雙圓弧的圖解及其在衣縫輪廓線設(shè)計中的應(yīng)用

婁少紅

(湖北理工學(xué)院 藝術(shù)學(xué)院， 湖北 黃石 435003)

隨著CAD/CAM在造船、航空、汽車、機械等行業(yè)中的廣泛應(yīng)用，各類曲線的擬合和逼近顯得越來越重要。由于雙圓弧的簡單直觀、實現(xiàn)方便、具有幾何不變性以及良好的光順性，而得到了大家的重視。對此，早期研究者有Bolton[1]、蘇步青等[2]、孫家昶等[3]。多年以來，諸多學(xué)者對圓弧樣條曲線的構(gòu)造[4]、雙圓弧逼近各類曲線的擬合方法、擬合誤差及算法[5-7]進行了大量的研究，有的研究者還根據(jù)不同行業(yè)的實際問題針對雙圓弧的應(yīng)用進行了深入的探討[8-10]。早在2005年，李重就將雙圓弧用于袖窿弧線和袖山弧線的設(shè)計[11]，但總體上對雙圓弧在服裝行業(yè)的應(yīng)用研究文獻仍較少。為此，本文考慮到可操作性和實用性，基于圖解法分析雙圓弧，試圖通過雙圓弧在褲子輪廓線設(shè)計中的應(yīng)用，為破解目前衣縫輪廓線的設(shè)計過分依賴版型師經(jīng)驗，且不易參數(shù)化的難題，提供切實可行的方法和途徑。

1 雙圓弧的圖解

圖1示出雙圓弧形態(tài)。雙圓弧的定義[2,6]為：設(shè)2點P1和P2及其切線t1和t2都被給定，引2段圓弧A11和A12，使其滿足下列條件：1)A11以P1為起點，且切線為t1；2)A12以P2為止點，且切線為t2；3)A11的終點Q1是A12的起點；4)A11和A12在點Q1處具有共同的切線。則圓弧A11與A12的組合稱為雙圓弧，點Q1稱為雙圓弧的連接點(本文簡述為連接點)。雙圓弧是G1連續(xù)的，它有C型和S型2種基本類型[5,12]。

圖1 雙圓弧Fig.1 Biarc of C-type (a) and S-type (b)

圖1中的K1是雙圓弧起止點切線t1和t2的交點，K1P1的長度稱為起點切線長，K1P2的長度稱為止點切線長，t1和t2單位向量之間的夾角β稱為切向夾角，其取值范圍為(0°,180°)。

可以知道平面上的圓弧唯一地決定于3個條件，從而雙圓弧共有6個自由度，但在雙圓弧的定義中只有5個自由度，所以還有1個未確定的自由度，這表明連接點的位置并不唯一確定[2,5-6]。因此，平面上任意2點P1和P2之間，存在無數(shù)條首尾分別經(jīng)過這2點，且首尾端(起止點)的切線分別為t1和t2的雙圓弧，這些雙圓弧形成一個雙圓弧族[9]，其連接點的位置按照一定規(guī)律變化而形成一條軌跡線。實際上，連接點的軌跡并非一致連續(xù)而存在間斷點。所謂間斷點，簡單地說是指該點并非連接點。間斷點將連接點的軌跡線分割成多個區(qū)間，且不同區(qū)間對應(yīng)不同類型和不同組成的雙圓弧。

顯而易見，雙圓弧的連接點軌跡、類型和組成，取決于雙圓弧起止點切線t1和t2的交點位置以及方向關(guān)系。

1.1 起止點切線的交點位于起止點連線外

雙圓弧起止點切線t1和t2的交點K1位于起止點連線P1P2之外時，起點切線長K1P1與止點切線長K1P2的大小關(guān)系有K1P1K1P2，t1和t2的方向關(guān)系有相順、相背或相對等情形，其連接點軌跡均為一個圓[6]，如圖2、3所示。

1.1.1 起止點切線t1和t2的方向相順

設(shè)K1P1

2)連接點軌跡圓的圓心與半徑。作∠P1K1P2(β的補角)的角平分線與連線P1P2的垂直平分線相交，其交點O1即為連接點軌跡圓的圓心。連線O1P1(或O1P2、O1P1′及O1P2′)的長度，即為連接點軌跡圓的半徑。其它求圓心O1的方法，從略。

3)連接點軌跡圓的間斷點及區(qū)間。顯然，雙圓弧起止點P1和P2不是連接點。由于過點P1′或P2′只能作出一段圓弧與一段直線相切，所以P1′、P2′也不是連接點。因此，連接點軌跡圓上共有P1、P2′、P2和P1′等4個間斷點，它們將其分成(P1，P2′)、(P2′，P2)、(P2，P1′)和(P1′，P1)這4個區(qū)間。

圖2 K1位于連線P1 P2之外且t1和t2方向相順Fig.2 K1 is located outside P1P2 and direction of t1 and t2 is consistent. (a) t1 Points to K1, t2 is backward K1; (b) t1 is backward K1, t2 points to K1

同理可解K1P1>K1P2且t1和t2的方向相順(圖略)時的情形。

對于連接點軌跡圓的區(qū)間，為推而廣之，規(guī)定以△P1K1P2為參照，將位于△P1K1P2之內(nèi)(或以起止點P1和P2為端點)的區(qū)間記為B(1)，較長切線段之外的區(qū)間記為B(2)，較短切線段(或者其延長線)之外的區(qū)間記為B(4)，余下的區(qū)間記為B(3)。按此規(guī)定，上述區(qū)間(P1，P2′)、(P2′，P2)、(P2，P1′)和(P1′，P1)則可依次記為B(1)、B(2)、B(3)、B(4)。

4)各區(qū)間雙圓弧的類型及組成。當(dāng)K1P1K1P2且t1和t2的方向相順時，連接點軌跡圓上不同區(qū)間的雙圓弧類型及組成如表1所示。

表1 雙圓弧類型及組成(K1位于連線P1 P2之外且t1和t2方向相順)Tab.1 Type and composition of biarc(K1 is located outside P1P2 direction of t1 and t2 is consistent)

1.1.2 起止點切線t1和t2的方向相背或相對

同理可解K1P1>K1P2且t1和t2的方向相背或相對(圖略)時的情形。

當(dāng)K1P1K1P2且t1和t2的方向相背或相對時，連接點軌跡圓上不同區(qū)間的雙圓弧類型及組成如表2所示。

1.2 起止點切線的交點與起點或止點重合

雙圓弧起止點切線t1和t2的交點K1無論是與起點P1重合(起點切線長K1P1=0)，還是與止點P2重合(止點切線長K1P2=0)，t1和t2的方向關(guān)系均有相順、相背等2種情形，其連接點的軌跡均為一個圓，如圖4所示。

1.2.1 起止點切線t1和t2的方向相順(重點重合)

如圖4(a)所示，當(dāng)雙圓弧起止點切線t1和t2的交點K1與起點P1重合(K1P1=0)且t1和t2的方向相順(此時t1背向K1，而t2指向K1)時，按前述方法可求得連接點軌跡圓的圓心和半徑；在起點P1的切線t1上，取P1P1′=P1P2截取P1′點，則點P1′即為連接點軌跡圓上的間斷點。間斷點P1(K1)、P2和P1′將連接點軌跡圓分成(P1，P2)、(P2，P1′) 和(P1′，P1)這3個區(qū)間，規(guī)定以起止點為端點的區(qū)間記為E(1)，不以重合點為端點的區(qū)間記為E(2)，余下的區(qū)間記為E(3)。

圖3 K1位于連線P1 P2之外且t1和t2方向相背或相對Fig.3 K1 is located outside P1P2，and t1 and t2 are back to back (a) or face to face (b)

區(qū)間雙圓弧類型β 取值范圍雙圓弧的組成K1P1K1P2且t1與t2相對K1P1K1P2且t1與t2相背(0°,γ]劣弧優(yōu)弧劣弧優(yōu)弧B(1)S型(γ,180°)劣弧+半圓優(yōu)弧+半圓劣弧+優(yōu)弧優(yōu)弧+劣弧優(yōu)弧+劣弧劣弧+優(yōu)弧B(2)C型(0°,180°)優(yōu)弧+半圓劣弧+半圓優(yōu)弧劣弧B(3)S型(0°,180°)優(yōu)弧+劣弧優(yōu)弧+劣弧B(4)C型(0°,180°)優(yōu)弧+劣弧優(yōu)弧+劣弧

圖4 K1與P1重合且t1與t2相順或相背Fig.4 K1 and P1 coincide and t1 and t2 direction is consistent (a) or back to back (b)

