淺談化歸法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

黃婷 勞文革 康燕珍 翁啟蠻

摘要：本文主要探討化歸法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣泛應(yīng)用。通過一些例子闡述如何把高等數(shù)學(xué)的問題化歸為初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如何把復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題。同時(shí)指出相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)更為重要。

關(guān)鍵詞：化歸法；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）17-0177-02

一、引言

絕大部分中小數(shù)學(xué)老師都是從師范學(xué)校走向教學(xué)崗位的。每一個(gè)師范類數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生都必須學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)都有一個(gè)疑惑：中小學(xué)數(shù)學(xué)那么簡單，跟高等數(shù)學(xué)相差太大了。高等數(shù)學(xué)這么難學(xué)，高度抽象，動(dòng)不動(dòng)就涉及公式、定理、證明，嚴(yán)重脫離生活實(shí)踐，不像中小學(xué)數(shù)學(xué)那么貼近生活。學(xué)它做什么？有什么用？畢業(yè)后教中小學(xué)數(shù)學(xué)也用不上。在這個(gè)充滿功利的社會(huì)，學(xué)生提出這樣的疑惑也不足為奇。事實(shí)上高等數(shù)學(xué)確實(shí)非常有用。對(duì)于很多學(xué)生來說高等數(shù)學(xué)不是用不上，而是會(huì)不會(huì)用的問題。中小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，很多思想方法都是相通的，只不過高等數(shù)學(xué)站得角度更高更遠(yuǎn)。學(xué)了高等數(shù)學(xué)再回頭去看中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容就會(huì)發(fā)現(xiàn)看得更透更深，站得高才能望得遠(yuǎn)就是這個(gè)道理。由于當(dāng)今實(shí)行的考試制度，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師主要重視解題技巧和解題結(jié)果，很少重視解題過程中使用的解題方法。但事實(shí)上方法的獲得才是最重要的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需求、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法?！彼宰鳛楫厴I(yè)后要成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的師范生，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)不在于你學(xué)會(huì)了多少知識(shí)，而是你學(xué)會(huì)了多少方法，這些方法不管是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都適用，并且是跨學(xué)科適用。高等數(shù)學(xué)真有那么難學(xué)？方法用對(duì)了就不難了。筆者主要談?wù)劵瘹w法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，體會(huì)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一、渾然一體，同時(shí)感受數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

什么是化歸法呢？化歸即轉(zhuǎn)化歸結(jié)的意思，化歸法就是把當(dāng)前有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為已經(jīng)解決或容易解決的問題。從認(rèn)識(shí)論的角度來說，化歸法是人類認(rèn)識(shí)客觀世界的重要方法，人類認(rèn)識(shí)世界都是從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，把復(fù)雜抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡單具體的問題。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也不例外。

二、化歸法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用舉例

我們從以下幾個(gè)例子來領(lǐng)略化歸法的魅力。

1.無限化歸為有限。學(xué)高等數(shù)學(xué)微積分的內(nèi)容時(shí)有個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)——極限。如lim1/n=0，這個(gè)式子表示數(shù)列1、1/2、1/3、1/4……1/n……在n趨于無窮大時(shí)的極限是0.很多學(xué)生一看到n→∞就頭大，因?yàn)檫@個(gè)n→∞很抽象，這個(gè)n趨于無窮大到底有多大？我們可以把這個(gè)無限項(xiàng)的數(shù)列化歸為有限項(xiàng)來分析，當(dāng)n=100，1000，10000等有限數(shù)時(shí)，我們很容易發(fā)現(xiàn)它的后一項(xiàng)都比前一項(xiàng)小，隨著n的增大項(xiàng)越來越小，但它一定不會(huì)小于0，所以說這個(gè)數(shù)列的極限是0.另外求曲邊圖形的面積時(shí)，是通過把曲邊圖形按橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)劃分為n小份，先求這n小份的和，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)取和的極限即可得這個(gè)圖形的面積，這時(shí)也把無限化歸為有限來求解。關(guān)于這個(gè)無限的概念學(xué)生是在學(xué)高等數(shù)學(xué)時(shí)才接觸嗎？不是，學(xué)生很早就接觸了。在小學(xué)學(xué)數(shù)數(shù)時(shí)就有了這個(gè)概念：1、2、3、4、……、100、……，一直數(shù)下去數(shù)不盡；另外在學(xué)有理數(shù)、無理數(shù)時(shí)也涉及無限的概念，學(xué)直線、平行線等知識(shí)點(diǎn)時(shí)也涉及無限的概念。學(xué)了極限的知識(shí)點(diǎn)后再看這些初等數(shù)學(xué)中的概念就能理解的更深刻了，能做到知其然也知其所以然了。

