概率與高中數(shù)學(xué)其他知識(shí)點(diǎn)的交匯

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-1875(2009)07-144-02

隨著高考數(shù)學(xué)《考試大綱》對(duì)創(chuàng)新意識(shí)和個(gè)性品質(zhì)的考查要求的提出，在知識(shí)的交匯點(diǎn)命題應(yīng)該是考查這種創(chuàng)新意識(shí)的一個(gè)不錯(cuò)的選擇。而概率其他知識(shí)點(diǎn)交叉滲透的數(shù)學(xué)問題，是新課程高考的又一亮點(diǎn)和熱點(diǎn)。這類題的特點(diǎn)是：情景新穎別致，立意深刻，自然流暢。解這類題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，對(duì)題目所涉及到的其他知識(shí)理解透徹，抓住本質(zhì)，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，把具體問題轉(zhuǎn)化為常見的概率模型解決。本文就概率與數(shù)列、解析幾何、不等式、函數(shù)等四個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的題型做一簡(jiǎn)單的探討，希望對(duì)廣大師生能有所啟發(fā)。

一、概率與數(shù)列的交匯

2008年，因?yàn)檫f推數(shù)列題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性，多個(gè)省市高考數(shù)學(xué)試卷的最后一題都與遞推數(shù)列有關(guān)。數(shù)列與概率的交匯可以進(jìn)發(fā)出一類檔次較高的綜合題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造能力大有裨益。如下題：

例1：某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是1/2，從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是1/3、2/3；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是3/5、2/5。記第n（n N，n≥1）次按下按鈕出現(xiàn)紅球的概率為Pn；

（1）求P2的值；

（2）當(dāng)n N，n∈≥2時(shí)，求用Pn-1表示Pn的表達(dá)式；

（3）求數(shù)列{Pn}的通項(xiàng)公式。

分析：（1）互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率公式求解。

若按鈕第一次、第二次后均出現(xiàn)紅球，則其概率為×=6；若按鈕第一次和第二次按下后依次出現(xiàn)綠球、紅球，則其概率為×=。故P2=×=P2=×=

（2）找出第n次按下按鈕出現(xiàn)紅球與第n-1次出現(xiàn)紅球的關(guān)系。

第n-1次按下按鈕出現(xiàn)紅求的概率為Pn-1（n∈N，n≥2），則出現(xiàn)綠求的概率為1-Pn-1，若第n-1次、第n次按下后均出現(xiàn)紅球，則其概率為Pn-1，若第n-1次、第n次按下后均出現(xiàn)紅球，則其概率為Pn-1；若第n次、第n-1次按下后依次出現(xiàn)綠球、紅球，則其概率為(1-Pn-1)。所以Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+（其中n∈N，n≥2）

（3）轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和公式求解。

由（2）可得Pn-=-(Pn-1-)（其中n∈N，n≥2），故{Pn-}構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為-的等比數(shù)列，所以Pn=×(-)n-1+（n∈N，n≥1）

本題的背景為實(shí)際問題，考查了概率知識(shí)在數(shù)列中的應(yīng)用，應(yīng)利用已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法求數(shù)列{Pn}的通項(xiàng)。

二、概率與解析幾何的交匯

解析幾何在高中數(shù)學(xué)中的重要性是很顯然的。，近幾年常作為副壓軸題出現(xiàn)在各個(gè)地區(qū)的高考試卷中。雖然沒有出現(xiàn)與概率的交匯題，但是在高考題常新常精的今天，概率和解析幾何的交匯題也不應(yīng)忽視。

例2：兩位好朋友約好在下午4點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某商場(chǎng)門口見面，他們約好當(dāng)其中一個(gè)先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則離去。試問這對(duì)好朋友能夠相遇的概率為多大？假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的且都在約定的1小時(shí)內(nèi)。

分析：記A和B能夠相遇為事件n。x和y為下午4點(diǎn)后A和B分別到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間（以分鐘計(jì)數(shù)），則他們所有可能到達(dá)時(shí)間都可用有序數(shù)對(duì)（x，y）來表示，這里0

解決概率與解析幾何合的交匯問題，應(yīng)認(rèn)真分析有關(guān)圖形的位置關(guān)系，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。

三、概率與不等式的交匯

不等式是歷年高考的熱點(diǎn)，由于不等式又是一種解決其它數(shù)學(xué)問題的工具，在每年高考試題中，直接或間接考查不等式知識(shí)約占總分的三分之一以上，不等式與概率交匯試題體現(xiàn)了“基礎(chǔ)與能力考查并重”的原則。

例3：假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中的故障率為1-a，且各引擎是否出故障是相互獨(dú)立的，如果有50%的引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行。若要使四引比雙引擎飛機(jī)更安全，求a應(yīng)滿足怎樣的條件。

分析：分別求出雙引擎和四引擎飛機(jī)成功飛行的概率，轉(zhuǎn)化為解不等式問題

雙引擎和四引擎飛機(jī)成功飛行的概率分別為Ca2(1-a)2+Ca3(1-a)+Ca4和C21a(1-a)+Ca2

若前者安全，則Ca2(1-a)2+Ca3(1-a)+Ca4>C21a(1-a)+Ca2即a(a-1)2(3a-2)>0，又因?yàn)?，所以

本題充分借用不等式的相關(guān)知識(shí)及分類討論的數(shù)學(xué)思想解決概率大小的比較問題，新穎、獨(dú)特，不僅是考生進(jìn)一步熟悉概率的性質(zhì)和運(yùn)算，而且給傳統(tǒng)的方法增添了一道亮麗的風(fēng)景，對(duì)于考生掌握知識(shí)、開闊思路及創(chuàng)新精神的培養(yǎng)大有裨益。

四、概率與函數(shù)的交匯

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)用十分廣泛，函數(shù)的思想方法貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)，對(duì)分析和解決各種數(shù)學(xué)問題和實(shí)際應(yīng)用題具有重要作用，在歷年的高考試題中函數(shù)的內(nèi)容都保持較高的比例。

例4：袋中有紅球和白球共100個(gè)，如從袋中任取3只，問袋中有幾個(gè)紅球時(shí)，使取得的3個(gè)球全為同色的概率最?。?/p>

分析：先求出紅球數(shù)為x個(gè)時(shí)，取得的3個(gè)球全為同色的概率，再用函數(shù)方法求其最小值，這是概率與函數(shù)的綜合問題；

設(shè)x、y分別為紅球、白球的個(gè)數(shù)，則有x+y=100，x、y∈N+。從100個(gè)球中任取3球，全為紅色的概率為：P1=x-1=；全為白球的概率為：P1=x-1=。以上兩個(gè)事件是互斥的，從而三球?yàn)橥母怕蕿椋篜1+P2，化簡(jiǎn)可得：P1+P2=1+[(x-50)2-2500]，因此當(dāng)x=50時(shí)，P為最小，此時(shí)P=。

此題表明，解答有關(guān)概率問題需將排列組合與函數(shù)等其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，只有在掌握了正確的思維方法之后才能有效客觀的解決問題。

此外概率還能與平面幾何合，立體幾合，方程，二項(xiàng)式定理，三角等內(nèi)容交匯，題型復(fù)雜多變。概率是新課程中新增加部分內(nèi)容之一，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的極好素材，同時(shí)也是學(xué)生將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必不可少的重要基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)引起廣大教師和同學(xué)們的足夠重視。

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