高考創(chuàng)新題型特點(diǎn)分析

肖　驍

2009福建數(shù)學(xué)≤考試說明≥中命題指導(dǎo)思想“實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡,講究命題規(guī)范,適度創(chuàng)新,體現(xiàn)時(shí)代風(fēng)范”?給命題者提供發(fā)揮智慧的空間,給高三的復(fù)習(xí)留下想象的空間?綜觀高考試題中的創(chuàng)新題型,每年都讓人們津津樂道的?創(chuàng)新題型背景新穎?公平,設(shè)問靈活,對(duì)發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維有較高的要求?創(chuàng)新題型有利于頭腦靈活,知識(shí)面廣的學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的發(fā)揮,對(duì)搞題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)生得不到好處,對(duì)推進(jìn)課程改革起到重要的作用?回顧歷年高考,創(chuàng)新性題型有如下特點(diǎn):

1.以生活材料為背景,考查直覺思維能力

這類題目背景新穎,起點(diǎn)底,但立意鮮明,設(shè)問靈活,考查學(xué)生的直覺思維能力?

【例1】.(2007年高考廣東卷?理)右圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖,公司在年初分配給A? B?C?D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件?在使用前發(fā)現(xiàn)需將A?B?C?D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40?45?54?61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行.那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為

A.18 B.17C.16 D.15

分析:從A處調(diào)10件給D處,需要調(diào)動(dòng)件數(shù)10次,從B處調(diào)4件給C處,需要件數(shù)4次?再?gòu)腂處調(diào)1件給D處,需要經(jīng)過A或C處,需要調(diào)動(dòng)件數(shù)2次,合計(jì)最少的調(diào)動(dòng)件次16次,故選C?試題設(shè)計(jì)機(jī)智靈活?

【例2】.(2001年全國(guó)高考12題)如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)?連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量?現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞?則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為 ()

A. 26B. 24C. 20D. 19

分析:本題主要是考查學(xué)生閱讀能力和對(duì)圖形的理解,答案是3+4+6+6+19選D?

【例3】.(1999年全國(guó)高考16題)在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A?B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長(zhǎng),要求A?B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有___________種(用數(shù)字作答)

分析:對(duì)題目的要求進(jìn)行分類,①A?B兩種作物的間隔為6壟有3種?②A?B兩種作物的間隔為7壟有2種?③A?B兩種作物的間隔為8壟有1種,總共為6種?

【例4】.(原創(chuàng)題)把一個(gè)棱長(zhǎng)分別為4?4和3的長(zhǎng)方體,用一個(gè)截面把它切割成兩部分后,將切割得到兩個(gè)幾何體再拼接在一起,能得到()個(gè)不同的直三棱柱(通過翻轉(zhuǎn)能得到底面和高都相同的直三棱柱,屬于相同的直三棱柱)?

A.4B.5C.6D.7

分析:本題主要考查動(dòng)手操作和空間想象能力?切割后組成不同的直三棱柱有:底面直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4,4高為6,底面直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4,3高為8,底面直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4,8高為3?底面直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為4,6高為4?底面直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為42,42高為3?底面為等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為5,5和8高為4?底面為等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為5,5和6高為4?答案:D

2.以圖形變幻為特征,考查極端求解能力

特殊值法,將圖形置于特殊位置和舉反例,都可以體現(xiàn)學(xué)生反常規(guī)思維能力,體現(xiàn)以能力立意,考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)?

【例5】.(2001年全國(guó)高考11題) 一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法:①單向傾斜;②雙向傾斜;③四向傾斜?記三種蓋法屋頂面積分別為P1?P2?P3?

若屋頂斜面與水平面所成的角都是α,則 ()

A . P3>P2>P1B . P3>P2 = P1C . P3 = P2>P1D. P3 = P2 = P1

分析:(特殊位置法)這個(gè)問題只要學(xué)生能夠把圖形至于特殊位置,既斜面與水平面成00,就可以馬上得到答案C,省時(shí)且不容易失誤?

