二次函數(shù)圖像交軸三角形的一個(gè)性質(zhì)

☉河南省商水縣城關(guān)鄉(xiāng)一中 康會(huì)孌

若二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，我們把以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做二次函數(shù)圖像交軸三角形，它有一個(gè)有趣性質(zhì).

性質(zhì) 一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ac≠0）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，△=b2-4ac，可得：

圖1

證明： 如圖1，設(shè)A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，c），則AC2=x12+c2，BC2=x22+c2，AB2=（x1-x2）2.

性質(zhì)反映了拋物線內(nèi)接三角形的幾何特征與二次函數(shù)不變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，熟悉結(jié)論，靈活運(yùn)用，往往會(huì)以簡馭繁，收效奇特.

例1 已知二次函數(shù)y=-2x2+x+3與x軸交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C.求∠ACB的度數(shù).

解：由函數(shù)式知a=-2，b=1，c=3.則△=25，ac=-6＜-1，所以

例2 已知二次函數(shù)y=mx2+（3-m）x+2m+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，∠ACB為銳角，求m的取值范圍.

解：由函數(shù)式得a=m，b=3-m，c=2m+3，所以ac=m（2m+3），△=（3-m）2-4m（2m+3）=（3-7m）（m+3）.

要使∠ACB為銳角，只需ac＜-1，或ac＞0，即m（2m+3）＞0或m（2m+3）＜-1，解之得：

例3 已知二次函數(shù)y=mx2-3x+n與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，若函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式.

解：由△ABC為直角三角形得mn=-1.

例4 已知二次函數(shù)y=ax2-3x+c與x軸正方向交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于點(diǎn)C，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)作⊙D，若⊙D與y軸相切.（1）求a、c滿足的關(guān)系式；（2）求tan∠ACB.

解：設(shè)A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，c），x1、x2是方程ax2-3x+c=0的兩個(gè)正根，則

（2）因?yàn)閍c=1＞0，△=9-4ac=5，所以∠ACB為銳角