平面幾何證明題的一般思路及方法簡述

王飛爾

【摘 要】惠特霍斯曾說過,“一般地,解題之所以成功,在很大程度上依賴于選擇一種最適宜的方法?！膘`活、恰當(dāng)?shù)剡x擇解題方法是求解平面幾何問題的良好途徑。解決任何一道平面幾何證明題,都要應(yīng)用這樣或那樣的方法,而選擇哪一種方法,就取決于我們用什么樣的解題思路。本文試對平面幾何證明題中常用的幾種解題思路及方法進行分析。

【關(guān)鍵詞】平面幾何 證明題 思路 方法

平面幾何難學(xué),是很多初中生在學(xué)習(xí)中的共識,這里面包含了很多主觀和客觀因素,而學(xué)習(xí)不得法,沒有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個重要原因。波利亞曾說過,“解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確,哪一個方向可接近它,就要試探各種方向和思路?！庇纱丝梢?掌握證明題的一般思路、探索證題過程中的數(shù)學(xué)思維、總結(jié)證題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。常見的證題思路有直接式思路和間接式思路。

一、直接式思路

證題時,首先應(yīng)仔細審查題意,細心觀察題目,分清條件和結(jié)論,并盡量挖掘題目中隱含的一些解題信息,以在縝密審題的基礎(chǔ)上,根據(jù)定義、公式、定理進行一系列正面的邏輯推理,最后得出命題的證明,這種證題的思路被稱為直接式思路。由于思維方式的逆順,在證題時運用的方法主要有“分析法”和“綜合法”。

1.分析法。分析法是從命題的結(jié)論入手,先承認(rèn)它是正確的,執(zhí)果索因,尋求結(jié)論正確的條件,這樣一步一步逆而推之,直到與題設(shè)會合,于是就得出了由題設(shè)通往結(jié)論的思維過程。在由結(jié)論向已知條件的尋求追溯過程中,則由于題設(shè)條件的不同,或已知條件之間關(guān)系的隱含程度不同等,尋求追溯的形式會有一定差異,因而常把分析法分為以下四種類型。

(1)選擇型分析法。選擇型分析法解題,首先要從題目要求解的結(jié)論A出發(fā),逐步把問題轉(zhuǎn)化為分析要得出結(jié)論A需要哪些充分條件。假設(shè)有條件B,就有結(jié)論A,那么B就成為選擇找到的使A成立的充分條件,然后再分析在什么條件下能選擇得到B……最終追溯到命題中的某一題設(shè)條件。

(2)可逆型分析法。如果再從結(jié)論向已知條件追溯的過程中,每一步都是推求的充分必要條件,那么這種分析法又叫可逆型分析法,因而,可逆型分析法是選擇型分析法的特殊情形。用可逆型分析法證明的命題用選擇型分析法一定能證明,反之用選擇型分析法證明的命題,用可逆型分析不一定能證明。

(3)構(gòu)造型分析法。如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中,在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口”處,需采取相應(yīng)的構(gòu)造型措施:如構(gòu)造一些條件,作某些輔助圖等,進行探討、推導(dǎo),才能追溯到原命題的已知條件的分析法叫做構(gòu)造型分析法。

(4)設(shè)想型分析法。在向已知條件追溯的過程中,借助于有根據(jù)的設(shè)想、假定,形成“言之成理”的新構(gòu)思,再進行“持之有據(jù)”的驗證,逐步地找出正確途徑的分析法稱為設(shè)想型分析法。

2.綜合法。綜合法則是由命題的題設(shè)條件入手,由因?qū)Ч?通過一系列的正確推理,逐步靠近目標(biāo),最終獲得結(jié)論。再從已知條件著手,根據(jù)已知的定義、公式、定理,逐步推導(dǎo)出結(jié)論。在這一過程中,由于思考角度不同,立足點不同,綜合法常分為四種類型:

