交通路口信號(hào)燈管理的數(shù)學(xué)分析

【摘 要】針對(duì)交通路口不同方向的交通情況，分別從“綠燈時(shí)間的設(shè)置、停車(chē)位置的設(shè)置、左轉(zhuǎn)彎待轉(zhuǎn)區(qū)域的設(shè)置、右轉(zhuǎn)分流模型”四個(gè)方面進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析。

【關(guān)鍵詞】最大流通量 綠燈對(duì)路口利用率 停車(chē)位置 待轉(zhuǎn)區(qū)域 數(shù)學(xué)分析

【中圖分類(lèi)號(hào)】O29【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1006-9682(2009)09-0139-03

一、問(wèn)題提出

交通運(yùn)輸狀況是衡量一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo)，隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的持續(xù)、高速發(fā)展，各種機(jī)動(dòng)車(chē)擁有量急劇增加，帶來(lái)了交通運(yùn)輸業(yè)的空前繁榮。大多數(shù)城市的交通已從過(guò)去的局部擁擠演變成為當(dāng)今的大范圍全面緊張。私有車(chē)輛的增加給城市交通帶來(lái)了難以承受的負(fù)荷。擁擠帶來(lái)時(shí)間的浪費(fèi)，使人們對(duì)自己的時(shí)間無(wú)法估計(jì)、耽誤工作和計(jì)劃等。這種緊張狀況日趨嚴(yán)重，已成為大城市突出的社會(huì)問(wèn)題之一，也已成為國(guó)民經(jīng)濟(jì)進(jìn)一步發(fā)展的“瓶頸”問(wèn)題。城市道路中往往有許多十字路口，為了防止交通混亂，在路口一般都設(shè)置交通信號(hào)燈和停車(chē)標(biāo)記。在城市交通主干道的十字交叉路口，特別是交通高峰期，我們經(jīng)?？梢钥吹杰?chē)輛排成長(zhǎng)龍，一輛汽車(chē)甚至要等幾次信號(hào)燈的變換才能通過(guò)路口。[1]因此，必須面對(duì)現(xiàn)實(shí)，解決城市的交通擁擠、堵塞問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)分析

1.說(shuō) 明

一個(gè)直行綠燈能通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù):以直行方向?yàn)槔?，容易知道?dāng)車(chē)輛通過(guò)路口的速度越大，通過(guò)路口所需要的時(shí)間越短，就有越多的車(chē)輛通過(guò)路口。然而實(shí)際上，車(chē)輛都是從0開(kāi)始加速。那么，可以算出第n輛汽車(chē)到達(dá)停止線(xiàn)正好達(dá)到的最大速度。之后的車(chē)輛都以最大速度通過(guò)路口，因此可以計(jì)算出實(shí)際通過(guò)車(chē)輛數(shù)。

綠燈時(shí)間對(duì)路口的利用率:綠燈的利用率應(yīng)該是在綠燈時(shí)間內(nèi)實(shí)際能通過(guò)的車(chē)輛數(shù)與理想狀態(tài)下能通過(guò)的車(chē)輛數(shù)的比值。然而，由于紅燈，導(dǎo)致勻速行駛的汽車(chē)流被截?cái)?。因此，積壓了車(chē)輛，理論上就是，沒(méi)有紅綠燈時(shí)間，即車(chē)輛一直以最大速度V行駛時(shí)，時(shí)間為紅燈時(shí)間內(nèi)的最大通行量，即積壓車(chē)輛。因此綠燈時(shí)間對(duì)路口的利用率=實(shí)際最大通行量/積壓車(chē)輛。[2]

一個(gè)綠燈時(shí)間內(nèi)通過(guò)路口的數(shù)量與綠燈亮?xí)r間的關(guān)系:一個(gè)方向上的綠燈可以分為直行和左轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的綠燈。所以，一個(gè)方向上一個(gè)綠燈時(shí)間內(nèi)通過(guò)路口的數(shù)量為左轉(zhuǎn)與直行通行數(shù)量的和。然而，綠燈總的時(shí)間一定，如果左轉(zhuǎn)綠燈時(shí)間一定，那么最大通行量一定，相應(yīng)的，直行最大通行量也一定。

