一題十九變

張海峰

高三復(fù)習(xí)階段，題目浩如煙海，為了擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，我們可以采取一題多解、一題多變、多題歸一等方法，輕松愉快地復(fù)習(xí)。下面筆者介紹一例一題多變的問題供大家參考。

題 目 如圖1所示，斜面體固定在粗糙水平面上，斜面體的傾角為θ，斜面上放一物塊，重力為G，處于靜止?fàn)顟B(tài)。則下列說法正確的是（）

A． 斜面對(duì)物塊的作用力大小為G，方向豎直向上

B． 斜面對(duì)物塊的作用力大小為Gcosθ，方向垂直于斜面向上

C． 斜面對(duì)物塊的作用力大小為Gsinθ，方向平行于斜面向上

D． 物塊受到的合力為零

解析 物塊受到三個(gè)力的作用，重力、斜面對(duì)物塊的支持力（大小等于Gcosθ）和斜面對(duì)物塊的摩擦力（大小等于Gsinθ）。由于物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以物塊受到的合力為零，支持力和摩擦力的合力與重力是一對(duì)平衡力。AD正確。

一、斜面和物體都靜止

變化一 今再施加豎直向下的力F于物塊，力F過物塊的重心，物體仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖2所示，則（）

A． 斜面對(duì)物塊的彈力增大

B． 物塊所受的合力不變

C． 斜面對(duì)物塊的摩擦力增大

D． 當(dāng)力F增大時(shí)，物塊會(huì)運(yùn)動(dòng)

解析 施加豎直向下的力F于物塊，相當(dāng)于在物塊上增加質(zhì)量，使重力增大，物塊仍然處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以物塊受到的合力仍然為零，B正確，D錯(cuò)誤。把G和F進(jìn)行正交分解，得：彈力FN=（G+F）cosθ，可見A正確。摩擦力f=（G+F）sinθ，所以C正確。

變化二 若施加平行斜面向上的力F，物塊仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖3所示，則斜面作用于物塊的靜摩擦力為（）

A． 方向可能沿斜面向上

B． 方向可能沿斜面向下

C． 大小可能等于零

D． 大小可能等于F

解析 討論F與重力沿斜面向下的分力的關(guān)系，F(xiàn)可能大于、等于或小于重力沿斜面向下的分力，所以ABCD都有可能。

變化三 如圖4所示，物體在水平力F作用下，靜止在斜面上，若少許減小水平力F，而物體仍能保持靜止，試分析斜面對(duì)物體的靜摩擦力、斜面對(duì)物體的支持力、地面對(duì)斜面的靜摩擦力和地面對(duì)斜面的支持力的變化情況。

解析 斜面對(duì)物體的支持力一定減小，斜面對(duì)物體的靜摩擦力可能減小也可能增大。地面對(duì)斜面的靜摩擦力與水平力二力平衡，所以地面對(duì)斜面的靜摩擦力減小，地面對(duì)斜面的支持力不變。

變化四 如圖5所示，在傾角為θ的固定光滑斜面上，質(zhì)量為m的物體受外力F和F的作用，F(xiàn)方向水平向右，F(xiàn)方向豎直向上，若物體靜止在斜面上，則下列關(guān)系正確的是（）

A． Fsinθ+Fcosθ=mgsinθ，F(xiàn)≤mg

B． Fcosθ+Fsinθ=mgsinθ，F(xiàn)≤mg

C． Fsinθ－Fcosθ=mgsinθ，F(xiàn)≤mg

D． Fcosθ－Fsinθ=mgsinθ，F(xiàn)≤mg

解析 物體靜止在斜面上，應(yīng)有F≤mg；對(duì)物體受力進(jìn)行正交分解，可得Fcosθ+Fsinθ=mgsinθ。故B正確。

二、斜面靜止，物體運(yùn)動(dòng)

（一）單個(gè)物體在斜面上的運(yùn)動(dòng)

變化五 若物塊恰好沿斜面勻速下滑，現(xiàn)用一個(gè)力F作用在物塊上，力F過物塊的重心，且方向豎直向下，如圖2所示，則（）

A． 斜面對(duì)物塊的彈力增大

B． 物塊所受的摩擦力增大

C． 物塊將沿斜面加速下滑

D． 物塊仍沿斜面勻速下滑

解析 物塊沿斜面勻速下滑時(shí)，有Gsinθ=μGcosθ，得：μ=tanθ。施加力F后，（G+F）sinθ－μ（G+F）cosθ=ma，所以a=0，物塊仍沿斜面勻速下滑。ABD正確。