【例7】.(2008年海南高考試卷12題)某幾何體的一條棱長(zhǎng)為7,在該幾何體的正視圖中,這條棱的投影是長(zhǎng)為6的線段,在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段,則a+b的最大值為()

A.22B.23C.4D.25

分析:(特殊圖形法)根據(jù)題意,把幾何圖形設(shè)置為長(zhǎng)方體特殊的圖形,很快可以找到答案?如圖

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為m,n,k,由題意得

m2+n2+k2=7,m2+k2=6n=1

1+k2=a,1+m2=b,所以(a²-1)+(b2-1)=6

=a²+b2=8,∴(a+b)2=a²+2ab+b2=8+2ab≤8+a²+b2=16

=a+b≤4當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)?

【例8】.(原創(chuàng)題)桌面上擺放著一些相同的小正方體木塊,正視圖如圖(a),左側(cè)視圖如圖(b)?那么,桌上至少有這樣的小正方體木塊()塊?

A.12B.15C.18D.21

分析:(極端原理)可以設(shè)置6*6表格(如右),在1和6號(hào)位置,2和5號(hào)位置,3和4號(hào)位置,分別放一個(gè),兩個(gè),三個(gè)正方形方塊?就得到答案是A?

【例9】.(2008福建高考試卷11)雙曲線x²a²-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1?F2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)

分析:(特殊位置法)如圖,設(shè)|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π),把P點(diǎn)θ=π,e=2c2a=m2+(2m)2-4m2cos θm=5-4cosθ

∵-1

3.以尋找規(guī)律為特性,考查合情推理能力

從最簡(jiǎn)單,最原始狀態(tài)下研究數(shù)學(xué)問題,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋找規(guī)律進(jìn)行推理論證,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,本身也是個(gè)再發(fā)現(xiàn)的過程,是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題的過程?這類問題有利于考查學(xué)生觀察?聯(lián)想?猜想和發(fā)現(xiàn)問題的能力?

【例10】.(競(jìng)賽題改編)將一列數(shù) ,2,2,6,22,10…,102 按下面的方法進(jìn)行排列:

按此方法進(jìn)行排列,32的位置可記為(2,4),26的位置可記為(3,2)?那么這列數(shù)中的最大有理數(shù)按次排法的位置可記為?

分析:把每個(gè)書寫為2,4,6,8……,200?就可以看出規(guī)律,最大的有理數(shù)是196,所以答案:(20,3)?

【例11】.(原創(chuàng)題)如圖,以O(shè)(0,0) ?A(23,0)為頂點(diǎn)作正△OAP1,再以P1和P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2,再以P2和P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作正△CBP3,…,如此繼續(xù)下去?

°

(1)分別求出正△OAP1,△P1P2B, 和△BP3C重心的坐標(biāo)?

(2)設(shè)按順序做出的第2009個(gè)三角形的重心坐標(biāo)為(x2009,y2009),求x2009,y2009的表達(dá)式?

分析:從第一個(gè)三角形,第二個(gè)三角形,第三個(gè)三角形尋找規(guī)律,再論證其一般性?

(1)正△OAP1的邊長(zhǎng)為23,則它的高為3?

∴正△OAP1的重心坐標(biāo)為(1,3)?

正△P1P2B的邊長(zhǎng)為3,則它的高為32?由3-32×13=52,3+32=323?

∴正△P1P2B的重心坐標(biāo)為(323,52)?

正△BP3C的邊長(zhǎng)為32,則它的高為34?

由32+34×13=74,3+32+34=743?

∴正△BP3C重心坐標(biāo)為(743,74)?

(2)按順序做出的2009個(gè)三角形,都是相似三角形,后一個(gè)三角形與前一個(gè)三角形的相似比為12?所以:

x2009=3+123+(12)23+…+(12)20083=3[1-(12)2009猐1-12=23[1-(12)2009猐

y2009=3×12+3(12)2 (12)+3(12)4(12)+3(12)6(12)…+3(12)2006(12)+3(12)20008(13)

=3[12+(12)3+(12)5+(12)7+…+(12)2007猐+(12)2008

=3[1-(12)1004猐1-12+(12)2008=6-3(12)1003+(12)2008

第2009個(gè)三角形的重心坐標(biāo)為(23[1-(12)2009猐,6-3(12)1003+(12)2008 )

【例12】.(競(jìng)賽題改編)給定正整數(shù)n,(n≥2)按下述方式構(gòu)成三角形數(shù)表:第一行依次寫上數(shù)1,2,…,n,在每一行的每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的正中間上方寫上這兩個(gè)數(shù)之和,得到上一行(比下一行少一個(gè)數(shù))?依次類推,最后一行(第n行)只有一個(gè)數(shù)?

