培養(yǎng)學(xué)生空間觀念“三部曲”

孔新偉

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總體目標(biāo)指出，學(xué)生應(yīng)通過(guò)“豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。”空間觀念作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在課程標(biāo)準(zhǔn)中被明確地提出，足以說(shuō)明在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生建立空間觀念，是新理念下數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是學(xué)生應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素質(zhì)。

何謂“空間觀念”?

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，空間觀念主要表現(xiàn)為“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀。進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化。”空間觀念的發(fā)展是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，由低到高不斷向前發(fā)展的認(rèn)識(shí)客觀事物的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)怎樣有效地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展呢?具體的途徑和方法有很多。筆者認(rèn)為小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以形象思維為主，逐步向抽象思維過(guò)渡，所以培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的關(guān)鍵點(diǎn)是引領(lǐng)學(xué)生在“形象”與“抽象”之間反復(fù)跳轉(zhuǎn)，讓其在螺旋式跳轉(zhuǎn)中逐步建構(gòu)起對(duì)空間與平面相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)。具體可分三步走：

形象——表象：空間觀念發(fā)展的“經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備”階段

學(xué)生的空間知識(shí)來(lái)自豐富的現(xiàn)實(shí)原型。他們的空間觀念是在生活經(jīng)歷中與客觀環(huán)境不斷接觸時(shí)逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。心理學(xué)研究表明：學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)。要從具體事物的感知出發(fā)，獲得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出幾何形體的特征，以形成正確的概念?？梢?。儲(chǔ)備學(xué)生的現(xiàn)實(shí)原型表象是發(fā)展學(xué)生空間觀念的前提條件。那么，教學(xué)中怎樣創(chuàng)造條件促使學(xué)生由“形象”向“表象”過(guò)渡呢?教師可以讓學(xué)生對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回憶。充分利用學(xué)生的視覺、聽覺、觸覺等多種感覺器官，讓學(xué)生通過(guò)看一看、摸一摸、量一量、比一比、想一想、畫一廁、折一折、擺一擺、剪一剪等實(shí)踐活動(dòng)，促使“實(shí)物表象—模型表象一圖形表象”逐級(jí)提升，從而以豐富的表象作為建立空間觀念的堅(jiān)實(shí)載體。

下面介紹兩種具體做法：

在想象中“哂”出表象。例如，教學(xué)“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中哪些物體的形狀是長(zhǎng)方體的，學(xué)生舉出了粉筆盒、牙膏盒、電冰箱、電視柜，等等。教師引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象：這些長(zhǎng)方體的形狀是怎樣的，它們有什么共同的地方?教師以期通過(guò)這些活動(dòng)建立學(xué)生的實(shí)物表象。在此基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供長(zhǎng)方體模型教具，讓學(xué)生進(jìn)行看一看、摸一摸、數(shù)一數(shù)、拆一拆等操作活動(dòng)，建立起模型表象。然后，再讓學(xué)生閉上眼睛想象：通過(guò)剛才的操作活動(dòng)，你覺得長(zhǎng)方體應(yīng)該是一種怎樣的形狀?最后讓學(xué)生看著模型，將想象的結(jié)果在紙上用簡(jiǎn)單的圖表示出來(lái)(學(xué)生畫得是否標(biāo)準(zhǔn)并不重要，重要的是將自己想象的結(jié)果真實(shí)地呈現(xiàn)出來(lái))，并說(shuō)一說(shuō)在畫的時(shí)候要注意什么。通過(guò)畫形象圖。促進(jìn)學(xué)生的空間想象由“形象”向“表象”躍進(jìn)，最終使學(xué)生形成較為準(zhǔn)確、清晰的圖形表象。

在操作中“擺”出表象。小學(xué)生的表象形成經(jīng)常是從動(dòng)作開始的。動(dòng)手操作很容易激起他們的好奇心和求知欲。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，教師要從具體事物的感知出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)，促使其空間表象的形成。例如，在教學(xué)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”時(shí)，給學(xué)生提供許多小棒，讓他們用小棒擺一些長(zhǎng)方形，學(xué)生擺出了各種各樣的長(zhǎng)方形。然后讓他們用手摸一摸這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，并說(shuō)說(shuō)這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)有什么共同的地方。學(xué)生在擺、摸、說(shuō)的過(guò)程中逐步形成了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的表象：即長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是圍它一周的4根小棒長(zhǎng)度的和，從而為下一步探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法奠定了良好的表象基礎(chǔ)。

