教而時習(xí)之不亦樂乎

【摘 要】有效教學(xué)是新課程改革研究的重要課題，“什么樣的教學(xué)才是有效的?”是一線教師面臨的挑戰(zhàn)。作為“引導(dǎo)者”的教師首先應(yīng)該是樂于學(xué)習(xí)、勇于探索的實踐者，學(xué)教育教學(xué)理論、課標、教法，使自身成為可持續(xù)發(fā)展的人，從教學(xué)實踐中不斷形成有效教學(xué)的策略性知識和基本技能，“將數(shù)學(xué)課講活、講懂、講深”，在有效教學(xué)的道路上體驗探索者的快樂。

【關(guān)鍵詞】有效教學(xué) 教學(xué)理論 講懂 講活 講深

【中圖分類號】G64【文獻標識碼】A【文章編號】1006-9682(2009)09-0143-02

在加強素質(zhì)教育、全面實施新一輪課程改革的今天，有效教學(xué)成為新課程改革的熱點理念?！拔业慕虒W(xué)有效嗎?”、“什么樣的教學(xué)才是有效的?”無疑給一線教師提出了更高的要求與挑戰(zhàn)。新課程培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，那么，作為“引導(dǎo)者”的教師首先應(yīng)該是樂于學(xué)習(xí)、勇于探索的實踐者，學(xué)教育教學(xué)理論、課標、教法，使自身成為可持續(xù)發(fā)展的人，從而不斷形成有效教學(xué)的策略性知識和基本技能，“將數(shù)學(xué)課講活、講懂、講深”。[1]下面結(jié)合本人的教學(xué)實際，談一點個人的體會。

一、研讀傳統(tǒng)教學(xué)理論，把課“講懂”。

有效教學(xué)最基本的要求就是教師把數(shù)學(xué)課給學(xué)生“講懂”，即幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背、機械模仿。俗話說:“教學(xué)有法，教無定法?！彼^“有法”，就是指教師要在教育理論如教學(xué)原則、教學(xué)方法指導(dǎo)下，選擇科學(xué)的方法進行教學(xué);所謂“無定法”，就是不同的方法有不同的使用范圍，教師要根據(jù)師生學(xué)習(xí)共同體的條件，考慮教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，靈活選用最合適、最有效的教學(xué)方法，并在實踐中努力探尋和創(chuàng)造出富有個性的更好的教學(xué)方法，進而貫徹教學(xué)過程的各個方面和始終，力求使教學(xué)取得滿意的效果。我在教學(xué)有限制條件的排列問題——相鄰問題時設(shè)計的一種教法，在這里以期和同仁探討教法得失。

例，A、B、C、D四名同學(xué)站一排照相，其中A、B兩人必須相鄰。有多少種不同站法?

這是學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)完無限制條件的排列問題后的習(xí)題課，他們已經(jīng)能解答簡單的排列應(yīng)用題，明確排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題。本題由于有A、B兩人必須相鄰的限制條件，對于學(xué)生來說，是一個全新的問題，為引導(dǎo)學(xué)生探索計算這類問題的一般方法，教學(xué)中依然采用“枚舉法”，使學(xué)生切身體驗排列的過程。為此設(shè)問:

(1)A、B兩人必須相鄰，怎樣處理才能保證相鄰?(把A、B兩人同時排)

(2)如果把A、B兩人看作一個整體，這個“大元素”暫時用“□”來代替，那么它與C、D兩人共三個“元素”進行排列，有多少種不同排法?

學(xué)生自然想到這相當(dāng)于三個元素的全排列，有 種排法，具體情景讓學(xué)生列出:

□CD□DCC□DD□CCD□DC□。

(3)A、B兩人內(nèi)部是否需要考慮順序?怎么處理?

因為A、B兩人內(nèi)部也有相對順序，所以再對他們進行“自排”，有 種排法:

ABCD ABDC CABD DABC CDAB DCAB

BACD BADC CBAD DBAC CDBA DCBA

(4)我們是如何完成“排隊照相”這件事的?該怎樣計數(shù)?