例如,n=6時(shí)的數(shù)表如下所示?

(1)問這個(gè)n行數(shù)表中的每行數(shù)組成的數(shù)列是否是等差數(shù)列?如果是等差數(shù)列,請(qǐng)寫出各行數(shù)組成數(shù)列的公差,并說明理由;如果不是請(qǐng)舉例說明?

(2)設(shè)這個(gè)n行數(shù)表第i行第j列的數(shù)為a﹊j,求a﹏1的通項(xiàng)公式?

分析:(1)這個(gè)n行數(shù)表中的前n-3行,每行數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列?

設(shè)某一行a2,a2,a3,…,a璵成等差數(shù)列,公差為d,則其上行為a1+a2,a2+a3,…,a﹎-1+a璵也成等差數(shù)列,公差為2d ,故數(shù)表的各行均成等差數(shù)列,公差分別為1,2,4,…,2﹏-3?

(2)a﹏1 =a(n-1)1+a(n-1)2=2a(n-1)1+2(n-2)=(2a(n-2)1+2(n-3)+2﹏-2=22a(n-2)1+2?2(n-2)=……=2(n-1)猘11+(n-1)2﹏-2=(n+1)2﹏-2

4.以給定法則?定義為起點(diǎn),考查應(yīng)用能力

運(yùn)用新概念,新定理和新規(guī)則,進(jìn)行分析?歸納?猜想和論證?可以考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)潛能,可以考查在相同背景下學(xué)生收集信息?處理信息和解決問題的能力?

【例13】(2008年高考陜西卷?理)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息?設(shè)定原信息為a0a1a2,a璱∈{0,1}(i=0,1,2),傳輸信息為h0a0a1a2h1,其中h0= a0⊕a1, h1= h0⊕a2,⊕運(yùn)算規(guī)則為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息為111,則傳輸信息為01111?傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò),則下列接收信息一定有誤的是

A.11010B.01100C.10111D.00011

分析:本題是一道閱讀量大但計(jì)算量小的信息題,考查創(chuàng)新意識(shí)?要仔細(xì)閱讀題目?理解題意,讀懂新規(guī)定“⊕”運(yùn)算規(guī)則?若收到信息10111是無誤,則對(duì)應(yīng)的原信息是011,由約定計(jì)算h0=1, h1=0, 此時(shí)傳輸信息為10110與收到信息10111矛盾 ?選C.

【例14】.設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對(duì)任意a?b∈R,都有a+b?a-b, ab?ab∈P(除數(shù)b≠0),則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集F={a+b2∣a,b∈Q}也是數(shù)域.有下列命題:

①整數(shù)集是數(shù)域;②若有理數(shù)集Q M,則數(shù)集M必為數(shù)域;

③數(shù)域必為無限集;④存在無窮多個(gè)數(shù)域.

其中正確的命題的序號(hào)是.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填上)

分析:①對(duì)除法如12 Z不滿足,所以排除,

②取M={a+b32∣a,b∈Q},對(duì)乘法32□32=34 M, ③④的正確性容易推得?

【例15】.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系,比如“相等關(guān)系”?“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“-”滿足以下三個(gè)條件:

(1)自反性:對(duì)于任意a∈A,都有a-a;

(2)對(duì)稱性:對(duì)于a,b∈A若a-b,則有b-a;

(3)傳遞性:對(duì)于a,b,c∈A若a-b,b-c,則有a-c.

則稱“-”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如:“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系,而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立).請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系:______.

分析:16.答案不唯一,如“圖形的全等”?“圖形的相似”?“非零向量的共線”?“命題的充要條件”等等.

5.以熟悉的知識(shí)載體,考查創(chuàng)新能力

知識(shí)間的融會(huì)貫通,綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決問題?可以考查學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化?分類整合思想?對(duì)能力有較高的要求,對(duì)合理區(qū)分較高能力的考生起到重要的作用?

【例16】.(2008年高考江蘇卷)如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A?B及CD的中點(diǎn)P處,AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界),且與A?B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO?BO?PO,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為ykm.