同理可解K1P2=0且t1和t2的方向相順(圖略)時的情形。

當(dāng)K1與P1重合(K1P1=0)或K1與P2(K1P2=0)且t1和t2的方向相順時，連接點軌跡圓上不同區(qū)間的雙圓弧類型及組成如表3所示。

1.2.2 起止點切線t1和t2的方向相背(交點重合)

當(dāng)雙圓弧起止點切線t1和t2的交點K1與起點P1重合(K1P1=0)且t1和t2的方向相背(如圖4(b)所示)，或者K1與止點P2重合(K1P2=0)且t1和t2的方向也相背(圖略)時，連接點軌跡圓的圓心與半徑、間斷點及區(qū)間的求解方法同上，不再贅述。連接點軌跡圓上不同區(qū)間的雙圓弧類型及組成如表3所示。

表3 雙圓弧類型及組成(K1與P1或P2重合)Tab.3 Type and composition of biarc(K1 in coincidence with P1 or P2)

1.3 起止點的切線交點在無窮遠處

雙圓弧起止點切線t1和t2的交點K1在無窮遠處(起止點切線相互平行)時，起止點切線的方向關(guān)系有t1與t2同向平行、反向平行2種情形，見圖5。

圖5 起止點的切線平行Fig.5 Tangential parallel of starting and ending points. (a) t1 is parallel to t2 in same direction; (b) t1 is reversely parallel to t2

1.3.1 起止點切線t1與t2同向平行

1.3.2 起止點切線t1與t2反向平行

表5 雙圓弧類型及組成(t1與t2反向平行)Tab.5 Type and composition of biarc(t1 and t2 are reversely parallel)

2 用于衣縫輪廓線設(shè)計的雙圓弧

2.1 C型雙圓弧

2.1.1 C型雙圓弧的基本構(gòu)造條件

縱觀前述，C型雙圓弧有2種構(gòu)造情形符合由劣弧組成的要求，即

1)表1中，β的取值范圍為(0°,180°)，t1與t2方向相順，且t1指向K1，連接點位于區(qū)間B(1)內(nèi)的C型雙圓弧。

2)表5中，α的取值范圍為(0°,180°)，且t1與t2反向平行，連接點位于區(qū)間(P1′，P2)內(nèi)的C型雙圓弧。

一般而言，只有前一種構(gòu)造情形適用于設(shè)計衣縫輪廓線，因此，本文后續(xù)提及的C型雙圓弧專指前一種構(gòu)造情形。

2.1.2 C型雙圓弧的切線長比值要求

考慮到可操作性，本文采用限定切線長比值大小的方法控制C型雙圓弧的圓順性。

切線長比值大小的限定值與切向夾角β相關(guān)。在切向夾角β的取值范圍(0°,180°)內(nèi)，切線長比值與切向夾角β的關(guān)系必須符合

在滿足上述要求時，切線長比值越小，C型雙圓弧的圓順性越好。

2.1.3 C型雙圓弧連接點的選擇

連接點的位置有無限多個，如何選擇合適的連接點將直接影響到雙圓弧的圓順性。一般采用使2段圓弧曲率之差最小的原則來確定連接點的位置[5-6，12]。

本文在保證雙圓弧圓順性的前提下，顧及手工制圖的可行性，以圖2(a)所示區(qū)間(P1，P2′)內(nèi)的連接點軌跡弧的中點，即△P1K1P2的內(nèi)心為C型雙圓弧的連接點[2,7]。

2.1.4 C型雙圓弧的制圖要點

繪制C型雙圓弧的方法有內(nèi)心法和圓心法。

1)內(nèi)心法。內(nèi)心法是指制圖時先確定雙圓弧連接點的方法。內(nèi)心法適宜用AutoCAD制圖，便于參數(shù)化計算，但用于手工制圖時稍顯復(fù)雜。

