在數(shù)學(xué)訓(xùn)練中促使學(xué)生頓悟的策略

黃九林

頓悟是指突然覺察到問題的解決辦法，它是通過學(xué)習(xí)者重新組織或重新建構(gòu)有關(guān)事物的形式而實(shí)現(xiàn)的。頓悟既可以避免多余的嘗試錯(cuò)誤，又能促進(jìn)知識(shí)的遷移運(yùn)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，重視學(xué)生思維頓悟的訓(xùn)練，對(duì)提高教學(xué)效率有著重要的意義，它既是促使訓(xùn)練到位：提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的必要操作規(guī)程，也是構(gòu)成課堂教學(xué)過程不可缺少的環(huán)節(jié)。

一、追本溯源——在倒攝處促其頓悟

很多學(xué)生在解題時(shí)，往往根據(jù)例題的解法照葫蘆畫瓢，對(duì)解題的思路和方法知其然，而不知其所以然

因此，教師不能只滿足于學(xué)生解答出一個(gè)正確結(jié)果，而應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生反思解題的思路，倒攝答案形成的過程，獲得思維的頓悟。

例如：“立新化肥廠全年計(jì)劃生產(chǎn)化肥1500噸，實(shí)際上半年每月生產(chǎn)化肥147.6噸，剩下的要4個(gè)月完成，平均每個(gè)月生產(chǎn)化肥多少噸?”學(xué)生解題后，教師指著綜合算式：(1500-147.6×6)÷4追問：“你是怎樣分析這道題的數(shù)量關(guān)系的?”

這關(guān)鍵的一問，可以啟發(fā)學(xué)生反思，把解題的思維過程暴露出來。然后繼續(xù)追問：(1)147.6×6求出什么?(2)1500-147.6×6求出什么?(3)整個(gè)算式求出什么?通過這樣有層次的追問，能使學(xué)生進(jìn)一步反思算理，掌握應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和解題思路。

二、小題大做——在細(xì)微處促其頓悟

教材中有些細(xì)微處是十分豐富的思維素材，教師要善于“小題大做”，在“細(xì)微”處促其思維頓悟，達(dá)到訓(xùn)練的目的。

如教學(xué)“三角形面積公式”的推導(dǎo)過程時(shí)，我針對(duì)教材所述“兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”

啟發(fā)學(xué)生思考：能否將“兩個(gè)完全一樣”換成“兩個(gè)面積相等”，為什么?有一部分同學(xué)認(rèn)為“可以”，理由是“兩個(gè)完全一樣”的三角形面積是相等的，而另一部分學(xué)生則說：“不可以”，因?yàn)椤懊娣e相等”的兩個(gè)三角形，不一定是“完全一樣”的，而兩個(gè)不完全一樣的三角形是不可能拼成一個(gè)平行四邊形的。如下圖1：

這兩個(gè)三角形雖然面積相等，但無法拼成一個(gè)平行四邊形。我又進(jìn)一步追問：能否換成“兩個(gè)等底等高”的三角形呢?學(xué)生經(jīng)過思考，都認(rèn)為不能，理由是“兩個(gè)等底等高”的三角形不一定是“完全一樣”的三角形。如下圖2中ABC和DBC雖然等底等高，但不能拼成一個(gè)平行四邊形。

在教材的細(xì)微處引導(dǎo)學(xué)生反思，成就了學(xué)生思維頓悟的良好契機(jī)，正是在頓悟的過程中，學(xué)生的分析能力和應(yīng)變能力得到了有效的訓(xùn)練。

三、水到渠成——在鋪墊處促其頓悟

有些應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生很難找到解題的突破口，這就需要教師設(shè)計(jì)必要的鋪墊，以減緩思維坡度，促其思維頓悟，讓學(xué)生順利從未知過渡到已知。