(Ⅰ)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:

(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示為θ的函數(shù);

(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示為x的函數(shù);

(Ⅱ)請(qǐng)你選用(Ⅰ)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短?

分析:本題以三角函數(shù)的知識(shí)?導(dǎo)數(shù)的知識(shí)為載體,要求用兩種不同的形式進(jìn)行建模,考查考生的應(yīng)用意識(shí).第(Ⅰ)問,(i)延長(zhǎng)PO交AB于Q,則 PQ垂直平分AB,由∠BAO=θ (rad),得OA=10cosθ,故OB=10cos,又OP=10-10tanθ,所以y=20-10sinθcosθ+10(0≤θ≤π4)即為所求.(ii)若OP=x(km),則OA=OB=x²-20x+200,所以y=x+2x²-20x+200(0≤x≤10)即為所求. 第(Ⅱ)問,選擇函數(shù)模型(i),則y′=10(2sinθ-1)coS²θ,令y′=0得sinθ=12

因?yàn)?≤θ≤π4,所以θ=π6易得當(dāng)θ=π6時(shí), y取最小值103+10,此時(shí)O點(diǎn)在AB的中垂線上,且與AB的距離是1033km?

【例17】(2007年高考上海卷?理)

我們把由半橢圓x²a²+y2b2=1(x≥0)與半橢圓y2b2+x²b2=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a²=b2+c2,a>0,b>c>0?

如圖,點(diǎn)F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1,A2和B1,B2分別是“果圓”與x,y軸的交點(diǎn)?

(Ⅰ)若△F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;

(Ⅱ)當(dāng)∣A1A2∣>∣B1B2∣時(shí),求ba的取值范圍;

(Ⅲ)連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦?試研究:是否存在實(shí)數(shù)k,使斜率為k的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,說明理由?

分析:本題以考生熟悉的知識(shí)為載體,通過對(duì)這些知識(shí)的重新整合,構(gòu)造新的知識(shí)情境,較好地考查了考生在新的情境中利用已有知識(shí)解決問題的能力,實(shí)現(xiàn)了對(duì)考生創(chuàng)新意識(shí)的考查.第(Ⅰ)問根據(jù)兩個(gè)半橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距間的數(shù)量關(guān)系,易得所求“果圓”的方程為47x²+y2=1(x≥0),y2+43x²=1(x≤0).第(Ⅱ)問由題意,得a+c>2b,即a²-b2>2b-a?(2b)2>b2+c2=a²,a²-b2>(2b-a)2得ba<45?又由b2>c2= a²-b2,得b2a²>12?所以ba∈(22,45)?第(Ⅲ)問設(shè)“果圓”C的方程為x²a²+y2b2=1(x≥0),y2b2+x²c2=1(x≤0)?記平行弦的斜率為k?當(dāng)k=0時(shí),直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓x²a²+y2b2=1(x≥0)的交點(diǎn)是P(a1-t2b2,t),與半橢圓y2b2+x²c2=1(x≤0)的交點(diǎn)是Q(-c1-t2b2,t)?所以P,Q的中點(diǎn)M(x,y)滿足x=a-c2□1-t2b2y=t消去t得x²(a-c2)2+y2b2=1?又a<2b,可知(a-c2)2-b2=a-c-2b2□a-c+2b2≠0?綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上.當(dāng)k>0時(shí),以k為斜率過B1的直線l與半橢圓x²a²+y2b2=1(x≥0)的交點(diǎn)是(2ka²bk2a²+b2,k2a²b-b3k2a²+b2)?由此,在直線l右下方,以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線y= -b2ka²x即不在某一橢圓上;當(dāng)k<0時(shí),可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上?

數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題是融知識(shí)?方法?思想?能力?素質(zhì)于一體,強(qiáng)調(diào)知識(shí)應(yīng)用的綜合性?交匯性?靈活性和創(chuàng)造性,對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)潛能,發(fā)展性思維和創(chuàng)新型思維,有良好的區(qū)分功能?高三復(fù)習(xí)中認(rèn)真研究創(chuàng)新題型,提高學(xué)生對(duì)創(chuàng)新題型的解題能力,綜合提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),是復(fù)習(xí)迎考的重要的環(huán)節(jié)?

參考文獻(xiàn)

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收稿日期:2009-01-13