幾何證明題添加輔助線索引

李三官

幾何證明題對初中學生來說,較為困難。原因有兩個,其一,所學的幾何定理、定義、公理等記得不準,理解不透,運用不夠熟練。其二,沒有掌握一定的證題方法。學生若能克服上述兩點,做題時應該說沒有問題。下面就證明幾何題時,如何添加輔助線的思路介紹大家參考。

證明幾何題一般需添加輔助線,所以我們在分析思考一道幾何題的證明方法時,也就要考慮添加什么樣的輔助線的問題(輔助線的類型分為直線型和圓型兩種)。我們知道,添加有用的輔助線,能使命題的條件與結論有機聯(lián)系起來,便于由此及彼?；蚋脑煸}圖形,以應用某一定理;或造成新的等量,借以得到欲證的等量。那么怎樣添加有用的輔助線呢?這是一個很難回答的問題。因為幾何題目繁多,輔助線的添加法也多種多樣,沒有一定成規(guī)。為了探求添加輔助線的方法,我們不妨把常見的幾何題按所需證明的結論分為若干類,一旦你決定用哪種方法來證,你就按照這種方法的要求添加輔助線。比如你要用全等三角形來證兩線段(或兩角)相等,你就添加輔助線構造全等三角形。你要用“兩平行線被第三線所截,同位角相等內錯角相等”來證兩角相等,你就要添加平行線。

常常有這樣的情形,對某一幾何題,我們一時還不知道該用哪種方法來證,或者也知道需用某種方法,但走了幾步后,走不下去了,該怎么辦呢?這時你仔細檢查一下題設條件,或許能從中得到某種啟發(fā),因為題設條件常常暗示了添加輔助線的方法,比如有以下幾種情況:1.題設條件有線段的中點,常作中位線中線或弦心距;2.題設條件中有三角形的中線,常作平行四邊形(只需將中線延長一倍或三分之一);3.題設條件中有直徑,常作出直徑上的圓周角(是直角);4.兩圓相交,常作公共弦(此公共線把兩圓聯(lián)系起來,便于找到等量關系,比如說,在兩圓內可找到這弦所對的圓周角);5.兩圓相切,常作連心線(它通過切點)和公切線(可在兩圓內找到等于弦切角的圓周角);6.給了線段的垂直平分線,常利用“線段垂直平分線上的點,到線段兩端的距離相等”;7.給了角平分線,常利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”;8.給了切線,常作過切點的半徑(它垂直于切線);9.多邊形常用的輔助線是對角線,把多邊形分成若干三角形,然后應用三角形有關的定理去解決;10.有關梯形問題,常用的輔助線是由小底兩端作大底的垂線,或由小底一端作一腰的平行線;或作另一對角線的平行線等。

只要我們熟練地掌握了所學過的定義、公理和定理,做過一定數(shù)量的練習題,并注意不斷總結經驗,就可以從中體會到添加“輔助線”的規(guī)律性。當然這種規(guī)律性是無法用三言兩語概括起來的。是不是添加輔助線就可以萬事大吉?其實,也不是這樣,添加輔助線只是打開了我們的解題思路。只要我們大家多多交流各自的點滴體會,就可使點滴之水匯成江河,突破中學數(shù)學中平面幾何這個薄弱的環(huán)節(jié)。

(責 編 涵 冰)