“整數(shù)乘除”內(nèi)容分析與教學(xué)建議

朱宇輝

[編者按]

蘇教版國(guó)標(biāo)本小學(xué)數(shù)學(xué)教材根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，在內(nèi)容編排上與以往教材有著很大的不同，其中最典型的就是比較合理地編排了各冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，一些教學(xué)內(nèi)容由原來的整體整塊呈現(xiàn)變?yōu)榉帜昙?jí)、分冊(cè)呈現(xiàn)，體現(xiàn)了知識(shí)學(xué)習(xí)螺旋上升的要求，更加適合學(xué)生在不同認(rèn)知水平上的學(xué)習(xí)。一些習(xí)慣于以往教材教學(xué)的老師隨意提前教學(xué)后續(xù)內(nèi)容，輕易拔高教學(xué)目標(biāo)和要求，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)面的影響。怎樣在整體上把握這些教學(xué)內(nèi)容的前后聯(lián)系?怎樣根據(jù)不同年段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和認(rèn)知水平進(jìn)行相應(yīng)內(nèi)容的教學(xué)?這些問題的解決有助于教師更好地教、學(xué)生更好地學(xué)。為此，我們從蘇教版國(guó)標(biāo)本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中選擇了5個(gè)較為典型的“知識(shí)塊”——整數(shù)乘除、分?jǐn)?shù)、可能性、式與方程和平面圖形的面積，通過教材各冊(cè)相應(yīng)內(nèi)容分析和教學(xué)建議，整體把握教材，弄清知識(shí)的前后聯(lián)系；通過單冊(cè)教材典型案例的設(shè)計(jì)與分析，探討如何具體把握教材內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知水平之間的關(guān)系并據(jù)此教學(xué)；通過對(duì)該內(nèi)容典型習(xí)題的分析，探討如何準(zhǔn)確地了解和刻畫學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和能力。最后，我們還邀請(qǐng)了蘇教版國(guó)標(biāo)本小學(xué)數(shù)學(xué)教材主編王林老師，對(duì)如何深入把握和理解教材，如何準(zhǔn)確把握教材中上述內(nèi)容的特點(diǎn)和教學(xué)中應(yīng)注意的問題，給老師們提出了指導(dǎo)意見和建議。希望這組內(nèi)容對(duì)老師們理解和實(shí)踐教材有啟發(fā)和幫助。

一、內(nèi)容分析

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)整數(shù)乘除的內(nèi)容主要安排在二至四年級(jí)，縱向看，整數(shù)乘法按照如下順序編排：[二年級(jí)上冊(cè)]乘法的意義和表內(nèi)乘法→[二年級(jí)下冊(cè)]兩位數(shù)乘一位數(shù)→[三年級(jí)上冊(cè)]三位數(shù)乘一位數(shù)→[三年級(jí)下冊(cè)]兩位數(shù)乘兩位數(shù)→[四年級(jí)上冊(cè)]100以內(nèi)的口算乘法→[四年級(jí)下冊(cè)]三位數(shù)乘兩位數(shù)。

整數(shù)除法按照下面的順序編排：[二年級(jí)上冊(cè)]除法的意義和表內(nèi)除法→[二年級(jí)下冊(cè)]有余數(shù)除法→[三年級(jí)上冊(cè)]兩位數(shù)除以一位數(shù)(商是兩位數(shù))→[三年級(jí)下冊(cè)]三位數(shù)除以一位數(shù)→[四年級(jí)上冊(cè)]三位數(shù)除以兩位數(shù)。

橫向看，在每一冊(cè)的教材安排中基本都涉及了口算、筆算、估算和解決問題這幾方面，并且整數(shù)乘除的內(nèi)容在教材中遵循了循序漸進(jìn)、螺旋上升的原則。

1、整數(shù)乘除法教學(xué)中的情境設(shè)計(jì)。

小學(xué)生對(duì)算術(shù)運(yùn)算概念的理解常常建立在情境的基礎(chǔ)上，為了在情境與運(yùn)算概念中建立聯(lián)系，就要利用情境，也就是為學(xué)生提供豐富的表征。這些表征包括：以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的活動(dòng)；可操作的活動(dòng)；圖畫和圖表：口頭語言；書面語言。教材中對(duì)情境的設(shè)計(jì)與處理較好地體現(xiàn)了多樣化的原則。