表象——抽象：空聞?dòng)^念發(fā)晨的“理性分析”階段

當(dāng)學(xué)生具備了一定的表象經(jīng)驗(yàn)之后，要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生將形成的表象進(jìn)行提煉、概括，即透過(guò)表面的現(xiàn)象找出事物的本質(zhì)特征。因?yàn)閷W(xué)生只有充分認(rèn)識(shí)了空間與圖形的本質(zhì)特征后。才能真正運(yùn)用空間表象進(jìn)行一系列的思考活動(dòng)，解決空間與圖形領(lǐng)域的問(wèn)題，從而形成含有理性成分的空間觀念。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出了空間觀念在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，如“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”“能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”“能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”等等。這些要求都是在學(xué)生具備一定的空間表象基礎(chǔ)上，提出了根據(jù)圖形的本質(zhì)特征在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行分析與操作。

那么，在教學(xué)中怎樣引導(dǎo)學(xué)生對(duì)空間表象進(jìn)行邏輯推理和抽象概括，從而發(fā)現(xiàn)空間與圖形的本質(zhì)特征?可以采取如下一些策略：

觀察——比較。給學(xué)生提供具體材料，讓學(xué)生通過(guò)觀察比較。發(fā)現(xiàn)空間與圖形的規(guī)律性特征。例如，“觀察物體”一課，教師指定不同學(xué)生用數(shù)碼相機(jī)為一個(gè)同學(xué)進(jìn)行不同方位的拍照，并把這些照片展示出來(lái)。讓學(xué)生仔細(xì)觀察這些照片，通過(guò)比較，猜一猜每張照片是攝像師站在哪個(gè)方位拍的。然后指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行本位、換位觀察學(xué)具，讓學(xué)生通過(guò)交流比較后得出：同一件事物，觀察的角度不同，所得的結(jié)果也就各不相同。

操作——盛悟。給學(xué)生提供豐富的動(dòng)手材料，放手讓他們通過(guò)操作去感悟空間與圖形的特征，獲得親身體驗(yàn)。例如，“圓的認(rèn)識(shí)”一課，教師給學(xué)生提供圓形紙片，學(xué)生通過(guò)折紙感悟到：圓的半徑有無(wú)數(shù)條，長(zhǎng)度都相等，直徑也有無(wú)數(shù)條，長(zhǎng)度也都相等，在同一個(gè)圓里。直徑是半徑的2倍，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了圓是軸對(duì)稱圖形，兩次對(duì)折后可以找到圓心等等。所有這些內(nèi)在規(guī)律都可以通過(guò)操作圓形紙片得到證明。

猜想——驗(yàn)證。鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的表象經(jīng)驗(yàn)，對(duì)空間與圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行大膽假設(shè)，引領(lǐng)他們進(jìn)行猜想和驗(yàn)證的探究活動(dòng)。例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積計(jì)算”，教師先讓學(xué)生大膽猜想平行四邊形面積的計(jì)算方法，不少學(xué)生受長(zhǎng)方形的負(fù)遷移影響，認(rèn)為平行四邊形的面積也是“兩邊相乘”。教師“將錯(cuò)就錯(cuò)”，引導(dǎo)學(xué)生展開驗(yàn)證活動(dòng)，出示圖(圖一)，學(xué)生通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)“a*b”是長(zhǎng)方形的面積，它大于平行四邊形的面積，而平行四邊形的面積，要將長(zhǎng)方形外的小直角三角形平移進(jìn)來(lái)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為小長(zhǎng)方形來(lái)推導(dǎo)，從而得出“底×高”的結(jié)論。

試驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)。為學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)“試驗(yàn)”的情境，讓他們通過(guò)親自嘗試、篩選，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。例如，前面舉過(guò)的例子“長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)”，當(dāng)學(xué)生具備了一定的長(zhǎng)方形表象后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形的本質(zhì)特征開展探索：提供長(zhǎng)方形(多于6個(gè))和小棒(多于12根并有接頭)，讓學(xué)生選擇其中所需部分，組裝成一個(gè)長(zhǎng)方體。學(xué)生要根據(jù)已有的表象經(jīng)驗(yàn)，判斷出所需材料的數(shù)量，然后提出假設(shè)，確定試驗(yàn)的范圍，接著逐一進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)篩選，完成長(zhǎng)方形的組裝，在組裝過(guò)程中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體“面、棱、定點(diǎn)”方面的內(nèi)在特征。