變化六 一斜面體靜止在粗糙水平面上，一物體恰能在斜面體上勻速下滑，可以證明此時(shí)斜面不受地面的摩擦力作用。若沿平行于斜面的方向用力F向下推此物體，使物體加速下滑，斜面體仍然和地面保持相對(duì)靜止，如圖6所示，則斜面體受地面的摩擦力（）

A． 大小為零 B． 方向水平向右

C． 方向水平向左 D． 無法判定

解析 雖然物體受力F加速下滑，但是斜面對(duì)物體的摩擦力和支持力都不變，物體對(duì)斜面的摩擦力和支持力也不變，所以斜面受力情況與沒有施加力F前相同，所以地面對(duì)斜面體沒有摩擦力。A正確。

變化七 如圖7所示，質(zhì)量為M的斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)質(zhì)量為m的物體沿斜面體下滑時(shí)，下列說法正確的是（）

A． 勻速下滑時(shí)，M對(duì)地面的壓力等于（M+m）g

B． 加速下滑時(shí)，M對(duì)地面的壓力小于（M+m）g

C． 減速下滑時(shí)，M對(duì)地面的壓力大于（M+m）g

D． M對(duì)地面的壓力始終等于（M+m）g

解析 把物體和斜面體作為一個(gè)整體。由整體法可知，勻速下滑時(shí)，M對(duì)地面的壓力等于（M+m）g。加速下滑時(shí)，系統(tǒng)處于失重狀態(tài)，對(duì)支持物的壓力小于整體的總重力，所以M對(duì)地面的壓力小于（M+m）g。同理，減速下滑時(shí)，系統(tǒng)處于超重狀態(tài)，對(duì)支持物的壓力大于整體的總重力，所以M對(duì)地面的壓力大于（M+m）g。ABC正確。

變化八 如圖4所示，位于光滑固定斜面上的小物體受到一水平向右的推力F的作用。已知物體沿斜面加速下滑?，F(xiàn)保持F的方向不變，使其減小，則加速度（）

A． 一定變小

B． 一定變大

C． 一定不變

D． 可能變小，可能變大，也可能不變

解析 對(duì)小物體受力分析，沿斜面平行方向由牛頓第二定律得Gsinθ－Fcosθ=ma。若F減小，則物體的加速度將變大，所以B正確。

變化九 質(zhì)量為m的物體在粗糙斜面上以加速度a加速下滑，現(xiàn)有一個(gè)恒力F作用在物體上，力F過物體的重心，且方向豎直向下，如圖2所示，則施加恒力F后物體的加速度將（）

A． 增大B． 減小

C． 不變D． 無法判斷怎樣變化

解析 開始時(shí)，mgsinθ－μmgcosθ=ma，因?yàn)閍>0，所以sinθ>μcosθ。施加F后，（mg+F）sinθ－μ（mg+F）cosθ=ma′，得a′=a+（sinθ－μcosθ）。所以a′>a，A正確。

變化十 質(zhì)量為m的物體在粗糙斜面上勻速下滑，現(xiàn)有一恒力F作用在物體上，若所加的力F垂直于斜面向下，如圖8所示，則物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？

解析 由牛頓第二定律得：Gsinθ－μ（Gcosθ+F）=ma，又因?yàn)棣?tanθ，所以－μF=ma，加速度為負(fù)值，物塊先做減速運(yùn)動(dòng)，最后停止。

（2）斜面上的連接體的運(yùn)動(dòng)

變化十一 如圖9所示，一固定斜面上兩個(gè)質(zhì)量相等的小物塊A和B緊挨著勻速下滑，A與B的接觸面光滑，已知A與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是B與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)的2倍，斜面的傾角為θ。B與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是（）

A． tanθB． cotθC． tanθ D． cotθ

解析 設(shè)A和B的質(zhì)量均為m，B與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則A與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為2μ，AB系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，有2mgsinθ－2μmgcosθ－μmgcosθ=0，解得μ=tanθ。A正確。

變化十二 如圖10所示，質(zhì)量分別為m和M的兩物體A和B疊放在傾角為θ的斜面上，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ<μ）。當(dāng)它們從靜止開始沿斜面一起加速下滑時(shí)，兩物體始終保持相對(duì)靜止，則物體A受到的摩擦力大小為（）

A． 0 B． μmgcosθ

C． μmgcosθD． mgsinθ

解析 把A和B作為整體，由于兩物體始終保持相對(duì)靜止，它們應(yīng)具有相同的加速度。（M+m）gsinθ－μ（M+m）gcosθ=（M+m）a，得a=gsinθ－μgcosθ。以A為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：mgsinθ－f=ma，代入整理得f=μmgcosθ。C正確。

變化十三 如圖10所示，物體A放在物體B上，A、B的上、下表面均與斜面平行，當(dāng)兩者以相同的初速度靠慣性沿光滑固定斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說法正確的是（）

