例談用基本量方法證明平面幾何問題

在一個問題系統(tǒng)中，存在著n個量，使其余各量都可以用這n個量來表示，而這個n個量中的任何一個都不能用其它n-1個量來表示，我們就稱這n個量為基本量。例如:三角形有三個基本量，直角三角形、等腰三角形均有兩個基本量，正三角形僅有一個基本量，即多一個附加條件可以減少一個基本量;各類四邊形的基本量個數(shù)如下表:

四邊形

的形狀一般四邊形梯形等腰梯形平行四邊形矩形菱形正方形

基本量

的個數(shù)5433221

在解題時，把問題轉(zhuǎn)化為關于“基本量”的有關問題并加以解決的方法就稱為基本量方法?；玖糠椒ㄔ诮忸}中有著廣泛的應用，本文僅介紹如何用基本量方法證明平面幾何問題。

例1，已知:△ABC中，AB=AC，∠A=100ordm;，∠B的平分線交AC于D。(見圖1)

圖1 圖2

求證:AD+BD=BC。

分析:△ABC中，AB=AC，∠A=100ordm;，故本題僅有一個基本量，由圖1可知，在AD、BD、BC中選擇BD為基本量比較合理，即AD、BC為非基本量，一定可以用BD來表示。

證明:∵△ADB中，∠A=100ordm;，∠ABD= ∠ABC=20ordm; 。

∴ ，∴ 。

∴

∵△BDC中，∠BDC=120ordm;，∠C=40ordm;，∴。

∴ ，∴AD+BD=BC成立。

例2，設P為正△ABC的外接圓的弧BC上的任意一點。求證:①AP=PB+P C;②AP2=AB2+PBPC。(見圖2)

分析:如圖2，可知AB、AP的長度確定后，這個圖形就基本確定，故本題有兩個基本量，不妨取AB、AP為基本量，即PB、PC為非基本量，令AB=a，AP=b，PB=x1，PC=x2，則只須證明xl+x2=b，xl x2=b2-a2;所以只須把xl+x2、xl x2用a、b表示出來，由此可聯(lián)想到構造一個以x1、x2為根的一元二次方程。

證明:設AB=a，AP=b，PB=x1，PC=x2，△ABP中，AB2=PB2+PA2-2PBPAcos∠APB。

即a2=x12+b2-2xlbcos60ordm;

∴x12-bxl+b2-a2=0

△APC中，同理可得x22-bx2+b2-a2=0。

∴x1、x2是關于x的方程x2-bx+b2-a2=0的兩根。

∴x1+x2=b，x1x2=b2-a2，即AP=PB+PC。

AP2=AB2+PBPC成立。

例3，(第26屆奧林匹克競賽題)一個圓的圓心P在頂點共圓的四邊形ABCD的AB邊上，其它三邊與該圓都相切，求證AD+BC=AB。

分析:由題可知，當AB∥CD時，四邊形ABCD為等腰梯形，且BC、CD、DA均和圓P相切，此時本題至多有兩個基本量，而今A和CD不一定平行，故本題至多有三個基本量，可選取∠A、∠B及圓P的半徑為基本量。

證明:如圖3，設BC、CD、DA分別與圓P相切于E、F、G點，連接PE、PF、PG、PC、PD，令∠A=α，∠B=β，PE=PF=PG=α，PE=PF=PG=α，則∠GDP=

- ，∠PCE= - 。

Rt△APG中，AP= ，AG=αctgα。

Rt△BPE中，PB= ，BE=αctgβ。

Rt△DGP中，DG=PGctg∠CDP=αctg( - )=αtg 。

Rt△CEP中，CE=PFctg∠PCE=αctg( - )=αtg 。

∴AB=AP+PB= +

AD+CB=AG+GD+CE+EB

=αctgα+αtg +αtg +αctgβ

=α(ctgα+tg )+α(tgβ+tg )

=α( + )+α( + )