論梯形明渠臨界水深的精確計算公式

趙延風(fēng)，祝晗英，宋松柏，孟秦倩

論梯形明渠臨界水深的精確計算公式

趙延風(fēng)1，祝晗英2，宋松柏1，孟秦倩1

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2.西安市水務(wù)局 渭氵產(chǎn)河城市段管理中心，西安 710015）

梯形明渠臨界水深的求解過程是求解一個單變量超越方程的過程，理論上無解析解。通過引入無量綱參數(shù)——單位水面寬度，對梯形明渠臨界水深的基本公式進(jìn)行恒等變形，得到計算梯形明渠臨界水深的迭代公式，再與合理的迭代初值配合使用。推導(dǎo)出4套梯形斷面臨界水深的直接計算公式，其中2套計算公式印證了前人的成果，并為前人的公式推導(dǎo)提供了簡捷、充分的理論依據(jù)。通過對多家公式形式的表述和比較，并根據(jù)精度1%和1‰的不同要求進(jìn)行誤差分析，結(jié)果表明：4套直接計算公式理論性強(qiáng)，形式簡單，適用范圍廣，計算精度高，值得推廣。

梯形明渠；臨界水深；精確計算；單位水面寬度

有關(guān)臨界水深的研究歷史已有半個多世紀(jì)，國內(nèi)外學(xué)者在臨界水深方面發(fā)表的學(xué)術(shù)論文超過百篇，提出的各種計算方法在水利水電、灌溉排水等工程中得到一定程度的應(yīng)用，其中有的計算方法［1～9］不僅公式形式簡單，而且計算精度高，得到了學(xué)術(shù)界以及工程應(yīng)用部門的充分肯定。臨界水深是明渠渠道水力計算中的一個重要水力參數(shù)，對于該參數(shù)的求解，實(shí)質(zhì)上是求解一個單變量的超越方程或高次方程，理論上無解析解，常規(guī)的方法就是試算法、圖解法、迭代法、近似解法。本文在前期研究工作的基礎(chǔ)上推薦了4種簡捷、通用、精度高的直接計算公式。在文中，通過引入無量綱參數(shù)——單位水面寬度［3］，將梯形明渠臨界水深的基本方程變換成迭代的形式，再與合理初值配合使用，得到了臨界水深的直接計算公式。并從公式推導(dǎo)的理論依據(jù)、表達(dá)的簡捷程度、計算結(jié)果的準(zhǔn)確性、梯形斷面的適用范圍4個方面，對現(xiàn)有的多種計算方法進(jìn)行綜合評價，提出了梯形明渠臨界水深具有理論性強(qiáng)、公式簡捷、結(jié)果準(zhǔn)確和適用范圍廣4個方面于一體的計算公式，可供水利水電等工程設(shè)計部門參考應(yīng)用。

1 無量綱參數(shù)——單位水面寬度概念及臨界水深的迭代公式

1.1 無量綱參數(shù)——單位水面寬度［3］的概念

在文獻(xiàn)［3］中已述及，無量綱參數(shù)——“單位水面寬度”的概念，即相應(yīng)于臨界水深時的水面寬度與梯形渠道底寬的比值，用λ表示，其取值范圍為1＜λ＜+∞。其物理含義是：描述梯形斷面過流時過水面的“相對形狀”的一個系數(shù)，當(dāng)λ趨近1時，梯形過水面趨向一個矩形斷面，當(dāng)λ趨向+∞時，梯形過水面趨向一個三角形面。由于梯形斷面“單位水面寬度”真實(shí)表征的是一個梯形面的相對形狀系數(shù)，所以它就能夠反映梯形過水面的“相對形狀”。當(dāng)梯形斷面的底寬和邊坡確定后，梯形過水面的大小就隨著流量的大小而發(fā)生變化，當(dāng)流量增大時過水面面積、水面寬度、水深隨之增大，當(dāng)流量減小時三者隨之減小。當(dāng)梯形渠道斷面和流量都確定時，梯形過水面的“相對形狀”就隨之確定，也就是“相對形狀系數(shù)”隨之確定，因而水深也隨之確定，故引入梯形斷面“單位水面寬度”能夠更好地反映這些物理量之間的變化規(guī)律。

1.2 臨界水深的迭代公式

臨界水深的基本公式［10］為

設(shè)單位水面寬度

則

上面各式中：α為動能修正系數(shù)；Q為流量（m3／s）；g為重力加速度（m／s2）；b為梯形渠道底寬（m）；m為梯形斷面的邊坡系數(shù)，非等腰梯形斷面時m=（m1+m2）／2；A為相應(yīng)于臨界水深時的過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；B為相應(yīng)于臨界水深時的水面寬度（m）；λ為單位水面寬度；hk為臨界水深（m）。

