淺談高中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)之重要性

莫開祿

摘要:思維是一種反應(yīng)。數(shù)學(xué)思維力求近似到一種非條件反射。高中數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn),摒棄了單調(diào)的記憶和機(jī)械的計(jì)算,更多的是一此理性化的東西,故只有丟棄固有的框架,讓學(xué)生思維不受到束縛,他們才能在知識(shí)的黑洞里暢游。

關(guān)鍵詞:思維訓(xùn)練挖掘培養(yǎng)

曾有這樣一個(gè)故事:一個(gè)商人在翻越一座山時(shí),遭遇了一個(gè)攔路搶劫的山匪。商人走投無路,便鉆進(jìn)了一個(gè)山洞,山匪也進(jìn)了山洞里。在洞的深處,商人未能逃過山匪的追逐------黑暗中他被山匪逮住了,身上所有的錢財(cái),包括一把準(zhǔn)備夜間照明用的火把,都被山匪擄去了。之后,兩人各自尋找著洞的出口。這山洞縱橫交錯(cuò),兩人置身洞里,像置身于一個(gè)地下迷宮。山匪慶幸自己從商人那里搶來了火把,他把火把點(diǎn)著,借著火把的光亮在洞中行走。他能看清腳下石塊,能看清周圍的石壁。但走來走去,就是走不出這個(gè)洞。最終,他力竭而死。商人失去了火把,他在黑暗中摸索行走得十分艱辛,他不時(shí)碰壁,不時(shí)被石塊絆倒,跌得鼻青臉腫。但是,正是因?yàn)樗蒙碛谝黄诎抵?所以他的眼睛能夠敏銳地感受到洞口透來的微光,他迎著這縷微光摸索爬行,終于逃離了山洞。由此想到我們的高中數(shù)學(xué)教學(xué),教師給予學(xué)生以“火把”把知識(shí)正確地,全面地,甚至高密度地傳授給學(xué)生,僅僅如此,他們是否能夠走出“山洞”。有專家如是說“當(dāng)一個(gè)人把所學(xué)的知識(shí)都忘了以后,還保留下來的正是教師要教給學(xué)生的?！北Ａ粝聛淼氖鞘裁茨?就是能力,是思維素質(zhì)。知識(shí)會(huì)隨時(shí)間的推移而遺忘,而科學(xué)的思維能力和分析解決問題的能力卻會(huì)長久地保留下來。

下面就自已在教學(xué)中的體會(huì),以高中數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程為例,進(jìn)行一些探討:

一、已有知識(shí),包括定義,定理,公式的正確處理

教學(xué)中重視知識(shí)的形成過程,使學(xué)生在掌握思維實(shí)踐中既獲得了知識(shí),又得到思維訓(xùn)練。學(xué)生往往認(rèn)為定義,定理,公式等只要記住就行了,對(duì)定理的證明,公式的推導(dǎo)很少能給以足夠的重視;教師也往往只重視讓學(xué)生把定義,定理,公式正確地、全面地接受下來,而不去探討它們的由來和實(shí)質(zhì),課堂上認(rèn)真地、嚴(yán)格地對(duì)每一個(gè)定理加以證明,對(duì)每一個(gè)公式給以推導(dǎo),忽略證明和推導(dǎo)的原因。這樣學(xué)生只會(huì)機(jī)械的記公式,套定理,而會(huì)忽視運(yùn)用的前提條件。例如,求數(shù)列{1,x、x2……} 的前n項(xiàng)和,學(xué)生會(huì)毫不猶豫地應(yīng)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式 ,得出結(jié)果 。其一,忽視該公式應(yīng)用的條件 ,而在本題中公比q有可能為1,此時(shí),得到一常數(shù)列,其二,忽視等比數(shù)列的條件:等比數(shù)列中,其公比和數(shù)列中的項(xiàng)不可能為0,而本題中x可以為0,得數(shù)列{1,0,0,……},其前n項(xiàng)和為1。加深理解“等比數(shù)列(公比)的前項(xiàng)和公式 ”后,面臨這類問題不會(huì)顧此失彼了。還有數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的關(guān)系:{n=1,很多學(xué)生也只是勉強(qiáng)記憶,其實(shí)只要理解記憶了就很明了清晰了。

1.精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué),用連系的方法教學(xué),同時(shí),訓(xùn)練學(xué)生的思維