由分步計數(shù)原理得:共有 #8226; =12種不同排法。

這里我按照直觀性原則、啟發(fā)性原則一步步引導(dǎo)學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題，展現(xiàn)思維過程，“使之真正成為‘可以理解的’、‘可以學(xué)到手的’和‘可以加以推廣應(yīng)用的’”，[1]通過讓學(xué)生親自列舉所有可能，真切、具體、直觀地感受這種新穎的思想方法，并形象的稱之為“捆綁法”，使學(xué)生初步由感性思維上升到理性思維，達到教學(xué)目的。教育家烏申斯基指出:“邏輯不是別的東西，而是自然界里的事物和現(xiàn)象的聯(lián)系在我們頭腦中的反映?！?。[2]為適應(yīng)學(xué)生的認知水平，指導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)知識和原理， 就需要提供豐富的直觀材料，通過觀察、操作、比較、分析等手段獲得大量的感性認識，建立表象，以此作為進行抽象數(shù)學(xué)知識

的支柱。“這道題都講了好幾遍，學(xué)生還不會做”，這是考試后教師抱怨比較多的一句話，究其原因是學(xué)生并沒有把教師講的知識弄懂，內(nèi)化為自己的能力。這就要求我們根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生思維能力，選擇合適的教學(xué)方

法，而傳統(tǒng)教學(xué)理論就能為我們正確導(dǎo)航。

二、學(xué)習(xí)新教學(xué)理念，把課“講活”。

新課程倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，滲透了以學(xué)生發(fā)展為本的新理念。在課堂教學(xué)中，教師要充分認識學(xué)生的主體地位和能動作用。給學(xué)生一些權(quán)利，讓他自己去選擇;給學(xué)生一些機會，讓他自己去體驗;給學(xué)生一個問題，讓他自己探求答案;給學(xué)生一片空間，讓他自己去拓展。[3]我覺得在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，適時選擇“一題多解”策略，就容易把學(xué)生推到主體位置，就能把知識講活、把課堂講活。下面是我在選修4-5《不等關(guān)系與基本不等式》復(fù)習(xí)小結(jié)時選講的一道例題。

例，已知a、b、c、d都是實數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1。求證:|ac+bd|≤1

這道題的證法很多，但是多解的思路不是教師講給學(xué)生。教育家第斯多惠有句名言:“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理?！盵2]教師的任務(wù)只是課前精心準備，課堂巧妙引導(dǎo)，把成功的機會留給學(xué)生，鼓勵學(xué)生發(fā)表不同見解，相互學(xué)習(xí)、相互支持、相互尊重，創(chuàng)造民主和諧的教學(xué)氛圍。

學(xué)生A從不等式結(jié)論含有絕對值這一結(jié)構(gòu)入手，想到了絕對

值不等式 |a+b|≤|a|+|b|，于是 |ac+bd|≤|ac|+|bd|≤

，用綜合法順利完成。

學(xué)生B考慮絕對值問題通常轉(zhuǎn)化為不含絕對值問題，于是要證|ac+bd|≤1，只需證明(ac+bd)2≤1，即證a2 c2+2abcd+b2 d2≤1，由于a2+b2=1，c2+d2=1，所以，將(a2+b2)(c2+d2)=1代入化簡得(ac-bd)2≥0，“執(zhí)果索因”，這是分析法。

學(xué)生C說去絕對值除了平方法還常用定義法，這樣避免升高次數(shù)，于是要證原不等式只需證明-1≤ac+bd≤1，然后用比較法分別證明ac+bd≤1和ac+bd≥-1，這是分析綜合法的靈活應(yīng)用。

學(xué)生D卻著眼于已知條件，a2+b2=1，c2+d2=1可以看作點(a，b)(c，d)分別與原點的距離的平方，結(jié)合向量知識，a2+b2，c2+d2恰分別表示向量 的模的平方，而ac+bd則表示兩向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量數(shù)量積性質(zhì) ，得到不等式向量方法的證明，思維很活躍!

學(xué)生E也從條件入手，聯(lián)想到三角同角平方關(guān)系，設(shè)a=sinα，b=cosα，c=sinβ，d=cosβ，得到了三角代換法。

學(xué)生F想法更出奇，他綜合條件、結(jié)論分析到只需證明(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)≤0，從形式上看很象判別式b2-4ac≤0，于是構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)，即f(x)=(ax+c)2+(bx+d)2，因為x取任何實數(shù)都有f(x)≥0，于是判別式不能為正值，這是構(gòu)造函數(shù)法。

真是仁者見仁，智者見智。不久我們就要學(xué)習(xí)下一章中的《柯西不等式》，我相信你們會有新的方法，以激起學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的欲望。

通過本題的種種證法的交流，學(xué)生能較好地體會不同證法的觀察角度和所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，拓寬了解題思路，構(gòu)建了知識網(wǎng)絡(luò)，把知識學(xué)活了。同時，學(xué)生的個性得到張揚，敏銳的洞察力和巧妙的構(gòu)思使掌聲不斷響起，課堂氣氛很活躍，教學(xué)效果很好!