抽象——形象：空間觀念發(fā)展的“檢驗(yàn)應(yīng)用”階段

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)抽象概括獲得空間理

性認(rèn)識(shí)后，接下去要將這些抽象概念具體化，一方面是檢驗(yàn)概念的外延范圍·，另一方面是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固和深化空間概念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也進(jìn)一步指出，空間觀念的表現(xiàn)還包括“能運(yùn)用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀進(jìn)行思考”。該階段的“形象”和第一階段中所講的“形象”已有本質(zhì)的區(qū)別：第一階段中的“形象”是指利用學(xué)生頭腦中已有的“直觀經(jīng)驗(yàn)”，它是在概念之前，是零散、瑣碎、模糊的；而此時(shí)的“形象”是學(xué)生已經(jīng)獲得理性認(rèn)識(shí)之后，將理性概念運(yùn)用到具體中去，尋找形象例子，以進(jìn)一步驗(yàn)證概念的正確性和范圍，并解決一些實(shí)際問(wèn)題。

具體可從以下兩方面入手：

回歸生活。學(xué)以致用。例如，學(xué)習(xí)“圖形的認(rèn)識(shí)”，學(xué)生經(jīng)過(guò)猜想、操作驗(yàn)證后獲得了“三角形不容易變形，四邊形容易變形”這一理性認(rèn)識(shí)。為了檢驗(yàn)這個(gè)規(guī)律的普遍性，教師引領(lǐng)學(xué)生展開了一系列的活動(dòng)：首先拿出一把會(huì)搖動(dòng)的椅子讓學(xué)生坐一坐，問(wèn)學(xué)生有什么感覺，學(xué)生說(shuō)椅子壞了，坐不穩(wěn)，教師讓學(xué)生討論怎樣應(yīng)用三角形穩(wěn)定性的特征來(lái)修理這把椅子，并親自動(dòng)手把它修好，然后再次坐一坐，檢驗(yàn)是否能坐穩(wěn)了；教師還帶領(lǐng)學(xué)生到馬路旁、商店內(nèi)觀察，哪些地方用到三角形的穩(wěn)定性?哪些地方運(yùn)用到平行四邊形的不穩(wěn)定性?經(jīng)過(guò)這種實(shí)地的觀察、觸摸，學(xué)生對(duì)這些本質(zhì)特征確信不疑，并深深地體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

檢驗(yàn)外延，融會(huì)貫通。例如，學(xué)習(xí)了“圓的面積計(jì)算”后，有些學(xué)生覺得探索平面圖形面積計(jì)算公式時(shí)，總是把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)已學(xué)過(guò)的圖形，再根據(jù)學(xué)過(guò)的圖形的面積公式來(lái)推導(dǎo)出新圖形的面積公式。教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以前學(xué)的知識(shí)進(jìn)行回顧反思，檢驗(yàn)這種方法是否普遍適用于平面圖形，學(xué)生回憶起平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積公式推導(dǎo)方法，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此，從而悟出了學(xué)習(xí)該類知識(shí)的具體方法。有些學(xué)生還通過(guò)形象思維，對(duì)這些公式之間的相互關(guān)系進(jìn)行了溝通：當(dāng)我們記住了梯形的面積公式，只要想象梯形的上底延長(zhǎng)到與下底相等時(shí)，它的面積S=1/2*2a×h=ah，就是平行四邊形的面積公式；同樣的道理，當(dāng)梯形的上底縮小為O時(shí)，它的面積S=1／2×(a+0)×h=1／2ah，就是三角形的面積公式。

空間觀念是以豐富學(xué)生的空間經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，在活動(dòng)體驗(yàn)的過(guò)程中逐步建立、形成、強(qiáng)化和發(fā)展起來(lái)，它需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。只要我們堅(jiān)持沿著“形象——表象——抽象——形象”的軌跡，不斷地循環(huán)下去，學(xué)生的空間觀念就會(huì)從無(wú)到有、從少到多、從模糊到清晰，學(xué)生的空間想象力也會(huì)由弱到強(qiáng)、由低級(jí)到高級(jí)、由單一到復(fù)雜不斷地提升。