我們說一個(gè)稍微用功的學(xué)生,在課堂上聽懂教師講的課并不難,仿照例題解幾道題也完全可以,但是要用學(xué)過的知識(shí)去解決一個(gè)新的問題就不是輕而易舉的了。故必須放棄“前提--結(jié)論”式的教學(xué),而用以思維為主流,以鏈結(jié)式的學(xué)生的思路展開。如數(shù)列概念一節(jié)的教學(xué),概念較多。如不注重思維引導(dǎo),只顧孤立地呈現(xiàn),學(xué)生是必會(huì)像猴子下山,摘了西瓜,丟了芝麻,也可能會(huì)有似像非像之感,我在教學(xué)中按下面的方式進(jìn)行,比較適當(dāng)。先由集合的概念→ 引入數(shù)列概念→ 列舉出課本中的幾個(gè)數(shù)列→ 對(duì)比集合的特點(diǎn)→ 結(jié)合實(shí)例歸納出數(shù)列的特點(diǎn)→對(duì)比集合中的元素→ 引出數(shù)列中的項(xiàng)→ 由此得出其序號(hào)→ 由序號(hào)與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)→ 聯(lián)想到映射→ 一一映射,函數(shù)→ 數(shù)列與其序號(hào)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)→ 聯(lián)想到函數(shù)的定義域→ 它的定義域是正整數(shù)集或它的一個(gè)子集→ 有限數(shù)列,無限數(shù)列,即數(shù)列的分類;函數(shù)→ 函數(shù)的圖象→ 由定義域的特性,得出是一群孤立的點(diǎn);函數(shù)→ 函數(shù)解析式→ 通項(xiàng)公式概念→ 分析出一個(gè)簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式→ 由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的前幾項(xiàng)→ 看事實(shí),悟規(guī)律→ 由前幾項(xiàng)寫出一個(gè)通項(xiàng)公式,(有的可寫出不只一個(gè)通項(xiàng)公式,有的卻寫不出通項(xiàng)公式)整個(gè)過程都是聯(lián)系對(duì)比所學(xué)知識(shí),很自然引出新的問題,既突出了重點(diǎn),又化解了難點(diǎn),并且把所有知識(shí)一串而成。真可謂一氣呵成。

2.數(shù)學(xué)的綜合運(yùn)用上,應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維去挖掘,而不是強(qiáng)加給學(xué)生以解題模式,框架,束縛學(xué)生的思維,讓他們自己去感受,去體會(huì),去領(lǐng)悟,例題的講解追求的不是解題過程寫得多么詳細(xì),而是解題的思維過程,這樣學(xué)生才不會(huì)單純摹仿,不會(huì)缺乏獨(dú)立分析問題的能力,遇到新問題不會(huì)覺得束手無策。例設(shè){a,a+b,a+2b……}的前n項(xiàng)和sn(n=1,2,……),a ,b是常數(shù),且b<0 。

(1)證明{ a,a+b,+a+2b……}是等到差數(shù)列;

(2)證明以(n,a+bn)為坐標(biāo)的點(diǎn) 都落在同一條直線上,并寫出此直線的方程。

分析并推導(dǎo):要證明數(shù)列{ a,a+b,+a+2b……}是一等差數(shù)列,就是要得出 常數(shù),此時(shí)顯然要求出 的通項(xiàng)公式,而通項(xiàng)公式可由數(shù)列得,

故 an=a+nb

此時(shí)猛然發(fā)現(xiàn)這里n只能取自然數(shù),這樣得到的通項(xiàng)中是從第二項(xiàng)開始后各項(xiàng),那么首項(xiàng)到哪里去找呢?噢,原來在用 數(shù)列{ a,a+b,+a+2b……}時(shí)就忽略了條件 2,而由數(shù)列得本身就還包含著 這樣一個(gè)“始祖”。所以學(xué)生自然補(bǔ)充這一點(diǎn),并驗(yàn)證 符合,最后由前述分析,得證。整個(gè)過程做到讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題,自己去尋找答案。針對(duì)第二個(gè)問題,學(xué)生開始也是感到非常棘手的。首先是從知識(shí)結(jié)構(gòu)上,一下子就從數(shù)列跳到畏難的平面解析幾何;第二要證明的點(diǎn)不是一個(gè),二個(gè)或多個(gè)具體的點(diǎn)在一條直線上,而是無數(shù)個(gè)抽象的點(diǎn)。顯而易見,不可能一個(gè),一個(gè)去求,只有尋找某個(gè)規(guī)律性的東西才行?；氐骄唧w的坐標(biāo)點(diǎn),細(xì)思量,發(fā)現(xiàn)至少可以確定第一個(gè)點(diǎn)1,(a+b),其他的點(diǎn)呢確實(shí)不好找了,這時(shí),可先放一放,回到如何證明點(diