淺論數(shù)學(xué)悖論的積極意義

王新愛(ài)

摘 要： 數(shù)學(xué)悖論是指在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系下由一些“正確”的事實(shí)或“可接受”的約定出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密正確的邏輯推理得到的矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論。它既具有極強(qiáng)的思辨品格，又具有濃厚的幽默色彩，對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用。本文通過(guò)揭示數(shù)學(xué)悖論的認(rèn)識(shí)根源、思維特色，挖掘出數(shù)學(xué)悖論的積極意義，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探索的情趣。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)悖論 認(rèn)識(shí)根源 思維特色 積極意義

數(shù)學(xué)常被視為嚴(yán)格、和諧、精確的學(xué)科，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)發(fā)展從來(lái)不是完全直線式的，它的體系不是永遠(yuǎn)和諧的，而常常出現(xiàn)悖論。悖論（paradox）來(lái)自希臘語(yǔ)“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個(gè)詞的意義比較豐富，是指在某一一定的理論體系的基礎(chǔ)上，根據(jù)合理的推理原則，推出了兩個(gè)互相矛盾的結(jié)論。數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)理論中的發(fā)展是一件嚴(yán)重的事，因?yàn)樗苯訉?dǎo)致了人們對(duì)相應(yīng)理論的懷疑，對(duì)數(shù)學(xué)可靠性的動(dòng)搖，甚至導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機(jī)”。它有三種主要形式：1．一種論斷看起來(lái)好像肯定錯(cuò)了，但實(shí)際上卻是對(duì)的（佯謬）；2．一種論斷看起來(lái)好像肯定是對(duì)的，但實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非的理論）；3．一系列推理看起來(lái)好像無(wú)懈可擊，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。

一、數(shù)學(xué)史中三個(gè)著名的悖論產(chǎn)生、消除及其歷史意義

數(shù)學(xué)史上曾出現(xiàn)過(guò)三次關(guān)于數(shù)學(xué)悖論的提出和化解過(guò)程。一是“希帕索斯悖論”與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的化解。公元前五世紀(jì)，當(dāng)人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)僅限于有理數(shù)范圍時(shí)，古希臘的著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的著名論斷，其數(shù)學(xué)體現(xiàn)就是“一切現(xiàn)象均可表示為整數(shù)或整數(shù)之比”。此后該學(xué)派的成員希帕索斯提出了一個(gè)新問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示?！跋Ｅ了魉广Ｕ摗睂?dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)的誕生，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無(wú)理數(shù)，給出了無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論?！跋Ｅ了魉广Ｕ摗钡南峭ㄟ^(guò)否定產(chǎn)生這一矛盾的前提“宇宙的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”而完成的，它使希臘人從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)向依靠證明，不僅擴(kuò)大了數(shù)域，而且?guī)?lái)了公理化方法數(shù)學(xué)學(xué)科向前發(fā)展。二是“貝克萊悖論”與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的化解。在十七世紀(jì)，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具被牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，許許多多數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題便迎刃而解。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因此，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些學(xué)者的反對(duì)與攻擊，其中最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。這一問(wèn)題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界又引起新的大辯論，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。此后經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、柯西、歐拉、康托爾等數(shù)學(xué)家歷經(jīng)100多年的不懈努力，重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，才結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的基本解決。在“貝克萊悖論”消除的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家不是把“無(wú)窮小量”概念中所蘊(yùn)含的樸素的辯證法因素連同其邏輯上的混亂一起拋掉，而是創(chuàng)立了一種更加自洽、更為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論——極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)使微積分方法趨于完善，令人信服。三是“羅素悖論”與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的化解。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。1908年，策梅羅等建立了第一個(gè)公理化集合論體系——ZF系統(tǒng)，在很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

數(shù)學(xué)史上由于“悖論”而導(dǎo)致的三次危機(jī)與解決過(guò)程中，盡管各種數(shù)學(xué)悖論產(chǎn)生的歷史背景不同，表現(xiàn)形式各異，但它們都是某一數(shù)學(xué)理論原有體系中蘊(yùn)藏著（邏輯）矛盾的反應(yīng)。數(shù)學(xué)家在設(shè)法消除這些已被發(fā)現(xiàn)的矛盾的進(jìn)程中更新了數(shù)學(xué)觀念、完善了思維方法、推動(dòng)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，在更高的層次上實(shí)現(xiàn)了新的和諧統(tǒng)一與完善。因此數(shù)學(xué)悖論是促使數(shù)學(xué)理論不斷追求和諧、不斷趨于完善的一種重要的推動(dòng)力，是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)新的生機(jī)和希望的火種，它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有積極的作用。故而廣大數(shù)學(xué)工作者不應(yīng)害怕、回避數(shù)學(xué)悖論，相反，應(yīng)重視、研究數(shù)學(xué)悖論，充分使它發(fā)揮積極作用，不斷地促使數(shù)學(xué)理論向更高更深的層次發(fā)展和完善。