將式（3）代入式（4）并整理得

其中

則得迭代方程

由文獻(xiàn)［3］可知，迭代式（7）對于λ∈（1，+∞）范圍內(nèi)的任意正數(shù)均收斂。

2 合理迭代初值及臨界水深的直接計算

對于迭代計算，其收斂速度不僅與迭代函數(shù)有關(guān)，而且與迭代初值密切相關(guān)。合理的迭代初值是迭代計算快速收斂的關(guān)鍵。因?yàn)棣说娜≈捣秶鸀棣恕剩?，+∞），因此將λ值取值范圍的兩個端點(diǎn)分別代入，即λ=1和λ=+∞，可得到不同的迭代公式。

2.1 當(dāng)初值取λ＝1時的迭代公式

由式（5）可得

將λ=1代入式（8）得

將式（9）代入式（7）得迭代方程

將式（9）再次代入式（8）得

將式（11）代入式（7）得迭代方程

2.2 當(dāng)取λ＝＋∞時的迭代公式

當(dāng)λ=+∞時，由式（8）可得λ0=k0.6，將λ0=k0.6代入式（7）得，將λ1再次代入迭代方程式（7）得

將（13）代入式（7）整理得

將式（10）、（12）、（13）、（14）分別代入式（3），得到4套計算梯形明渠臨界水深的直接計算公式。

3 梯形明渠臨界水深的精確計算公式

對于梯形斷面的臨界水深，眾多的學(xué)者通過對公式（4）的各種變換處理，得到了數(shù)十種不同的計算方法，其中有的公式不僅形式簡捷、計算精度較高，而且適用范圍廣，堪稱求解梯形明渠臨界水深最好的計算公式。

為了和現(xiàn)有的計算公式比較，設(shè)k為綜合已知參數(shù)，意義同式（6），x為無量綱水深，即

將式（3）代入式（15）得

將式（10）、（12）、（13）、（14）分別代入式（16）得

將式（17）、（18）、（19）、（20）代入式（15）中即可求出臨界水深。公式（17）即為王正中公式［2］；公式（18）即為劉善綜公式［1］；公式（19）、（20）為文獻(xiàn)［3］的變形公式，即本文公式，其參數(shù)k與文獻(xiàn)［3］公式中的參數(shù)k意義不同，因而公式表達(dá)形式有所不同。

4 幾種直接計算方法的理論依據(jù)及其公式表述

目前計算梯形明渠臨界水深的計算方法很多，但最為典型的有8種計算方法，為了使各種計算公式便于比較，采用相同參數(shù)無量綱臨界水深x和綜合已知參數(shù)k，其符號意義同上。

幾種典型的計算公式表述如下。

（1）劉善綜公式［1］，根據(jù)迭代理論，得到梯形明渠臨界水深的直接計算公式，即上述的公式（18）。

（2）王正中公式［2］，根據(jù)迭代理論，得到梯形明渠臨界水深的直接計算公式，即上述公式（17）。

（3）廖云鳳公式［4］，通過作圖發(fā)現(xiàn)ln（x／k）與βln（1+k）之間存在很好的線性關(guān)系，得到直線方程ln（x／k）=βln（1+k），采用最小二乘法求得β=-0.372，得到梯形明渠臨界水深經(jīng)驗(yàn)公式：

（4）Prabhata K.Swamee公式［5］，根據(jù)最優(yōu)逼近原理得到的近似計算公式：

（5）S.Wu，C.Katopodis公式［5］，通過作圖發(fā)現(xiàn)x是k的通過坐標(biāo)原點(diǎn)的單調(diào)遞增函數(shù)，經(jīng)過反復(fù)試算得到了一個由2個基本單調(diào)函數(shù)合成的近似解公式：

公式（23）的確切表達(dá)式應(yīng)該是

（6）Prabhata K.S，Pushpa N.R公式［6］，根據(jù)拉格朗日倒置定理推出梯形明渠臨界水深的近似解法，是一個分段函數(shù)。

當(dāng)k≤1.569 15時，

當(dāng)k≥1.569 15時，

（7）本文公式，通過引入無量綱參數(shù)——單位水面寬度，即梯形水面寬度與梯形底寬的比值，根據(jù)迭代理論，得到梯形明渠臨界水深的2套直接計算公式，即上述的公式（19）、（20）。

通過以上公式的表達(dá)形式可以看出，公式的簡捷程度從高到低依次為廖云鳳公式（21）、王正中公式（17）、本文公式（19）、劉善綜公式（18）、本文公式（20）、Prabhata K.Swamee公式 （22）、S.Wu，C.Katopodis公式（23a）、Prabhata K.S，Pushpa N.R公式（24）。

5 8套公式的誤差分析

給出無量綱水深計算范圍x∈（0.001，100），其對應(yīng)的綜合參數(shù)的范圍為k∈（0.004，6 896.83），在此范圍內(nèi)，計算以上8套公式的誤差，計算結(jié)果見表1。

為了直觀起見，將8套計算公式在整個取值范圍內(nèi)（0＜x＜+∞）的最大相對誤差列于表2。

表1 臨界水深誤差分析Table 1 Error analysis of critical depth

表2 梯形渠道臨界水深不同計算方法最大相對誤差Table 2 Maximal relative error of different computational methods on critical depth of a trapezoidal channel %