(1)分析型綜合法。我們把分析法解題的敘述倒過來,稍加整理而得到的解法稱為分析型綜合法。

(2)奠基型綜合法。當(dāng)由已知條件著手較難,或沒有熟悉的模式可供歸納推導(dǎo),就可轉(zhuǎn)而尋找簡單的模式,然后再將一般情形化歸到這個簡單的模式中來,這樣的綜合法稱為奠基型綜合法。

(3)媒介型綜合法。當(dāng)問題給出的已知條件較少,且看不出與所求結(jié)論的直接聯(lián)系時,或條件關(guān)系松散且難以利用時,就要去有意識地尋找、選擇并應(yīng)用媒介實現(xiàn)過渡,這樣的綜合法就稱之為媒介型綜合法。

(4)解析型綜合法。解題時,運用解析法的思想制定解題的大體計劃和方向,然后并不真用解析法來實現(xiàn)這個計劃,而用綜合法來實現(xiàn),這種綜合法被稱為解析型綜合法。

在具體證題時,這兩種方法可單獨運用,也可配合運用,在分析中有綜合,在綜合中有分析,以進行交叉使用。

二、間接式思路

有些命題往往不易甚至不能直接證明,這時,不妨證明它的等效命題,以間接地達到目標(biāo),這種證題思路就稱為間接式思路。我們常運用的反證法、同一法證題就是兩種典型的用間接式思路證題的方法。

1.反證法。具體地說,在證明一個命題時,如正面不易入手,就要從命題結(jié)論的反面入手,先假設(shè)結(jié)論的反面成立,如果由此假設(shè)進行嚴(yán)格推理,推導(dǎo)出的結(jié)果與已知條件、公式、定理、定義、假設(shè)等的其中一個相矛盾,或者推出兩個相互矛盾的結(jié)果,就證明了“結(jié)論反面成立”的假設(shè)是錯誤的,從而得出結(jié)論的正面成立,這種證題方法就叫做反證法。當(dāng)結(jié)論的反面只有一個時,否定了這一個便完成證明,這種較單純的反證法又叫做歸謬法;而當(dāng)結(jié)論的反面有若干個時,就必須駁倒其中的每一個,這種較繁瑣的反證法又稱為窮舉法。

反證法證題通常有如下三個步驟:

(1)反設(shè)。作出與結(jié)論相反的假設(shè),通常稱這種假設(shè)為反證假設(shè)。

(2)歸謬。利用反證假設(shè)和已知條件,進行符合邏輯的推理,推出與某個已知條件、公理、定義等相矛盾的結(jié)果。根據(jù)矛盾律,在推理和論證的過程中,在同時間、同關(guān)系下,不能對同一對象作出兩個相反的論斷,可知反證假設(shè)不成立。

(3)得出結(jié)論。根據(jù)排除率,即在同一論證過程中,命題C與命題非C有且僅有一個是正確的,可知原結(jié)論成立。

2.同一法。欲證某圖形具有某種性質(zhì)而又比較繁雜或不易直接證明時,有時可以作出具有所示性質(zhì)的圖形,然后證明所作的圖形與所給的某圖形就是同一個,由此把它們等同起來,這種證法叫做同一法。

例如,同一法證平面幾何問題的步驟如下:作出符合命題結(jié)論的圖形;證明所作圖形符合已知條件;根據(jù)唯一性,確定所作的圖形與已知圖形吻合;斷定命題的真實性。

同一法和反證法都是間接式思路的方法。其中,同一法的局限性較大,通常只適合于符合同一原理的命題;反證法的適用范圍則廣泛一些,能夠用反證法證明的命題,不一定能用同一法論證,但對于能夠用同一法證明的命題,一般都能用反證法加以證明。

在證題過程中,不論是直接思路還是間接思路,都要進行一系列正確的推理,需要解題者對撲朔迷離的表象進行由表及里、去偽存真地分析、加工和改造,并從不同方向探索,以在廣闊的范圍內(nèi)選擇思路,從而及時糾正嘗試中的錯誤,最后獲得命題的證明。