如，有這樣一道題：“為了鼓勵(lì)節(jié)約用電，某市電力公司規(guī)定了以下電費(fèi)計(jì)算方法：每月用電不超過100千瓦時(shí)，按每千瓦時(shí)0.52元收費(fèi)；每月用電超過100千瓦時(shí)，超過部分按每千瓦時(shí)0.6元收費(fèi)。小明家10月份付電費(fèi)64.6元。用電多少千瓦時(shí)?”教學(xué)時(shí)

可設(shè)計(jì)以下一系列問題作為鋪墊：

如果小明家用電正好是100千瓦時(shí)，應(yīng)付電費(fèi)多少元?[0.52×100=52(元)]

2、小明家實(shí)際超出電費(fèi)多少元?[64.6-52=12.6(元)]

3、這說明小明家用電已超過多少千瓦時(shí)?[100千瓦時(shí)]

4、超出部分每千瓦時(shí)0.6元，多少千瓦時(shí)才是12.6元呢?[12.6+0.6=21(千瓦時(shí))]

5、小明家一共用電多少千瓦時(shí)?[100+21=121(千瓦時(shí))]

由于教師的設(shè)問由淺入深，一步一步推進(jìn)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)解題思路的頓悟。

四、各抒己見——在補(bǔ)白處促其頓悟

藝術(shù)家的創(chuàng)作手法都講究“留白”，讓人們發(fā)揮想象去填補(bǔ)。在教學(xué)過程中，如果教師能夠設(shè)計(jì)一些填充題，激發(fā)學(xué)生的想象來填補(bǔ)這些空白，實(shí)質(zhì)上也就是充分展示了學(xué)生對(duì)這類問題的頓悟過程。

如在復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，可在鞏固練習(xí)中設(shè)計(jì)補(bǔ)充條件的題目。如：在下面的橫線上，補(bǔ)充一句帶有分率的話，使它成為一道完整的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題(至少補(bǔ)充3種不同的形式)。

五(1)班男生有30人，______，女生有多少人?這道題橫線上的填法有：女生是男生的2/3；男生是女生的3/2；男生比女生多1/2；女生比男生少1/3；男生占全班的3/5；女生占全班的三；女生比男生的5/6少5人；比女生的3/4多15人……

通過這樣的“補(bǔ)白”，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)”和“單位1”表現(xiàn)形式的頓悟，訓(xùn)練了學(xué)生自覺聯(lián)想和快速轉(zhuǎn)化的能力。

五、亡羊補(bǔ)牢——在救失處促其頓悟

教師在為學(xué)生匡謬救失時(shí)，要重視展現(xiàn)思維過程，以便從深層次上作出診斷和矯治。在解題過程中，學(xué)生的思維偏差往往帶有很強(qiáng)的主觀性，又具有普遍性，抓住這些失誤和偏差進(jìn)行剖析，不僅能補(bǔ)救誤差。而且能夠促使學(xué)生進(jìn)行深層次的思維頓悟。

例如：“抄一份稿件，甲單獨(dú)抄要1/2小時(shí)完成，乙單獨(dú)抄要1/3小時(shí)完成。現(xiàn)兩人合抄，多少小時(shí)完成?”大部分學(xué)生的解法是：1/2x+1/3x=1或1÷(1/2+1/3)，學(xué)生出錯(cuò)的原因是受“工作效率”表現(xiàn)形式的干擾，誤認(rèn)為1/2和1/3分別是甲和乙的工作效率。針對(duì)出錯(cuò)原因，可引導(dǎo)學(xué)生思考“1/2表示什么?1/3表示什么?甲和乙的工作效率各應(yīng)怎么求?”以此讓學(xué)生重新審題，明白自己的錯(cuò)誤所在，即把“分?jǐn)?shù)形式的工作時(shí)間”誤認(rèn)為是工作效率了。

六、舉一反三——在變式處促其頓悟

對(duì)教材中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，必須加大訓(xùn)練力度。因此教師要適當(dāng)插入一些變式訓(xùn)練，使學(xué)生在突破重難點(diǎn)的思維過程得到頓悟。