以乘除法的意義教學(xué)為例。乘法意義的教學(xué)為學(xué)生提供了一幅生動(dòng)活潑的圖畫(見下圖1)，再提出問題：兔一共有多少只?雞呢?這種類型的圖畫是學(xué)生在日常生活中常見到的，看這樣的圖學(xué)生很有經(jīng)驗(yàn)，這就是以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的活動(dòng)。

除法意義的教學(xué)創(chuàng)設(shè)了一個(gè)開放的活動(dòng)情境——分6個(gè)桃(見圖2)，在教學(xué)之前學(xué)生都有分東西的經(jīng)歷，學(xué)生可以按照自己的想法思考并動(dòng)手操作分這6個(gè)桃，這就為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)具有操作性的活動(dòng)情境。

再看表內(nèi)乘除法的計(jì)算教學(xué)，也為學(xué)生提供了豐富的表征。如2～4乘法口訣的教學(xué)(見圖3)，在學(xué)生通過情境圖掌握2、3的乘法口訣后，列表編寫4的乘法口訣；又如表內(nèi)除法的教學(xué)中(見圖4)，讓學(xué)生利用10個(gè)小朋友打球，每2人一組的情境圖，理解除法算式10÷2。這些都是以圖畫或圖表的方式幫助學(xué)生建立表征。

教材中關(guān)于乘除法意義的教學(xué)都是創(chuàng)設(shè)了不同的情境，聯(lián)系學(xué)生的生活，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，把抽象的概念教學(xué)建立在實(shí)景、實(shí)物表象的基礎(chǔ)上。學(xué)生有了多樣化的經(jīng)驗(yàn)后，有助于他們對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義。

2、整數(shù)乘除法教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想。

小學(xué)生學(xué)會(huì)了整數(shù)乘除法，并用它來解決問題，在這樣的學(xué)習(xí)過程中，也形成了他們思考問題的策略，并從中感受各種數(shù)學(xué)思想。教材在數(shù)學(xué)思想方面也作了許多孕伏和滲透。

(1)滲透函數(shù)的思想。

函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系。小學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解不是符號(hào)化的理解，而是在現(xiàn)實(shí)生活中的體驗(yàn)。小學(xué)生對(duì)于函數(shù)的體驗(yàn)是在日常的數(shù)學(xué)生活實(shí)踐的基礎(chǔ)上獲得的，它和問題情境緊密相關(guān)。例如三年級(jí)上冊(cè)教材中教學(xué)三位數(shù)乘一位數(shù)(乘數(shù)中間或末尾有0的乘法)的練習(xí)部分設(shè)計(jì)了一道關(guān)于乘法填表練習(xí)(見圖5)，讓學(xué)生先填表，然后通過觀察體會(huì)匾的個(gè)數(shù)和蠶繭的個(gè)數(shù)之間的依存關(guān)系和變化規(guī)律。

這就是通過表格的問題情境，結(jié)合不同乘除教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行的一種函數(shù)思想滲透。

(2)滲透比例的關(guān)系。

比例是一個(gè)總體中各個(gè)部分的數(shù)量占總體數(shù)量的比重，用于反映總體的構(gòu)成或者結(jié)構(gòu)，比例也是一種函數(shù)思想。小學(xué)生對(duì)比例關(guān)系的體驗(yàn)也是需要在現(xiàn)實(shí)問題情境中進(jìn)行的。雖然教材在六年級(jí)有單獨(dú)教學(xué)比和比例的單元，但其實(shí)在之前就進(jìn)行了逐步滲透。例如四年級(jí)上冊(cè)的除法練習(xí)中設(shè)計(jì)了一道填表的題(見圖6)，讓學(xué)生先填表再說說發(fā)現(xiàn)。學(xué)生不僅會(huì)發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，也可以通過觀察被除數(shù)自身的變化或除數(shù)自身的變化，發(fā)現(xiàn)其中的倍數(shù)關(guān)系。這就是結(jié)合倍的知識(shí)在滲透比例的關(guān)系。

(3)滲透“不變量”。

三年級(jí)上冊(cè)乘法單元中涉及“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)三量的關(guān)系”問題，當(dāng)總價(jià)和數(shù)量這兩個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，單價(jià)保持不變，單價(jià)反映了總價(jià)與數(shù)量之間的關(guān)系，像這樣的量就是“不變量”。例如四年級(jí)上冊(cè)除法單元中三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)練習(xí)部分的一題(見圖7)，不變量是長(zhǎng)方形土地面積，學(xué)生也能從面積不變中體會(huì)長(zhǎng)和寬這兩個(gè)變量的變化規(guī)律。