汽車(chē)停止線(xiàn)不變，停車(chē)位置后移與車(chē)道通行能力的關(guān)系:當(dāng)汽車(chē)以最大速度通過(guò)停止線(xiàn)的時(shí)候通過(guò)路口的時(shí)間最短，從而，通過(guò)路口的車(chē)輛數(shù)最多。我們考慮將停車(chē)位置向后移，使得停車(chē)位置與停止線(xiàn)之間有距離△s，從而汽車(chē)?yán)猛＼?chē)位置與停車(chē)線(xiàn)之間的路程來(lái)加速，以盡可能接近最大速度V的速度通過(guò)路口。這個(gè)距離應(yīng)該保證當(dāng)信號(hào)燈由紅變?yōu)辄S色時(shí)第一輛汽車(chē)開(kāi)始啟動(dòng)，當(dāng)黃燈變?yōu)榫G燈時(shí)，汽車(chē)沒(méi)有越過(guò)停止線(xiàn)，并且速度盡可能的接近最大速度V。同時(shí)必須保證汽車(chē)以最大速度通過(guò)停車(chē)位置到達(dá)馬路對(duì)面所需的時(shí)間小于等于黃燈時(shí)間，來(lái)保證行車(chē)安全。另外一個(gè)方面，當(dāng)綠燈變?yōu)辄S燈時(shí)，規(guī)定沒(méi)有越過(guò)停車(chē)位置的車(chē)輛剎車(chē)，不許越過(guò)停車(chē)位置。

2.假 設(shè)

(1)只有直行車(chē)道的交叉路口(見(jiàn)圖1);

(2)左轉(zhuǎn)的待轉(zhuǎn)車(chē)道示意圖(見(jiàn)圖2);

(3)如何求積壓車(chē)輛示意圖(見(jiàn)圖3);

(4)停車(chē)位置設(shè)置示意圖(見(jiàn)圖4);

(5)右轉(zhuǎn)車(chē)輛分流示意圖(見(jiàn)圖5、圖6);

(6)車(chē)輛通行時(shí)可視為流體，無(wú)間斷，即不考慮意外事故對(duì)交通的影響;

(7)所有路口一樣寬;

(8)車(chē)輛通過(guò)停止線(xiàn)即能安全通過(guò)路口;

(9)信號(hào)燈亮的方式為:綠→黃→紅→黃→綠。

3.符 號(hào)

L—汽車(chē)長(zhǎng)度(m)，D—紅燈時(shí)等待的相鄰車(chē)距(m)，T—兩車(chē)啟動(dòng)延遲時(shí)間(s)，V—通過(guò)城市交叉路口的最大限速(m/s)，a—加速到最高限速的加速度(m/s2)，△S—停車(chē)位置與停止線(xiàn)之間的距離(m)，S—汽車(chē)流以速度V勻速行駛時(shí)汽車(chē)的間距(m)，M1—方向1能通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù)，M2—方向2能通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù)，N1—方向1實(shí)際通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，N2—方向2實(shí)際通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，N—一個(gè)周期，通過(guò)十字路口總車(chē)輛數(shù)，N1′—一個(gè)周期內(nèi)方向1通行車(chē)輛數(shù)，N2′—一個(gè)周期內(nèi)方向2行車(chē)輛數(shù)，N′′—設(shè)置停車(chē)位置后的最大通行量，d—路寬(m)，K—綠燈利用率(%)，K1—方向1上綠燈能夠率(%)，K2—方向2上綠燈能夠率(%)，t綠—綠燈亮的時(shí)間(s)，t紅—紅燈的時(shí)間(s)，tz黃—黃燈的時(shí)間(s)，t1綠—方向1上綠燈時(shí)間即方向2上紅燈時(shí)間(s)，t2綠—方向2上綠燈時(shí)間即方向1上紅燈時(shí)間(s)。

4.模 型

(1)直行方向上綠燈時(shí)間最大通行量

綠燈亮起，車(chē)輛由停止線(xiàn)開(kāi)始加速。前面一部分車(chē)并不能以最大速度通過(guò)停止線(xiàn)，后面的車(chē)輛均能以最大速度通過(guò)路口。設(shè)第n輛車(chē)恰好以最大速度通過(guò)路口。那么:

第n輛車(chē)前面的車(chē)滿(mǎn)足條件:

， ≥(n-1)(L+D)

第n輛車(chē)滿(mǎn)足條件:

=(n-1)(L+D)n = [3]

第n輛車(chē)后面的車(chē)滿(mǎn)足條件:

≤(n-1)(L+D)

≤t綠

(2)直行綠燈時(shí)間對(duì)路口的利用率

如果汽車(chē)均以最大速度V通過(guò)路口，此時(shí)能夠通過(guò)最多的車(chē)輛，記為M。

當(dāng)汽車(chē)以最大速度勻速通過(guò)路口時(shí)，汽車(chē)與汽車(chē)保持相對(duì)靜止(如圖7)。

圖7 勻加速的V-t圖 圖8 綠燈時(shí)間與利用率的關(guān)系

如果兩車(chē)在同一點(diǎn)出發(fā)，由于啟動(dòng)時(shí)間延遲T，那么兩者都達(dá)到V之后，相距路程為圖中平行四邊形面積:T×V。然而，停止時(shí)兩車(chē)相距D，所以，最終兩車(chē)相對(duì)靜止時(shí)相距:D′=D+T×V，汽車(chē)流在t綠內(nèi)能通過(guò)的路程:t綠×V，汽車(chē)流在t綠時(shí)間內(nèi)

最多能通過(guò)的車(chē)輛數(shù) ，直行綠燈利用率:

(3)某方向?qū)υ摲较蚓G燈利用率:

方向1實(shí)際能通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù):N1= ，方

向1積壓車(chē)輛數(shù)方向1利用率:

方向2綠燈利用率:。

通過(guò)對(duì)紅綠燈及利用率的分析，得到圖8。

可見(jiàn)，綠燈時(shí)間越長(zhǎng)某一方向上的綠燈利用率最大。

(4)十字路口汽車(chē)通行輛與綠燈亮的時(shí)間的關(guān)系

方向1在一個(gè)周期內(nèi)通行車(chē)輛數(shù)N′1=2 +2，方向

2在一個(gè)周期內(nèi)通行車(chē)輛數(shù)N′2=2 +2 一個(gè)周期通

過(guò)十字路口的總車(chē)輛數(shù)N′:

N′=N′1+ N′2=2 +2 +4。

(5)停車(chē)位置與通行能力的關(guān)系

停車(chē)位置與通行能力的關(guān)系:停車(chē)位置后移導(dǎo)致汽車(chē)在過(guò)路口前有一段距離進(jìn)行加速，使得通過(guò)路口速度盡可能接近于最大速度V，從而加大通行車(chē)輛數(shù)。然而，停車(chē)位置不能離路口太遠(yuǎn)，否則會(huì)減小通過(guò)車(chē)輛數(shù)。

停車(chē)位置與黃燈時(shí)間的關(guān)系:設(shè)紅綠燈的變化方式為t紅→t黃→t綠→t黃→t紅。規(guī)定當(dāng)信號(hào)燈由綠燈變?yōu)辄S燈時(shí)，沒(méi)有到達(dá)停車(chē)位置的車(chē)輛不可以再越過(guò)停車(chē)線(xiàn)。

黃燈時(shí)間必須滿(mǎn)足:△s≥ at2黃，Vt黃≥L+d;

停車(chē)位置與黃燈的關(guān)系:△s≥ a(L+d)2;

當(dāng)△s過(guò)大時(shí)，即△s≥ 時(shí)，浪費(fèi)了綠燈的時(shí)間，減少了

通行量。所以△s范圍: a(L+d)2≤△s≥ ，t黃 范圍:

;

停車(chē)位置的設(shè)置與路口通行能力的關(guān)系:

，N′′=[n′′]。

三、建 議

1.定期對(duì)城市各路口的汽車(chē)通行量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并調(diào)整紅綠燈的時(shí)間