如圖1(a)所示，用AutoCAD制圖的基本步驟是先調(diào)用XLINE命令作△P1K1P2的內(nèi)心Q1，再用PLINE命令畫出C型雙圓弧。

2)圓心法。圓心法是指繪圖時先確定2個組成圓弧圓心的方法。圓心法比較適合手工制圖。

圓心法的基本步驟是先求圓弧A11和A12的圓心和半徑，爾后畫弧，如圖6所示。求作圓心和半徑的過程可歸納為：一條連線，兩個相等，一條垂直平分線，兩條法線。

圖6 繪制C型雙圓弧的圓心法Fig.6 Center method for drawing C-type biarc

2.2 S型雙圓弧

2.2.1 S型雙圓弧的基本構(gòu)造條件

縱觀前述，S型雙圓弧有如下幾種構(gòu)造情形符合由劣弧組成的要求，即

1)表1中，β的取值范圍為(0°, 180°-γ]，t1與t2方向相順，且t1指向K1，連接點位于B(2)區(qū)間內(nèi)的S型雙圓弧。

2)表2中，β的取值范圍為(0°,γ]，K1P1K1P2且t1與t2方向相對，連接點位于B(1)區(qū)間內(nèi)的S型雙圓弧。

3)表3中，β的取值范圍為(0°,90°]，K1P1=0且t1與t2方向相背和K1P2=0且t1與t2方向相順，連接點位于E(1)區(qū)間內(nèi)的S型雙圓弧。

4)表4中，α的取值范圍為(0°,90°)，且t1與t2同向平行，連接點位于區(qū)間(P1，P2)內(nèi)的S型雙圓弧。

在上述S型雙圓弧的多種構(gòu)造情形中，用于衣縫輪廓線設(shè)計的通常有3種，即t1與t2相交(K1P1

圖7 S型雙圓弧常用的3種構(gòu)造情形Fig.7 Three kinds of construction situations commonly used for S-type biarc. (a) Intersected and direction consistent; (b) Intersected and direction back to back; (c) Coincide and direction back to back

2.2.2 S型雙圓弧的切線長比值要求

圖7(a)所示S型雙圓弧構(gòu)造情形的切線長比值必須大于等于3，圖7(b)和圖7(c)所示的構(gòu)造情形沒有切線長比值要求。

2.2.3 S型雙圓弧連接點的選擇

S型雙圓弧連接點的選擇，除須滿足圓順性要求外，還要顧及可操作性。為此，本文采用定弦長的方法選定連接點，經(jīng)分析和實踐，依據(jù)衣縫輪廓線的形狀特征，選定連接點Q1與雙圓弧起點或止點的距離為Q1P1(或Q1P2)=(0.4～0.5)P1P2，如圖7所示。

2.2.4 S型雙圓弧的制圖要點

S型雙圓弧用手工制圖時較復(fù)雜，但適宜用AutoCAD制圖。

用AutoCAD制圖的一般過程如下：首先畫出連接點軌跡?。簣D7(a)所示作圖方法是在確定點P2′后，用三點畫弧ARC命令過P1、P2′、P2畫出連接點軌跡?。粓D7(b)所示作圖方法是在確定點P2′后，再經(jīng)過P2′、P1、P2畫連接點軌跡弧；圖7(c)所示作圖方法是先確定切向夾角β的角平分線lβ，再以lβ為切線(實際上lβ就是連接點軌跡圓在P1點的切線)，用起點、端點和方向畫弧命令畫出連接點軌跡弧。爾后依據(jù)衣縫輪廓線形狀選定雙圓弧的連接點，最后使用PLINE命令畫出S型雙圓弧。

S型雙圓弧的3種構(gòu)造情形，看似很復(fù)雜，實際上，根據(jù)拓撲學(xué)的理論，可以認為這3種情形是等價(同胚)的，即圖7(c)是圖7(a)的一種特殊情形，而圖7(b)可以看成是圖7(a)某個時刻的狀態(tài)，因此，在對S型雙圓弧參數(shù)化時，完全可按圖7(a)進行參數(shù)計算。

3 雙圓弧應(yīng)用實例

采用雙圓弧設(shè)計衣縫輪廓線，必須遵循以下準(zhǔn)則：無論在什么數(shù)據(jù)下，其制圖方法完全統(tǒng)一，簡單可行，可顧及手工制圖需求；其形狀符合要求，圓順合理，無需后期人為干預(yù)。