二、數(shù)學(xué)悖論的思維特色

通過(guò)以上數(shù)學(xué)史中著名的三個(gè)數(shù)學(xué)悖論，以及其它數(shù)學(xué)悖論的研究和學(xué)習(xí)，我們對(duì)數(shù)學(xué)悖論的思維特色有以下三點(diǎn)認(rèn)識(shí)。

首先，悖論是人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)。希帕索斯悖論來(lái)源于對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)；貝克萊悖論是人們對(duì)有限和無(wú)限、存在和非存在兩種對(duì)立概念認(rèn)識(shí)的深化；羅素悖論是人們對(duì)集合集合內(nèi)部矛盾的認(rèn)識(shí)。因此，悖論決不是脫離客觀實(shí)際的憑空想象，也不是客觀事物的規(guī)律性在人腦中簡(jiǎn)單地移植，而是由主客體多次反復(fù)作用，認(rèn)識(shí)達(dá)到高一級(jí)階段主客體作用的結(jié)果。當(dāng)人們?cè)噲D以原有的理論和方法及邏輯去解釋一些新的現(xiàn)象和規(guī)律時(shí)，就產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)和客體之間的沖突，反映到人的主觀思維上，打亂了舊的思維層次，而新的思維不能同原有的知識(shí)合乎邏輯地聯(lián)系起來(lái)，這樣就產(chǎn)生了悖論。

其次，悖論常產(chǎn)生于某一學(xué)科新舊理論的結(jié)合部，反映了人們的思維從兩個(gè)對(duì)立范圍向辯證統(tǒng)一過(guò)渡。這無(wú)疑是思維方法的進(jìn)步和飛躍。人們的思維也從抽象統(tǒng)一向具體統(tǒng)一升華，不再把有限和無(wú)限，存在和非存在看成非此即彼的兩個(gè)對(duì)立概念，而用極限理論完成了有限到無(wú)限的跨越，用無(wú)窮小量完成了存在到非存在的跨越，從而使它們辯證地統(tǒng)一起來(lái)，進(jìn)而上升為辯證的思維方式。

再次，悖論是新穎獨(dú)到、創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，它既沒(méi)有有效的方法和確定的規(guī)則可以直接利用，又沒(méi)有人類以總結(jié)的科學(xué)理論為依據(jù)，顯示了思維的智力品質(zhì)的獨(dú)創(chuàng)性。同時(shí)，我們還看到悖論形成的思維過(guò)程，不是循規(guī)蹈矩、人云亦云，而是獨(dú)立思考，對(duì)舊的思維過(guò)程的批判和自我認(rèn)識(shí)，顯示了思維活動(dòng)的批判性。

三、數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育意義

數(shù)學(xué)悖論不僅存在于一些基礎(chǔ)的重要的數(shù)學(xué)理論中，而且在我們身邊、生活中不短缺。教師如果能夠結(jié)合學(xué)校數(shù)學(xué)課程，把我們?cè)谏钪幸?jiàn)到的數(shù)學(xué)悖論加以合理地處理，它們就可以成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“本原性問(wèn)題”。下面舉兩個(gè)例子予以說(shuō)明。

例1：假設(shè)你正在參加一個(gè)游戲節(jié)目，你被要求在三扇門(mén)中選擇一扇。其中一扇后面有一輛車(chē)，其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一扇門(mén)，假設(shè)是1號(hào)門(mén)，然后知道門(mén)后面有什么的主持人開(kāi)啟了另一扇后面有山羊的門(mén)，假設(shè)是3號(hào)門(mén)。然后他問(wèn)你：“你想選擇2號(hào)門(mén)嗎？”那么，改變你的選擇對(duì)你來(lái)說(shuō)是一種優(yōu)勢(shì)嗎？

