[摘 要] 時(shí)間序列分析方法是伯克斯和詹金斯(BOX-Jenkins)于1976年提出的。這種建模方法的特點(diǎn)是不考慮其他解釋變量的作用,而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律,利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。目前這種方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的個(gè)個(gè)領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。但是在建模的過(guò)程中可能出現(xiàn)幾個(gè)不同的模型都能擬合數(shù)據(jù)的生成過(guò)程。本文通過(guò)對(duì)模型殘差和樣本外推預(yù)測(cè)誤差的綜合分析,建立時(shí)間序列計(jì)量模型優(yōu)劣比較的評(píng)價(jià)方法體系。
[關(guān)鍵詞] 時(shí)間序列分析 殘差 預(yù)測(cè)誤差
時(shí)間序列分析方法的基本思想是源于事件的發(fā)展通常都具有一定的慣性,這種慣性用統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言來(lái)描述就是序列值之間存在著一定的相關(guān)關(guān)系,而且這種相關(guān)關(guān)系具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。分析的重點(diǎn)就是尋找這種規(guī)律,并擬合出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)描述這種規(guī)律,進(jìn)而利用這個(gè)擬合模型來(lái)預(yù)測(cè)序列未來(lái)的走勢(shì)。
在利用時(shí)間序列分析方法建立模型的過(guò)程中,可能會(huì)有若干個(gè)適應(yīng)的模型都能用來(lái)描述給定的數(shù)據(jù)集。這些不同的模型中到底哪一個(gè)更好呢,通常的做法是基于由擬合模型計(jì)算出殘差的綜合統(tǒng)計(jì)量,結(jié)合由樣本外推預(yù)測(cè)計(jì)算出的預(yù)測(cè)誤差來(lái)對(duì)它們進(jìn)行比較。前者相當(dāng)于是對(duì)模型擬合優(yōu)度的比較,其比較的方法主要有:
一、校正的判定系數(shù)(adjusted R2)
其定義為:adjusted R2=1-(n-1)(1- R2)/n-k
其中 n為樣本數(shù),k為包括截距項(xiàng)在內(nèi)的模型中的參數(shù)個(gè)數(shù)。R2為判定系數(shù)。對(duì)于不同的模型,校正的R2越大,則認(rèn)為模型能夠更好的擬合時(shí)間序列的數(shù)據(jù)生成過(guò)程。
二、Akaike的AIC和BIC準(zhǔn)則
為了檢驗(yàn)?zāi)P蛿M合的質(zhì)量,Akaike(1974)其定義為:
其中M為模型中的參數(shù)個(gè)數(shù),是對(duì)的極大似然估計(jì)。對(duì)于不同的模型,我們選擇M使AIC(M)達(dá)到最小。
Akaike(1978,1979)對(duì)原來(lái)的AIC準(zhǔn)則進(jìn)行了修改,提出了極小AIC方法的Bayesian推廣,稱為BIC,其定義為:
這里,是的極大似然估計(jì), M是參數(shù)個(gè)數(shù),是序列的樣本方差。與AIC方法的使用一樣,我們要選擇M使BIC(M)達(dá)到最小。
三、Schwartz的SBC準(zhǔn)則
Schwartz(1978)提出模型選擇的Bayesian準(zhǔn)則,稱為SBC準(zhǔn)則。其定義為:
其中是的極大似然估計(jì),M是模型中的參數(shù)個(gè)數(shù),n是有效觀測(cè)個(gè)數(shù),等價(jià)于可由序列中計(jì)算的殘差個(gè)數(shù)。我們選擇使SBC(M)達(dá)到最小的M。
上面幾種方法是基于由擬合模型計(jì)算出殘差的綜合統(tǒng)計(jì)量來(lái)對(duì)模型進(jìn)行比較,這只是模型之間比較的第一階段。我們建立時(shí)間序列模型還有一個(gè)很重要的應(yīng)用是預(yù)測(cè),不同的模型在預(yù)測(cè)方面有不同的表現(xiàn),只有那些能更好的預(yù)測(cè)時(shí)間序列未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)的模型才是更好的模型。所以我們還要對(duì)模型在預(yù)測(cè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。其評(píng)價(jià)方法有如下幾種:
