例談數(shù)學建模在解決初中數(shù)學問題的應用

摘 要：利用數(shù)學模型解決的一般數(shù)學方法就是數(shù)學模型方法?，F(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學知識的這一運用過程稱為數(shù)學建模。

關鍵詞：數(shù)學模型 數(shù)學建模 數(shù)式模型 方程（組）模型 函數(shù)模型 幾何模型

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1673-1875(2009)10-116-01

數(shù)學模型是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關系的一種反映，簡單地說，數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數(shù)學描述。近年課改實驗區(qū)的中考數(shù)學試卷突出了數(shù)學建模，更多地關注與現(xiàn)實聯(lián)系實際，解決這些問題實際上就是建立一個數(shù)學模型的過程.

一、建立數(shù)式模型

在數(shù)與代數(shù)式領域中，規(guī)律意識類試題將成為主流，規(guī)律意識類試題有助于引導同學們在平時的學習過程中進行自主探究，體會探索規(guī)律，更好地理解代數(shù)式的意義和作用，培養(yǎng)探究能力，例如：下列是由同型號黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設的圖形，仔細觀察圖形可知：

圖A有1塊黑色的瓷磚，可表示為：1=

圖A圖B 圖C

圖D

圖B有3塊黑色的瓷磚，可表示為：1+2=

圖C有6塊黑色的瓷磚，可表示為：1+2+3=

實踐與探索：

（1）請在圖D的虛線框內(nèi)畫出第4個圖形（只須畫出草圖）

（2）第10個圖形有 塊黑色的瓷磚（直接填寫結(jié)果）（55），第n個圖形有 塊黑色的瓷磚（用含n的代數(shù)式表示）（ ）

這類規(guī)律意識試題就是考查能夠用代數(shù)式表示簡單問題中的數(shù)量關系，并且能夠通過運算驗證規(guī)律的正確性，這類題在課本中也有原形，回歸了課本。

二、建立方程（組）模型

例如：某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：

張強兩次共購買50千克（第二次多于第一次），共付出264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？

解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克，則由題意可行 于是有：

①當 ，時，由題意得

②當，時，由題意得

（不合題意，舍去）

③當 時，則 ，此時張強用去的款項為： （不合題意，舍去）。

綜上所述，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克。評注：學會分析分析問題中的數(shù)量關系，尋找已知量與未知量之間的相等關系，通過適當設元。列出方程或方程組，從而解決問題。

三、建立不等式模型

例如：南京汽車租賃公司共有30輛出租車，其中甲型汽車20輛，乙型汽車10輛，現(xiàn)將這30輛汽車租賃給A、B兩地旅游公司，其中20輛派往A地，10輛派往B地，兩地旅游公司與汽車租賃公司商定每天價格如下表：

（1）設派往A地的乙型汽車x輛，租賃公司這30輛汽車一天共獲得的租金為y（元），求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的取值范圍；

（2）若要使租賃公司這30輛汽車一天所獲得的租金總額不低于26800元，請你說明有多少種分派方案，并將各種方案設計出來：

解（1）

（3）由題材意得：

且x是整數(shù)，所以x取8、9、10，故方案有3種。

方案1：A地派甲型車12輛，乙型車8輛；B地派甲型車8輛，乙型車2輛。

方案2：A地派甲型車11輛，乙型車9輛；B地派甲型車9

(下轉(zhuǎn)164頁)

輛，乙型車1輛。

方案3：A地派甲型車10輛，乙型車10輛；B地派甲型車10輛。

四、建立函數(shù)模型

例：某通迅器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支（不含進價）總計120萬元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬元）與銷售單價x（元）之間存在著如圖1所示的一次函數(shù)關系

（1）求y關于x的函數(shù)關系。

（2）試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利Z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數(shù)關系式（年獲利=年銷售額-年銷售產(chǎn)品總進價-年總開支）當銷售疳單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值。

（3）若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助（2）中函數(shù)的圖像，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍，在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？

由函數(shù)圖像可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間，又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應為80元。

數(shù)學建模在解決實際問題的運用，要在課內(nèi)與課外、學習與實踐等各個空間，各種活動中進行；要秉持新的教學理念：“數(shù)學教育不僅要讓學生學會繼續(xù)深造所必需的數(shù)學基本知識、基本技能，更重要的是讓學生用數(shù)學眼光看待世界，用數(shù)學思維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決現(xiàn)實生活問題”。

參考文獻：

[1]孔凡海.中學生數(shù)學建模讀本[M].江蘇教育出版社

[2]沈文先.數(shù)學建模[M].湖南師范大學出版社

[3]劉來福，曾文藝.問題解決的數(shù)學模型方法[M].北京師范大學出版社