《立體幾何》教學(xué)過程中值得注意的幾個問題

王雅芳

摘要:在《立體幾何》教學(xué)過程中值得注意以下幾個問題:首先注重平面基本性質(zhì)的教學(xué),注意把空間圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題來解決;其次弄清立體幾何與平面幾何的聯(lián)系;最后我們應(yīng)該掌握立體幾何中常見問題及其常用的處理方法。

關(guān)鍵詞:立體幾何;平面幾何;注意事項

立體幾何教學(xué)的目的主要是讓學(xué)生形成空間概念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力并掌握空間圖形的重要性質(zhì),從而掌握一些簡單立體圖形的畫法以及距離、角、表面積、體積的計算方法。教學(xué)中除了揭露教材的內(nèi)在聯(lián)系,線線、線面、面面的位置關(guān)系,以及柱、錐、球的性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)、對比分析外,還需注意以下幾個問題。

一、注重平面的基本性質(zhì)的教學(xué),注意把空間圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題來解決

平面基本性質(zhì)是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的理論依據(jù),它是立體幾何的基礎(chǔ)。教學(xué)中教師不僅應(yīng)讓學(xué)生熟悉掌握這些性質(zhì),更要通過實例鞏固和應(yīng)用這些性質(zhì)。平面圖形是空間圖形的基礎(chǔ),空間圖形是平面圖形的發(fā)展,它們之間有著千絲萬縷的關(guān)系。要解決空間圖形問題最終要歸結(jié)到解決平面圖形中去進(jìn)行。如推導(dǎo)多面體的表面積公式、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式等都是立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的典型例子。

二、弄清立體幾何與平面幾何的聯(lián)系是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵

立體幾何與平面幾何在體系上都是歐幾里得公理體系,在內(nèi)容上都是研究圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系,在方法上都是演繹推理的方法。因此,平面幾何與立體幾何諸多方面存在一致性,才有了用類比方法通過平面幾何來研究立體幾何的可能性。

(一)定義之間的類比。如:“角與二面角”。角是指從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形。二面角指的是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形。再如“圓與球”。平面上與定點的距離等于定長的點的集合叫做圓?？臻g中與定點的距離等于定長的點的集合叫做球。

(二)定理之間的類比。如:平行三角形一邊且與其他兩邊相交的直線所截得的三角形與原三角形相似,并且它們的面積比等于高的平方比;棱錐被平行于底面的平面所截,則截面與底面相似,并且它們的面積比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比,從而可推出所截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于它們高的立方比。

需要指出的是類比的方法屬于假設(shè),類比的結(jié)論若沒有根據(jù)則不能用。但類比能使人開闊思路、活躍思維,由平面圖形所在的二維空間到立體圖形的三維空間進(jìn)行類比會使我們感知順暢,遇到問題時辦法也會多樣。

三、立體幾何中常見問題及其常用的處理方法

(一)關(guān)于證明方面。(1)反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種證題方法,它在立體幾何中占有重要地位。所以教師一定要讓學(xué)生了解反證法的實質(zhì),即由假設(shè)命題結(jié)論的虛假推出與已知或定理、公理相矛盾的事實,從而證明命題的結(jié)論是正確的。這種方法常常用來證明一些由已知證結(jié)論很難解決的問題。(2)由于線線、線面、面面的平行與垂直是立體幾何的主要內(nèi)容,因而應(yīng)通過例題和練習(xí)使學(xué)生理解并掌握下列常用的證題思路。證兩直線平行常證這兩直線都與第三線平行;證一直線與一個平面平行常證這直線與平面內(nèi)的一條直線平行;證兩直線垂直常證一條直線垂直另一條直線所在的平面,或用三垂線定理及其逆定理;證兩平面平行常證一個面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面;證一直線與一個平面垂直常證這直線與平面內(nèi)相交兩直線垂直;證兩平面垂直常證一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線。

(二)關(guān)于計算方面。(1)求角和求距離的問題。平面幾何是立體幾何的基礎(chǔ),因而立體幾何問題往往要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題去處理,特別是在空間求角和求距離問題,要讓學(xué)生體會這一思想具體的有如下三種方法,即平移法、截面法、射影法。如求異面直線間的距離除了定義法外還可以過其中的一條直線作另一條直線的平行平面,將問題轉(zhuǎn)化為線面平行間的問題;求異面直線成的角還可以過一直線上一點作另一直線的平行線將問題轉(zhuǎn)化為相交兩直線所成的角;二面角的問題關(guān)鍵在于找到它的平面角,找平面角除用三垂線定理(逆定理)外,還可以通過作棱的垂面而得到;線面成角的問題在于找到線在平面內(nèi)的射影。(2)折疊問題。折疊問題是將平面圖形問題轉(zhuǎn)化為空間圖形問題,它是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力很好的練習(xí)。解決這一問題需注意以下幾方面的問題:除畫好折疊后的空間圖形外還要畫出原來的平面圖形;找出折疊后那些元素發(fā)生了變化,那些元素沒有發(fā)生變化;折疊后的圖形中元素與折疊前圖形中的元素之間關(guān)系。

3.關(guān)于畫圖方面。我在長期的教學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)有許多學(xué)生存在這樣狀況,雖然立體幾何學(xué)完了,可是畫出的圖立體感不強,也就是空間感不足。分析其原因除了空間觀念不強、立體感差以外,另外就是受平面幾何畫圖技術(shù)的影響。誠然,畫圖得好壞并不一定影響問題的解決,但圖畫得好無疑對思考、分析問題有很大的幫助,對初學(xué)者尤其如此。對如何畫好立體圖形,筆者有如下幾點體會:(1)充分理解題意后再考慮先畫誰、后畫誰、再畫誰,一般來說可以先畫面、后畫線、再畫點。(2)為了立體感強、便于思考,可以按“正的畫斜的,斜的畫更斜的”進(jìn)行。如:正方形畫成平行四邊形;正三角形畫成斜三角形;而斜三角形可以畫成更斜一些的三角形等。

最后需要說明的是,以上只是立體幾何教學(xué)中常用的一些方法,而非唯一方法。如:求線面之間的距離還可以用等積法、極值法等等。以上所述也僅僅是我在教學(xué)中的點滴體會,不妥之處敬請批評指正。