如在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”這部分知識(shí)時(shí)，為了講清“三角形內(nèi)角和是180度”的道理，可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法加以證明：(1)度量法：用量角器把三個(gè)角度的數(shù)量出來，然后相加和是180度；(2)剪拼法：把一個(gè)任意三角形紙片的三個(gè)角剪下來，然后拼到一起，剛好拼成一個(gè)平角，所以三角形內(nèi)角和是180度；(3)推算法；將一個(gè)長(zhǎng)方形(或正方形)沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)完全一樣的三角形，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角者90度，內(nèi)角和是360度，所以每個(gè)三角形的內(nèi)角和是360+2=180度。

七、能言善辯——在討論處促其頓悟

當(dāng)學(xué)生解題出現(xiàn)多個(gè)答案時(shí)，教師不要急于斷言對(duì)或錯(cuò)，而要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論、交流，這樣把學(xué)生膚淺、模糊的認(rèn)識(shí)變得清楚深刻。讓學(xué)生在比較中對(duì)各種答案進(jìn)行辨析，對(duì)各種算法進(jìn)行分類、提煉，從而達(dá)到對(duì)這些知識(shí)的深層次的頓悟。

例如：“一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10環(huán)，投中中圈得8環(huán)，投中外圈得6環(huán)，小華投中兩次可能得到多少環(huán)?”學(xué)生的回答出現(xiàn)了兩種答案：第一種是“5種可能”，第二種是“6種可能”。此時(shí)教師不急于評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生討論。認(rèn)為5種可能的學(xué)生在討論時(shí)說，我們是從得分的高低來列出各種可能的，小華投中兩次，最低可得12環(huán)(6+6)，最高可得20環(huán)(10+10)，中間還可得14環(huán)(8+6)、16環(huán)(8+8、10+6)和18環(huán)(10+8)，所以是5種可能。而另一部分學(xué)生說，我們是按照投中的可能性來列舉的：外圈和外圈(6+6)，外圈和中圈(6+8)，外圈和內(nèi)圈(6+lO)，中圈和中圈(8+8)，中圈和內(nèi)圈(8+10)，內(nèi)圈和內(nèi)圈(10+10)，所以是六種可能。經(jīng)過一番辯論，最后錯(cuò)誤的一方找出了問題的癥結(jié)：我們錯(cuò)誤的原因是把得分的幾種可能和命中的幾種可能混淆起來了，而其中命中“中圈和中圈、內(nèi)圈和外圈”的得分?jǐn)?shù)都是16，我們卻把它們作為兩種不同的得分來算，所以產(chǎn)生了錯(cuò)誤。

八、借題發(fā)揮——在延伸處促其頓悟

學(xué)生在解題過程中常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：題目做完了，但思維過程還沒完，教師若能抓住這種機(jī)會(huì)，在延伸處促其思維頓悟，也是很有訓(xùn)練價(jià)值的。

如，有這樣一道題：

0.3×0.3=

0.33×0.33=

0.333×0.333=

0.3333×0.3333=

0.33333×0.33333=

第一個(gè)算式的結(jié)果是0.09，第二個(gè)算式的結(jié)果是0.1089，其他各式自上而下在0(小數(shù)部分)的左邊依次多個(gè)1，而右邊依次多個(gè)8，教學(xué)這道題時(shí)，我首先引導(dǎo)學(xué)生觀察前三道式子相互之間有什么關(guān)系，通過計(jì)算得數(shù)有什么規(guī)律。然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上面的規(guī)律來預(yù)測(cè)下面兩道式子的結(jié)果分別是什么。在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：如果得數(shù)是0.11111108888889，你能推想出算式該是什么嗎?這樣，學(xué)生就能自己歸納出算式：0.3333333×0.3333333。

責(zé)任編輯：曹文