三、鉆研本學(xué)科知識，把課“講深”。

如果說“講懂”是立足于那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、抽象思維能力較差的同學(xué)，目的在于培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的話，那么，“講深”則側(cè)重于那些勤于動腦，善于思考的優(yōu)秀學(xué)生，有利于激發(fā)這個群體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。新課程理念要求不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，如果一堂課的教學(xué)設(shè)計因為照顧大多數(shù)學(xué)生發(fā)展而制約了少數(shù)優(yōu)秀生的發(fā)展，自然不能說是有效的。當(dāng)然，這里說的“深”不是高深，而是在現(xiàn)有基礎(chǔ)上的適度深入、拓展。我在教選修4-5《不等式的證明》時，教材第19頁有這樣一道練習(xí)題:

已知a>0，b>0，求證: [4]

這道題就是二元均值不等式的直接應(yīng)用，每個學(xué)生都能順利完成，學(xué)生做完后，我考慮學(xué)生已有類比推理知識，就順便提問:若已知a>0，b>0，c>0，你能類比出什么結(jié)果?能證明你的結(jié)

果嗎?一切都在預(yù)料之中，學(xué)生得到了(a+b+c) ≥

9，這正是教材第30頁第2題;在此基礎(chǔ)上，進一步追問:能否推廣到一般情形?教室里安靜了，此時無聲勝有聲，學(xué)生們都在寫寫畫畫，不一會，他們得到了結(jié)果:

若a1，a2，…，an都是正數(shù)，則:

(a1+a2+…+an)

這恰是教材第41頁4題。學(xué)生的“再創(chuàng)造”能力得到了發(fā)展，他們切切實實體驗著成功的快樂，感受著數(shù)學(xué)的魅力。然而，令我沒有想到的是，下課后，一名學(xué)生找我來了:“老師，我根據(jù)

a>0，b>0時，有 ，類比的a>0，b>0，c>0

時，有，你說這個不等式對嗎?”當(dāng)時

我對這個問題驚嘆不已，感覺應(yīng)該對，但一時半刻卻無法證明，只好對學(xué)生說:“我再想想”。課后花了很大功夫，還是沒有滿意的結(jié)果。為給學(xué)生答復(fù)，我找到了《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》，一查還真有這個結(jié)論!而且有更一般的結(jié)論:a1，a2，…，an都是正數(shù)，

則有 。在課堂上給全班學(xué)

生講了這個故事，并特意將他的猜想成果與羅增儒教授相提并論，同學(xué)們的掌聲經(jīng)久不息。我也深深的感到要相信我們的學(xué)生，同時還要把自己的專業(yè)知識向縱深發(fā)展，才能從容應(yīng)對學(xué)生的問題。即使學(xué)生的問題可能最終無法解答，但對于學(xué)生那主動探索、勇于創(chuàng)新的意義依然是重大的。

一名教師，可能一輩子只教一門課程，但決不能處于同一個水平。我們與學(xué)生朝夕相處，我們愛學(xué)習(xí)，我們能探索，我們敢創(chuàng)新，我們就是學(xué)生的榜樣!學(xué)生與我們心心相印，我們的課堂氣氛活躍，學(xué)生能深層次參與，學(xué)習(xí)興趣濃厚，教學(xué)質(zhì)量自然高，這就是教師的價值，這就是教師的快樂。

參考文獻

1 鄭毓信. 數(shù)學(xué)方法論. 廣西教育出版社，2003

2 轉(zhuǎn)引王道俊、王漢瀾主編. 教育學(xué). 人民教育出版社，1989

3 高中新課程叢書. 走進高中新課程. 華中師范大學(xué)出版社，2004

4 普通高中課程標準實驗教科書. 《數(shù)學(xué)》(選修4～5).北京師范大學(xué)出版社，2008

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