3、整數(shù)乘除法教學(xué)中的數(shù)學(xué)能力。

(1)估算能力。

估算是重要的數(shù)學(xué)技能，估算在一定程度上反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展具有促進(jìn)作用。蘇教版教材中，估算教學(xué)與口算、筆算的教學(xué)相結(jié)合，逐步滲透進(jìn)行。整數(shù)乘除的估算第一次出現(xiàn)在二年級(jí)下冊(cè)連續(xù)進(jìn)位乘的前一個(gè)練習(xí)中(見圖8)，第一次在例題教學(xué)中出現(xiàn)是在連續(xù)進(jìn)位乘的筆算教學(xué)中(見圖9)。這兩次估算教學(xué)都體現(xiàn)了估算的同一種策略——簡(jiǎn)約，把兩位數(shù)看成一個(gè)整十?dāng)?shù)計(jì)算比較簡(jiǎn)單。

(2)口算能力。

口算能力是指不用紙筆，直接在腦中進(jìn)行計(jì)算的能力，在計(jì)算能力中占有重要的位置。是筆算與估算的基礎(chǔ)?？谒愠３?huì)用到估算的策略，但是口算是為了得到一個(gè)準(zhǔn)確的答案，筆算能力是在口算能力的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。教材中口算部分的編排與估算類似，都采用了逐步滲透的方式。小學(xué)生口算內(nèi)容的核心是基本口算，在整數(shù)乘除內(nèi)容中主要是指乘法口訣。

除了表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法的教學(xué)，教材中其他整數(shù)乘除的口算教學(xué)基本上是滲透了一種策略，我們可以把它理解為一種“分解因數(shù)”的策略。以各冊(cè)教材中的一道乘法口算練習(xí)為例(見圖10)，這些練習(xí)都是把其中的一個(gè)乘數(shù)分解成一個(gè)數(shù)乘10或乘100，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

二、教學(xué)建議

1、乘除法概念的正確建構(gòu)。

乘除法是繼加減法后再學(xué)習(xí)的一種運(yùn)算，學(xué)習(xí)乘除法時(shí)，學(xué)生在理解乘除法的過程中，數(shù)學(xué)思維會(huì)發(fā)生重要的變化。

(1)乘法概念的建構(gòu)。

求幾個(gè)相同加數(shù)的和就是乘法，這句話可以理解為加法在某種程度上是乘法的基礎(chǔ)，解決乘法運(yùn)算的方法之一就是重復(fù)做加法。但如果將乘法僅僅看成是復(fù)雜的加法，顯然是不對(duì)的，乘法需要小學(xué)生更多的數(shù)學(xué)理解。例如，教材中教學(xué)2的乘法口訣時(shí)所呈現(xiàn)的是一個(gè)生活情境(見圖11)：1個(gè)蹺蹺板可以坐2人，2個(gè)蹺蹺板可以坐4人。其實(shí)這是一個(gè)“一對(duì)多”的情境，1個(gè)蹺蹺板對(duì)應(yīng)2個(gè)人(1與2對(duì)應(yīng))，2個(gè)蹺蹺板就是2乘2得4。它并不是簡(jiǎn)單的幾個(gè)相同數(shù)相加的問題，而是兩個(gè)集合之間的一與多相對(duì)應(yīng)的恒定關(guān)系。這種方法與加法思維方式具有本質(zhì)區(qū)別。

(2)除法概念的建構(gòu)。

除法概念的建構(gòu)是基于平均分的活動(dòng)的，平均分的活動(dòng)雖然也和加減法一樣，涉及總體與部分的關(guān)系，但是也有很大的不同。在加減法中，整體是部分之和，但每一部分無需相等。如二上認(rèn)識(shí)除法的例題教學(xué)中(見圖12)，第一種分法就是基于加減法的理解，第二種和第三種分法就要考慮3個(gè)因素：總個(gè)數(shù)、平均分和每份同樣多。所以，平均分是一種不同于加減法的新情境。