3.1 雙圓弧在褲襠縫線設(shè)計中的應(yīng)用

褲子前、后襠縫線均由直線和曲線2部分構(gòu)成，其曲線部分的形狀，受前、后襠寬和前、后襠斜線傾斜度以及前、后襠內(nèi)側(cè)縫線傾斜度等因素的影響而發(fā)生變化，尤其是后襠縫線的曲線部分，由于后襠斜線(臀圍線以下段)和落襠線的長度尺寸以及相互間的夾角變化顯著，導(dǎo)致其形狀起伏很大，難以掌控。對此，本文根據(jù)前、后襠縫線曲線部分的形狀特征及尺寸變化情況，遵循衣縫輪廓線的設(shè)計準(zhǔn)則，按照切線長比值要求，將前、后襠縫線的曲線部分均分解成2段相切的C型雙圓弧。

圖8示出闊腿褲前、后襠縫線曲線部分的制圖過程。對后襠縫線的曲線部分，首先使用中位線中點法，在△P1KP2中確定前、后段2段C型雙圓弧的公切線M1M2及公切點P3，爾后以P1與P3為起止點、落襠線P1K和線段P3M1為切線、△P1M1P3的內(nèi)心為連接點；以P3與P2為起止點、線段P3M2和后襠斜線P2K為切線、△P3M2P2的內(nèi)心為連接點，依次畫出2段C型雙圓弧，即得褲子后襠縫線的曲線部分。同理可得闊腿褲前襠縫線的曲線部分，以及任何數(shù)據(jù)下褲子前、后襠縫的曲線部分。

圖8 闊腿褲的前、后襠縫線Fig.8 Front and back trouser crotch seam of wide leg trousers

需要說明的是，上述方法是基于降低制圖繁瑣程度的考量而提出的，實際上若用4段雙圓弧設(shè)計前、后襠縫線的曲線部分，可以獲得更加完美的圓順效果。

3.2 雙圓弧在褲子后外側(cè)縫線設(shè)計中的應(yīng)用

褲子后外側(cè)縫線由直線和曲線2部分構(gòu)成，影響其曲線部分形狀的直接因素，是其直線部分的傾斜度、后外側(cè)縫斜線的傾斜度以及后外側(cè)縫撇入量。由于直線部分的傾斜度受褲子廓形的影響，后外側(cè)縫斜線的傾斜度受褲子松緊風(fēng)格、后挺縫偏移量等因素的影響，致使后外側(cè)縫斜線與后外側(cè)縫線直線部分之間的夾角以及交點的位置發(fā)生很大的變化，加之腰臀差對后外側(cè)縫撇入量的影響，從而導(dǎo)致后外側(cè)縫線形狀的顯著起伏，似無規(guī)律可循，難以把握。對此，本文根據(jù)褲子后外側(cè)縫線的形狀特征及尺寸變化情況，將其曲線部分解析成1段S型雙圓弧和1段單圓弧。

依據(jù)上述分析可以認為，褲子后外側(cè)縫線是由直線段(P0P1段)、S型雙圓弧段(P1P2段)和單圓弧段(P2P3段)等3段依次相切連接而成的，其中S型雙圓弧的起止點分別為P1、P2點，起止點的切線分別為P0P1和P2K1；單圓弧的起點和端點分別為P2和P3。單圓弧與S型雙圓弧的公切點為P2，公切線為P2K1，如圖9所示。

圖9 錐形褲、直筒褲和喇叭褲的后外側(cè)縫線Fig.9 Back outseam line of tapered trousers(a), straight-legged trousers (b) and bell-bottom trousers (c)

如果使用AutoCAD制圖，就可以用PLINE命令，一氣呵成地畫出后外側(cè)縫線。

4 結(jié) 論

通過雙圓弧在褲子輪廓線設(shè)計中的應(yīng)用可知，只要能根據(jù)衣縫輪廓線的形狀特征以及相關(guān)尺寸的變化情況，將其分解成含有雙圓弧的N段，并合理選擇雙圓弧的類型、起止點和切線以及連接點位置，就可獲得完美的衣縫輪廓線。

采用雙圓弧設(shè)計衣縫輪廓線，不僅能突破經(jīng)驗的束縛，提高衣縫輪廓線設(shè)計的合理性和科學(xué)性，還可以破解衣縫輪廓線的參數(shù)化難題，簡化服裝樣板的參數(shù)化設(shè)計，大幅度降低計算難度和計算量，使更多的服裝從業(yè)者能夠采用AutoCAD參數(shù)化功能進行樣板的參數(shù)化設(shè)計，提高制圖速度，從而提升生產(chǎn)效率。

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