2.空間化歸為平面。很多學(xué)生在學(xué)高等數(shù)學(xué)空間解析幾何這門課程時(shí)碰到了困難，特別是空間圖形的認(rèn)識(shí)學(xué)得很吃力。因?yàn)榭臻g解析幾何是三維立體的，比二維平面要抽象很多。三維可以化歸為二維。比如空間直角坐標(biāo)系Oxyz，可以把它轉(zhuǎn)化為三個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy，yOz，zOy，對(duì)二維平面直角坐標(biāo)系這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)就已經(jīng)學(xué)過，很容易接受。所以在學(xué)習(xí)空間圖形時(shí)，就可以通過投影到xOy，yOz，zOy三個(gè)平面，通過投影到平面上的圖形來分析這個(gè)空間圖形的性質(zhì)特點(diǎn)。另外空間中兩點(diǎn)間直線的距離、空間直線方程、空間中平行線的性質(zhì)等都可以轉(zhuǎn)化為平面上對(duì)應(yīng)內(nèi)容來理解。通過這樣的轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以更深刻的認(rèn)識(shí)空間圖形，從而提高空間想象力、開闊思維。現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)涉及到三維立體圖形的知識(shí)點(diǎn)了，有了空間解析幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，學(xué)生在畢業(yè)后從事這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)就能深入淺出了。

3.二元化歸為一元。函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，中小學(xué)階段主要以一元函數(shù)的學(xué)習(xí)為主，進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)后經(jīng)常涉及二元函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)二元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時(shí)非常吃力。比如二元函數(shù)f（x，y）的求導(dǎo)，二元函數(shù)f（x，y）的積分，求二元函數(shù)f（x，y）的最值、極值等。在求二元函數(shù)f（x，y）的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)依次求導(dǎo)即可。若對(duì)x求導(dǎo)，則可把y看作常數(shù)y0，這時(shí)二元函數(shù)f（x，y）轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)f（x，y0），反之亦然。在求二元函數(shù)f（x，y）的積分時(shí)，亦可如求二元函數(shù)f（x，y）的導(dǎo)數(shù)一樣把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再分別進(jìn)行積分，求積分區(qū)間時(shí)也可以化歸為一元函數(shù)進(jìn)行。有關(guān)二元函數(shù)的微積分確實(shí)復(fù)雜，但通過這樣的轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡單，在學(xué)習(xí)二元函數(shù)甚至更多元函數(shù)時(shí)遇到的困難就迎刃而解了。

4.高階化歸為低階。高階方程組的求解、高階行列式的計(jì)算是高等代數(shù)中非常基礎(chǔ)的內(nèi)容，很多學(xué)生在階數(shù)大于3時(shí)就產(chǎn)生了畏難心理。當(dāng)行列式的階數(shù)大于3時(shí)不能直接計(jì)算出結(jié)果，所以當(dāng)行列式的階數(shù)大于3時(shí)要通過行列式的性質(zhì)把高階行列式轉(zhuǎn)化為3階行列式即可輕易求解其結(jié)果。在學(xué)習(xí)常微分方程的時(shí)候，高階微分方程的求解亦是通過降階化為一階或二階微分方程。通過降階，再復(fù)雜的方程組、行列式、微分方程都能輕而易舉地求解。由此可以看出，不管多復(fù)雜的問題都可以化歸為最簡單、最基礎(chǔ)的問題進(jìn)行解答。

5.非歐幾何化歸為歐氏幾何。幾何是大家非常熟悉的一個(gè)數(shù)學(xué)模塊，但中小學(xué)階段學(xué)習(xí)的都是歐氏幾何，進(jìn)入高等數(shù)學(xué)階段會(huì)學(xué)習(xí)非歐幾何，剛接觸非歐幾何時(shí)學(xué)生覺得難以接受，因?yàn)榉菤W幾何在現(xiàn)實(shí)生活中很難找到實(shí)物模型，另外非歐幾何中有很多違背大家常識(shí)的結(jié)論，比如在非歐幾何中三角形內(nèi)角和不等于180度，可能大于180度也可能小于180度。歐氏幾何與非歐幾何產(chǎn)生這種差別的原因是它們的前提條件平行公設(shè)不一樣，其他前提條件都相似。所以學(xué)習(xí)非歐幾何的性質(zhì)定理時(shí)可以把它化歸為歐氏幾何中的性質(zhì)定理，歐氏幾何有哪些性質(zhì)定理，非歐幾何就對(duì)應(yīng)的有哪些性質(zhì)定理。非歐幾何的學(xué)習(xí)開拓了學(xué)生的思維，對(duì)幾何有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。這非常有助于學(xué)生畢業(yè)后從事中小學(xué)幾何教學(xué)的工作。

6.代數(shù)化歸為幾何。代數(shù)中有很多問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行解答。不僅思路新穎，而且很簡便。比如求函數(shù)f（x）=lnx-1/x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，在代數(shù)解法中，首先想到的是對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，方程f′（x）=0的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。若把此問題化歸為幾何解法將會(huì)簡便很多：函數(shù)f（x）是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)與一個(gè)反比例函數(shù)的差，只要在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的草圖，這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。像這類代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決非常的方便，當(dāng)然幾何中也有很多問題可以化歸為代數(shù)問題來解決更簡便。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，不論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都適用。

三、結(jié)語

每個(gè)人一生用來學(xué)知識(shí)的時(shí)間是有限的，但數(shù)學(xué)知識(shí)是無窮無盡的，是學(xué)不完的。所以說學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于學(xué)了多少知識(shí)，而是通過這些知識(shí)學(xué)會(huì)了多少方法，收獲了多少能力，這些能力將使學(xué)生終生受益。把高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題進(jìn)行求解，如此看來高等數(shù)學(xué)并不難學(xué)，方法用對(duì)了，問題自然容易解決了。因此在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中學(xué)思想方法才是最重要的，中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也不例外。

參考文獻(xiàn)：

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