向量共線定理的推廣

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-1875(2009)10-009-01

本文就原人教版課本《向量》一道例題結(jié)合高考題進(jìn)行探討向量共線的應(yīng)用，該題在向量線性運(yùn)算中具有一定的代表性，在今后實(shí)行新課改中沒有太大的變動(dòng)，應(yīng)予以較高的重視。

例：已知，不共線，=t（t∈R），用，表示 （課本117頁(yè)）。

解析：因?yàn)?t（t∈R），

所以=+=+t ①

即有=（1-t）+t②

易得到當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，用，表示，向量，的系數(shù)和為1。

下面我們通過(guò)幾道例題對(duì)向量共線定理作進(jìn)一步的推廣。

例1：（2002天津）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（-1，3），點(diǎn)滿足=α，β，α+β=1則點(diǎn)C的軌跡方程是 （）

A.3x+2y-11=0 B.（x-1）2+（y-2）2=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

解析：由α+β=1得β=1-α，代入=α，β，則=α，（1-α），整理得-=α（-）即=α，故Ａ，Ｂ，Ｃ三點(diǎn)共線。由于Ｃ的軌跡是直線AB，易選出答案Ｄ．

以上過(guò)程說(shuō)明例題表述的原命題的逆命題也是真命題，可以在以后的解題中把②式做為結(jié)論使用，看作共線定理的一個(gè)推論，即： A，B，C三點(diǎn)共線（O為直線AB外任一點(diǎn)）。

評(píng)注：新課標(biāo)中指出“教師應(yīng)根據(jù)不同的內(nèi)容目標(biāo)及學(xué)生的實(shí)際情況，給學(xué)生留下拓展、延伸的空間和時(shí)間，對(duì)有關(guān)課時(shí)作進(jìn)一步的探索、研究?！绷?xí)題、例題在新課標(biāo)中被賦予同樣的作用。天津是最早實(shí)行新課程新高考，此題考察了逆向思維，結(jié)合解析幾何的軌跡求解，充分體現(xiàn)課改理念和向量的工具作用，通過(guò)變式使學(xué)生的認(rèn)知再上升一個(gè)臺(tái)階，源于課本高于課本。

例2：已知四邊形OABP能不能成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說(shuō)明理由。

解析：這是一道練習(xí)題，考查意圖是讓學(xué)生熟悉向量的坐標(biāo)運(yùn)算，學(xué)生的一般思路是假設(shè)四邊形OABP能成為平行四邊形，則=，在方程組中求未知數(shù)t的值，由解的有無(wú)判斷四邊形OABP能否成為平行四邊形。

反思：由于即=+t（=）=（1-t）OA+t，符合推廣結(jié)論，故A，B，Ｐ 三點(diǎn)共線，四邊形OABP不可能成為平行四邊形。

例３：（2006江西）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且Ａ，Ｂ，Ｃ三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)Ｏ點(diǎn)），則 等于（ ）

Ａ.100Ｂ.101Ｃ.200Ｄ.201

解析：，且Ａ，Ｂ，Ｃ三點(diǎn)共線，由我

們探索得出的結(jié)論可知 ，

再整體代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得到答案A。

例４：（2006湖南）如圖 ∥，點(diǎn)Ｐ在由射線ＯＭ，線段ＯＢ，及ＡＢ的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且

，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

解析：做為選擇題，可以從“不含邊界”入手；

如果點(diǎn)P在ＡＢ的延長(zhǎng)線上，則有，故排除選項(xiàng)A、D;

如果點(diǎn)P在OM上，由于∥，一定存在實(shí)數(shù)，使

即則有，故排除選項(xiàng)B，此題的正確答案為C選項(xiàng)。

那么我們可以猜想：；又如何去證明呢？

延長(zhǎng)OP交AB的延長(zhǎng)線于Q，則一定存在實(shí)數(shù) ，使也就是因?yàn)锳、B、

Q三點(diǎn)共線，所以 由可證

。

評(píng)注：在這個(gè)證明的過(guò)程中，我們分別使用了共線定理和本文得出的推論，使思路簡(jiǎn)潔、完美。

總之，教材中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)資源，所以高中數(shù)學(xué)課一定要圍繞基本知識(shí)和基本方法展開，在教材習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行挖掘，增大思維量，通過(guò)習(xí)題的研究掌握方法、鞏固概念、提高解題的能力，力求讓學(xué)生在做題中把握知識(shí)的脈絡(luò)和認(rèn)清知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生分析問題、解決問題的能力不斷得到提升。