在確定紅綠燈時(shí)間時(shí)必須考慮的一個(gè)重要因素就是汽車(chē)的通行量。一般來(lái)說(shuō)一個(gè)路口的通行量是比較穩(wěn)定的，但是由于城市建設(shè)等因素影響，通行量會(huì)發(fā)生變化，如果不及時(shí)調(diào)整紅綠燈的時(shí)間很可能會(huì)引起交通堵塞，影響市民正常的工作和生活，所以必須派專(zhuān)人統(tǒng)計(jì)車(chē)流量，及時(shí)發(fā)現(xiàn)不合理的紅綠燈，找出合理的紅綠燈的時(shí)間設(shè)定方案，使其達(dá)到最大利用率。

2.對(duì)不同方向車(chē)道做合理安排

(1)直行車(chē)輛

汽車(chē)從靜止到啟動(dòng)，從速度為0達(dá)到最大值，需要經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，如果我們能夠合理設(shè)置停車(chē)位置，來(lái)充分利用紅燈變綠燈之間的黃燈來(lái)加速，使得綠燈亮?xí)r，汽車(chē)能夠以一定的速度越過(guò)停止線(xiàn)，這就使得在相等的綠燈時(shí)間里，汽車(chē)的通行量增加，減少了路口堆積的車(chē)輛。當(dāng)然，在增加通行量的同時(shí)必須保證駕駛員和行人同時(shí)并且嚴(yán)格遵守交通規(guī)則。如果駕駛員違規(guī)行駛，或者行人闖紅燈，那么必然會(huì)帶來(lái)交通事故。那么必然是得不償失。因此，在改進(jìn)停車(chē)位置的同時(shí)，還要加強(qiáng)宣傳遵守交通法規(guī)的力度。

(2)左轉(zhuǎn)車(chē)輛

停車(chē)位置后移并不適合左轉(zhuǎn)車(chē)道，首先因?yàn)橹毙械耐瑫r(shí)，左轉(zhuǎn)為紅燈，如果左轉(zhuǎn)用同樣的方法勢(shì)必容易引起交通事故。其次由于左轉(zhuǎn)需要行駛的距離比直行要長(zhǎng)，但是現(xiàn)實(shí)生活中出于通行量等因素的考慮一般地左轉(zhuǎn)綠燈時(shí)間小于直行綠燈時(shí)間。如果同理設(shè)置停車(chē)位置，導(dǎo)致允許通過(guò)路口時(shí)間的浪費(fèi)。為了盡可能確保在相同的時(shí)間內(nèi)更多數(shù)量的汽車(chē)通過(guò)路口，可以考慮將汽車(chē)左轉(zhuǎn)車(chē)道向外延伸一段弧形區(qū)域，即左轉(zhuǎn)彎待轉(zhuǎn)區(qū)域。一方面，它的設(shè)置直接影響到汽車(chē)行駛的路程，縮短行車(chē)距離，從而增加相同綠燈時(shí)間內(nèi)的汽車(chē)流量，緩解交通阻塞。但是另一方面，左轉(zhuǎn)彎待行區(qū)域不能無(wú)限制的向馬路中心延伸，否則會(huì)影響到直行車(chē)輛的通行以及人行橫道上的人流速度。因此，是否設(shè)置左轉(zhuǎn)彎待轉(zhuǎn)區(qū)域，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況加以定奪。如果一個(gè)十字路口雖然交通流量很大但是路口的尺寸太小，會(huì)影響到其他方向車(chē)的流量，得不償失，所以不適宜劃左轉(zhuǎn)彎待行區(qū)域。又如一個(gè)路口尺寸夠大了，但是車(chē)流量很小，目前的道路不引起阻塞，那么也不需要?jiǎng)澇龃藚^(qū)域。

(3)右轉(zhuǎn)車(chē)輛

一般來(lái)說(shuō)，車(chē)輛右轉(zhuǎn)受紅綠燈約束不大。因此，只要在確保行人以及非機(jī)動(dòng)車(chē)道車(chē)輛安全的前提下，車(chē)輛可以在任何時(shí)候右轉(zhuǎn)。在一些直行車(chē)道綠燈利用率極低的情況下可以考慮將右轉(zhuǎn)車(chē)道改為直行與右轉(zhuǎn)并行車(chē)道，將直行車(chē)輛分流。或者在路口不安排右轉(zhuǎn)車(chē)道，將右轉(zhuǎn)車(chē)輛在到達(dá)路口前將其分流，增加直行車(chē)道通行股數(shù)，從而增大通行量。

參考文獻(xiàn)

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