A． A受到B的摩擦力沿斜面方向向上

B． A受到B的摩擦力沿斜面方向向下

C． A、B之間的摩擦力為零

D． A、B之間是否存在摩擦力取決于A、B表面的性質(zhì)

解析 由于A、B是在光滑斜面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，可得整體的加速度為gsinθ，這正好是各自沿斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，所以A、B之間的摩擦力為零，否則A、B不會(huì)一起運(yùn)動(dòng)。所以C正確。

變化十四 如圖11所示，斜面的傾角為θ，木塊A的質(zhì)量為m，疊放在木塊B的上表面，木塊B的上表面水平，下表面與斜面間無摩擦力。當(dāng)A與B保持相對(duì)靜止一起沿斜面下滑時(shí)，求A受到B的支持力和摩擦力。

解析 A和B組成一個(gè)簡(jiǎn)單的連接體，具有相同的加速度a=gsinθ，對(duì)A受力分析并分解加速度，則有：a=acosθ=gsinθcosθ，a=asinθ=gsin2θ。由牛頓第二定律得：f=ma=macosθ，mg－F=ma=asinθ=gsin2θ。解得：A受到B的支持力F=mgcos2θ，A受到B的摩擦力f=mgsinθcosθ。

變化十五 如圖12所示，質(zhì)量為m、m的兩個(gè)物體用輕桿相連，置于固定的斜面上，則（）

A． 若斜面光滑，當(dāng)m>m時(shí)，m拉m

B． 若斜面不光滑，當(dāng)m>m時(shí)，m拉m

C． 當(dāng)它們一起下滑時(shí)，一定是m拉m

D． 以上說法都不對(duì)

解析 當(dāng)斜面光滑時(shí)，由整體法得它們的加速度a=gsinθ，再對(duì)m或m進(jìn)行隔離，可得桿中的力為零。同理可以證明如果斜面不光滑，桿中的力也為零。D正確。

變化十六 若將桿換成繩子或彈簧，結(jié)果相同。

變化十七 如圖13所示，在傾角為α的固定光滑斜面上，有一用繩子栓著的長(zhǎng)木板，木板上站著一只貓，已知木板的質(zhì)量是貓質(zhì)量的2倍，當(dāng)繩子突然斷開時(shí)，貓立即沿著木板向上跑，以保持其相對(duì)斜面的位置不變。則此時(shí)木板沿斜面下滑的加速度為（）

A． sinαB． gsinαC． sinαD． 2gsinα

解析 設(shè)貓的質(zhì)量為m，則木板的質(zhì)量為2m，以貓為研究對(duì)象：f=mgsinθ；以木板為研究對(duì)象：f′+2mgsinθ=2ma，f′=f，所以a=sinθ。

三、斜面和物體都運(yùn)動(dòng)

變化十八 一有固定斜面的小車在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球通過細(xì)繩與車頂相連。小球某時(shí)刻正處于如圖14所示狀態(tài)。設(shè)斜面對(duì)小球的支持力為N，細(xì)繩對(duì)小球的拉力為T，關(guān)于此時(shí)刻小球的受力情況，下列說法正確的是（）

A． 若小車向左運(yùn)動(dòng)，N可能為零

B． 若小車向左運(yùn)動(dòng)，T可能為零

C． 若小車向右運(yùn)動(dòng)，N不可能為零

D． 若小車向右運(yùn)動(dòng)，T不可能為零

解析 當(dāng)加速度向左時(shí)，拉力T可能為零，當(dāng)加速度向右時(shí)支持力N可能為零，兩種可能均與小車運(yùn)動(dòng)方向無關(guān)。AB正確。

變化十九 如圖15所示，一物體放置在傾角為θ的斜面上，斜面固定于加速上升的電梯中，加速度為a，在物體始終相對(duì)于斜面靜止的條件下，下列說法中正確的是（）

A． 當(dāng)θ一定時(shí)，a越大，斜面對(duì)物體的正壓力越小

B． 當(dāng)θ一定時(shí)，a越大，斜面對(duì)物體的摩擦力越大

C． 當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，斜面對(duì)物體的正壓力越小

D． 當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，斜面對(duì)物體的摩擦力越小

解析 對(duì)物體進(jìn)行受力分析，可知物體受到重力mg、支持力F、摩擦力f，由于物體的加速度豎直向上，所以支持力F和摩擦力f的合力豎直向上，與重力方向相反，根據(jù)牛頓第二定律得：－mg=ma，－mg=ma。故當(dāng)θ一定時(shí)，a越大，斜面對(duì)物體的正壓力越大，斜面對(duì)物體的摩擦力越大。當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，斜面對(duì)物體的正壓力越小，斜面對(duì)物體的摩擦力越大。BC正確。