令為預(yù)測(cè)值,yi為實(shí)際值,n為預(yù)測(cè)點(diǎn)數(shù)。
1.均方誤差(MSE)
對(duì)于不同的模型,預(yù)測(cè)的MSE最小的模型為更好的模型。
2.誤差均方根(RMSE)
使得預(yù)測(cè)的RMSE越小的模型則越好。
3.平均絕對(duì)誤差(MAE)
使得預(yù)測(cè)的MAE越小的模型則越好
4.平均絕對(duì)百分誤差(MAPE)
使預(yù)測(cè)的MAPE越小的模型則越好。
5.Theil不等系數(shù)(U)
U的值在0與1之間,當(dāng)U越接近0模型的預(yù)測(cè)效果越好,越接近于1模型的預(yù)測(cè)效果則越差。
Theil不等系數(shù)可以分解成下列形式:
其中,分別是和y的平均值,和分別為和y的標(biāo)準(zhǔn)差,ρ為和y之間的相關(guān)系數(shù)。再定義不等比例如下:
其中UM,US,UC分別稱為偏誤比例,方差比例和協(xié)方差比例。偏誤比例度量了預(yù)測(cè)值的均值與序列實(shí)際值均值的偏離程度,稱為系統(tǒng)誤差。一般來(lái)說(shuō),偏誤比例越小,則模型的預(yù)測(cè)效果越好。方差比例度量了預(yù)測(cè)值方差與實(shí)際序列的方差的偏離程度,方差比例越小,則模型的預(yù)測(cè)效果越好。協(xié)方差比例度量了剩余的非系統(tǒng)預(yù)測(cè)誤差,相對(duì)來(lái)說(shuō),協(xié)方差比例越大,則模型預(yù)測(cè)效果越好。
以上五個(gè)統(tǒng)計(jì)量中,誤差均方根()RMSE比其他四種統(tǒng)計(jì)量更加有用,因?yàn)樗攘苛苏`差的度(magnitude),但是這五個(gè)統(tǒng)計(jì)量都只是計(jì)量預(yù)測(cè)誤差的大小,而沒(méi)有考慮到預(yù)測(cè)誤差的方向。如果要考慮到預(yù)測(cè)誤差的方向則要應(yīng)用到下面這個(gè)統(tǒng)計(jì)量
6.DS(Directional Symmetry)
當(dāng)時(shí),di=1;否則,di=0。
DS表示在預(yù)測(cè)過(guò)程中,預(yù)測(cè)的方向正確的值在總的預(yù)測(cè)中所占的百分比。
如果DS值越大,說(shuō)明模型預(yù)測(cè)在預(yù)測(cè)方向上準(zhǔn)確度越高。
我們可以利用以上的幾個(gè)綜合指標(biāo)來(lái)比較時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的優(yōu)劣。但是在預(yù)測(cè)方面對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)方面還要注意兩點(diǎn),一是在樣本內(nèi)擬合程度越好的模型其預(yù)測(cè)效果并不是越好,二是由于模型參數(shù)估計(jì)誤差的存在,小模型的預(yù)測(cè)效果往往好于大模型。所以我們?cè)趯?duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)的時(shí)候要把模型的擬合程度和預(yù)測(cè)效果結(jié)合起來(lái)。
參考文獻(xiàn):
[1](美)達(dá)摩達(dá)爾.N.古扎拉蒂/著. 林少宮/校. 費(fèi)劍平,孫春霞等/譯.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ).中國(guó)人民大學(xué)出版社,2005
[2]張曉峒:計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ). 南開(kāi)大學(xué)出版社,2008.3
[3]艾書超:?jiǎn)巫兞繒r(shí)間序列建模與預(yù)測(cè)研究.碩士畢業(yè)論文http://edu.wanfangdata.com.cn/mst.dll?
[4]程振源:時(shí)間序列分析:歷史回顧與未來(lái)展望.統(tǒng)計(jì)與決策.2002.9
[5]Serena Ng, Pierre Perron. A Note on the Selection of Time Series Models.OXFORD Bulletin Of Economics and Statistics, 67,1(2005)0305-9049