從誤差分析和表1、表2可知，在無量綱水深x的定義域內(nèi)（0＜x＜+∞），若以精度1‰為標(biāo)準(zhǔn)，本文公式（20）最大誤差為0.82‰，劉善綜公式（18）最大誤差為1.11‰；若以精度1%為標(biāo)準(zhǔn)，Prabhata K.S，Pushpa N.R9項公式最大誤差為1.020%，本文公式（19）最大誤差為1.028%，王正中公式最大誤差1.048%，Prabhata K.S，Pushpa N.R6項公式最大誤差1.224%，其他計算公式誤差均較大。但若以精度1%為標(biāo)準(zhǔn)，在工程常用范圍（0＜x≤10）內(nèi)，廖云鳳公式（21）最大誤差為-1.002%。

6 結(jié)論

通過公式形式及誤差分析可以看出，在無量綱水深x的定義域內(nèi)（0＜x＜+∞），在保證精度為1‰的條件下，公式比較簡捷且適用范圍廣的計算公式是劉善綜公式（18）和本文公式（20）；在保證精度為1%的條件下，公式比較簡捷且適用范圍廣的計算公式是王正中公式（17）和本文公式（19）。公式（17）、（19）、（18）、（20）都是根據(jù)迭代理論推導(dǎo)出來的，具有很強(qiáng)大理論性，這4套公式是值得推薦的公式，他們具有共同的特點(diǎn)，即同時具有理論性強(qiáng)，公式簡捷，計算精度高，適用范圍廣4方面于一體的優(yōu)勢，是計算梯形明渠臨界水深在不同精度要求下的最佳公式。當(dāng)然，廖云鳳公式（21）在工程常用范圍內(nèi)（0＜x≤10）且計算精度保證在1%的條件下也具有公式簡捷、精度較高的特點(diǎn)，可供工程設(shè)計部門參考應(yīng)用。

［1］ 劉善綜.梯形渠道臨界水深的計算及討論［J］.水利學(xué)報，1995，（6）：83-85.

［2］ 王正中，袁 駟，武成烈.再論梯形明渠臨界水深計算法［J］.水利學(xué)報，1999，（4）：14-16.

［3］ 趙延風(fēng)，王正中，張寬地.梯形明渠臨界水深的直接計算方法［J］.山東大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版），2007，37（6）：99-105.

［4］ 廖云鳳.梯形斷面渠道臨界水深顯式計算［J］.陜西水力發(fā)電，2001，17（4）：22-23.

［5］ PRABHATA K S，WU S，KATOPODISC.Formula for Caculating Critical Depth of Trapezioidal Open Channel［J］.J Hydr.Engrg，1999，125（7）：785-786.

［6］ SWAMEEP K，RATHIEP N.Exact Equations for Critical Depth in a Trapezoidal Canal［J］.Journal of Irrigation and Drainage Engineering，2005，5，474-476.

［7］ 郝樹棠.梯形渠道臨界水深的計算及探討［J］.水利學(xué)報，1994，（8）：48-52.

［8］ 王正中.梯形明渠臨界水深計算公式探討［J］.長江科學(xué)院院報，1995，12（2）：78-80.

［9］ WANG Zheng-zhong.Formula for Caculating Critical Depth of Trapezioidal open Channel［J］.J Hydr.Engrg，1998，124（1）：90-92.

［10］清華大學(xué).水力學(xué)（修訂本）上冊［M］.北京：高等教育出版社，1980.

Discuss on Accurate Calculation Formula of Critical Depth of Open Trapezoidal Channel

ZHAO Yan-feng1，ZHU Han-ying2，SONG Song-bai1，MENG Qin-qian1
（1.College of Water Resources and Architectural Engineering，Northwest A&F University，Yangling 712100，China；2.Xi'an Affairs Bureau，Management Center of Weihe River and Chanhe River，Xi'an 710015，China）

The solution process of critical depth on trapezoidal channel is to solute a single variable.There is no

analytic solution in theory.With a reasonable initial interaction，by introducing a dimensionless parameter——unit surface width and doing on identical deformation of a critical depth formula on trapezoidal channel，the critical depth formula on the trapezoidal channel can be obtained.There are four sets of direct critical depth formulas on trapezoidal cross-section，in which two sets of formulas confirmed previous results and provide a simple，full theory basis for the previous formula derived.The calculated results show that the four sets of direct formulas possess stronger theoretic and simple forms，may be applied to a wide range with high accuracy，and in accordance with the accuracy of 1%and 1‰to the different requirements，errors of every formula are analyzed.

trapezoidal channel；critical depth；accurate calculation；unit surface width

TV131.4

A

1001-5485（2009）04-0018-04

2008-06-04；

2008-08-04

國家自然科學(xué)基金資助項目（50579065）；西北農(nóng)林科技大學(xué)優(yōu)秀科技人才基金（04ZR014）

趙延風(fēng)（1963-），男，陜西西安人，高級實(shí)驗(yàn)師，主要從事水資源、水力學(xué)研究，（電話）13572071808（電子信箱）zhyf2009＠yahoo.cn。

（編輯：易興華）