)法;(30)等價(jià)轉(zhuǎn)換法(或化簡)，(31)數(shù)學(xué)歸納法，等等。例如，本文中的[數(shù)學(xué)問題1]就可用多元未知數(shù)法與不等式法;[數(shù)學(xué)問題2]就可用公式法、函數(shù)法與導(dǎo)數(shù)法;[數(shù)學(xué)問題3]就可用定義法、等價(jià)性化簡、交集法與并集法等;[數(shù)學(xué)問題4]就可用化簡法及定義法等;[數(shù)學(xué)問題5]就可用定義法、定理法、公式法、等積法、割補(bǔ)法、分析法與綜合法等。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力是十分有幫助的，是十分重要和非常必要的。

五、要注意培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力

這里所講的綜合運(yùn)用能力，是指學(xué)生能夠充分綜合地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、運(yùn)算能力、推理與論證能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行的一系列的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，從而解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的能力。例如，對(duì)于本文中的[數(shù)學(xué)問題1]或[數(shù)學(xué)問題2]就要求學(xué)生在理解長方體等幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，能綜合地運(yùn)用設(shè)多元未知數(shù)與不等式法相結(jié)合或列函數(shù)式與求導(dǎo)相結(jié)合的方法來解決問題。又如，對(duì)于本文中的[數(shù)學(xué)問題5]就要求學(xué)生在理解有關(guān)的幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，能綜合地運(yùn)用分析法與綜合法、定義法、定理法、公式法、等積法、割補(bǔ)法等方法來解決問題。所以，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力，是學(xué)生能夠獨(dú)立解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的必要條件。因此，數(shù)學(xué)教師必須高度重視，認(rèn)真抓緊抓好。

綜上所述，以上五個(gè)方面，從各自的特點(diǎn)來看，每一方面都是解決與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的必要條件。但只要將它們綜合來運(yùn)用，就可以解決很多數(shù)學(xué)問題了。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們必須辛勤耕耘，長期不懈地抓好這五個(gè)方面的教學(xué)，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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(作者單位:廣東省佛山市南海藝術(shù)高中)