這個(gè)問(wèn)題源自美國(guó)電視娛樂(lè)節(jié)目“讓我們做個(gè)交易”（Lets Make a Deal），后來(lái)被冠以節(jié)目主持人的名字“蒙提·霍爾悖論”。莎凡是吉尼斯世界紀(jì)錄中智商最高的人，她對(duì)這一問(wèn)題的解答是應(yīng)該換，因?yàn)閾Q了之后有2／3的概率贏得汽車(chē)，不換的話概率只有1／3。她的這一解答引來(lái)了大量讀者信件，認(rèn)為這個(gè)答案太荒唐了。有人說(shuō)，如果這個(gè)解答代表了美國(guó)人的智力，那美國(guó)就沒(méi)希望了。因?yàn)橹庇X(jué)告訴人們，既然參賽者是從三扇門(mén)中任選一扇，那么選中汽車(chē)的概率就是1／3，換另一扇門(mén)的話概率仍然是1／3。實(shí)際上，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，莎凡是對(duì)的。參賽者做出第一次選擇時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩種可能性：選到了山羊，或是選到了汽車(chē)。因?yàn)橛袃缮乳T(mén)背后都是山羊，所以參賽者選到山羊的概率是2／3；相應(yīng)地，選到汽車(chē)的概率是1／3。此時(shí)，主持人打開(kāi)了一扇背后是山羊的門(mén)，我們假設(shè)參賽者決定更改選擇。那么，假如參賽者一開(kāi)始選的是山羊（2／3的可能性），那么他就會(huì)換到汽車(chē)；假如參賽者一開(kāi)始選的是汽車(chē)（1／3的可能性），他就會(huì)換到山羊。也就是說(shuō)，參賽者更改自己的選擇便會(huì)有2／3的概率獲得汽車(chē)。教師從數(shù)學(xué)概率的視角討論這個(gè)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到概率才是“生活的真正指南”，直覺(jué)固然重要，但并不像看上去那樣可靠。

例2：譬如說(shuō)，有兩個(gè)互不相識(shí)的的人坐同一架飛機(jī)。二人對(duì)話：甲：“這么說(shuō)，你是從波士頓來(lái)的啰！我的老朋友露茜·瓊斯是那兒的律師?！币遥骸斑@個(gè)世界是多么小??！她是我妻子最好的朋友！這是不大可能的巧合嗎？”

統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)證明并非如此。很多人在碰到一位陌生人，尤其是在遠(yuǎn)離家鄉(xiāng)的地方碰到一個(gè)生人，而發(fā)現(xiàn)他與自己有一個(gè)共同的朋友時(shí)，他們都會(huì)感到非常驚訝。在麻省理工學(xué)院，由伊西爾領(lǐng)導(dǎo)的一組社會(huì)科學(xué)家對(duì)這個(gè)“小世界悖論”作了研究。他們發(fā)現(xiàn)，如果在美國(guó)任選兩個(gè)人，平均每個(gè)人認(rèn)識(shí)大約1000個(gè)人。這時(shí)，這兩個(gè)人彼此認(rèn)識(shí)的概率大約是1/100000，而他們有一個(gè)共同的朋友的概率卻急劇升高到1/100。而他們可由一連串熟人居間聯(lián)系（如上面例舉的二人）的概率實(shí)際上高于百分之九十九。換言之，如果布朗和史密斯是在美國(guó)任意選出的兩個(gè)人，上面的結(jié)論就表示：一個(gè)認(rèn)識(shí)布朗的人，幾乎肯定認(rèn)識(shí)一個(gè)史密斯熟識(shí)的人。通過(guò)這個(gè)例子的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到兩個(gè)陌生人在離家很遠(yuǎn)的地方相遇而有著共同的熟人就不足為怪了。這種關(guān)系網(wǎng)絡(luò)還可解釋很多其他不尋常的統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)象，例如流言蜚語(yǔ)和聳人聽(tīng)聞的消息不脛而走，一條可靠的情報(bào)也在料想不到的短時(shí)間里就為很多人知道了。

由此可見(jiàn)，教師研究一些悖論，教一點(diǎn)悖論是很有必要的事。數(shù)學(xué)少不了悖論，數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)沒(méi)有悖論就不是完備的，我們不是去容忍悖論而是去消除悖論，在消除悖論的過(guò)程中提高認(rèn)知水平。數(shù)學(xué)教學(xué)中常常因?yàn)殂Ｕ摰乃伎紡?fù)雜性而棄置不用，筆者相信悖論的使用不僅不會(huì)增加難度，反而會(huì)使問(wèn)題更富趣味性和研究性，更有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；有利于向?qū)W生介紹重要的數(shù)學(xué)思路；有利于開(kāi)發(fā)豐富多彩的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)；有利于幫助學(xué)生洞察數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題過(guò)程；有利于培養(yǎng)學(xué)生辯證的、開(kāi)創(chuàng)性的、批判性的思維方式；有利于提高學(xué)生對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質(zhì)的鑒賞力。從這個(gè)意義上說(shuō)，沒(méi)有悖論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是危險(xiǎn)的，沒(méi)有悖論思想的數(shù)學(xué)教學(xué)是蒼白的。數(shù)學(xué)家同時(shí)也是悖論大師，悖論不是目的，以悖論為手段學(xué)會(huì)創(chuàng)新才是目標(biāo)。

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