2、整數(shù)乘除法教學(xué)需要一定的記憶。

口算是筆算的基礎(chǔ)，能熟練口算，特別是基本口算，對(duì)筆算具有重要作用。這里的基本口算主要指乘法口訣，這也是口算表內(nèi)除法的基礎(chǔ)。張奠宙說：“沒有記憶就無法理解，理解是記憶的綜合，數(shù)學(xué)雙基強(qiáng)調(diào)必要的記憶?！背朔谠E的教學(xué)需要記憶，課程標(biāo)準(zhǔn)也要求在第一學(xué)段結(jié)束時(shí)，口算要達(dá)到每分鐘8-10題。因此，在教學(xué)時(shí)可以從以下幾方面入手：

(1)利用乘加、乘減教學(xué)，幫助記憶乘法口訣。

教材中乘加、乘減教學(xué)的主要目的并不是為了教學(xué)運(yùn)算順序，而是讓學(xué)生進(jìn)一步理解乘法的意義，記憶乘法口訣。例如乘加乘減課例中的一道練習(xí)題(見圖13)，就是用意明顯的特別設(shè)計(jì)。其中3×2+2可以理解為3個(gè)2加1個(gè)2是4個(gè)2得8，滲透的是相鄰乘法口訣之間的聯(lián)系，這有助于學(xué)生有意義地記憶乘法口訣。

(2)利用多樣化的活動(dòng)練習(xí)，幫助記憶乘法口訣。

小學(xué)生解決基本乘除口算題的策略中有一種稱為“直接提取”，使用這種策略時(shí)，這些計(jì)算已經(jīng)在學(xué)生頭腦中有一定的答案，他們所要做的是從長(zhǎng)期記憶中提取出來。有研究表明。口算熟練的學(xué)生和不熟練的學(xué)生相比，前者更偏好使用“直接提取”，而后者難以做到。所以，在教學(xué)時(shí)要更加關(guān)注口算不熟練的學(xué)生。教材中采用了多種練習(xí)方式幫助學(xué)生記憶口訣，如編口訣，整理口訣，積累口訣，題組練習(xí)等。教師在教學(xué)中也可以組織學(xué)生通過不同的方式練習(xí)口算，比如獨(dú)立口算，兩人互相出題口算，三人或四人口算比賽，集體搶答等。

3、加強(qiáng)估算教學(xué)。

估算在生活中有著廣泛的應(yīng)用，一個(gè)人在日常生活中使用估算的次數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于精確計(jì)算。在整數(shù)乘除教學(xué)中，估算的教學(xué)與筆算的教學(xué)總是緊密結(jié)合的，教師要注重發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和估算策略。小學(xué)生估算常用的策略主要有簡(jiǎn)約、轉(zhuǎn)換和補(bǔ)償，但是不同的學(xué)生對(duì)同一題使用的策略常常不盡相同。例如三年級(jí)下冊(cè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算(見圖14)，學(xué)生在估算29×42時(shí)就會(huì)出現(xiàn)不同的方法，有的把29和42分別看作20和40；也有的把29和42分別看作30和50；還有的把29和42分別看作30和40。這三種方法采用的策略都是簡(jiǎn)約，把兩位數(shù)看成整十?dāng)?shù)再算，但是使用第三種方法的學(xué)生還涉及了其他數(shù)學(xué)思維過程，可以解釋為“29接近30，42接近40，這樣估計(jì)的結(jié)果趨于精確”。前兩種方法雖然沒有第三種精確，但也是正確的。教師可以在筆算教學(xué)完成后讓學(xué)生比較一下估算與筆算的結(jié)果，逐步幫助學(xué)生優(yōu)化估算策略。

4、注重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

解決問題與計(jì)算教學(xué)相結(jié)合是蘇教版教材的特色之一。在計(jì)算教學(xué)時(shí)穿插解決問題，又在解決問題中鞏固計(jì)算，同時(shí)滲透解決問題的策略，將為第二學(xué)段專門學(xué)習(xí)解決問題的策略打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。比如教材在第一學(xué)段解決問題時(shí)以圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn)問題情境，設(shè)置“情境”就是一種策略。用人或物模擬問題情境，不僅使學(xué)生更清楚問題，還便于用語言具體敘述，易于理解。又如四年級(jí)上冊(cè)除法單元的練習(xí)題(見圖7)，如果將這題的發(fā)現(xiàn)應(yīng)用到下面一題(見圖15)，這種“延伸”策略，會(huì)有利于學(xué)生對(duì)具體問題的理解和解答。

食堂買來40筐西紅柿，用去800元。

(1)平均每筐西紅柿多少元?

(2)如果每筐西紅柿的價(jià)錢降到原來的一半，用800元可以買多少筐這樣的西紅柿?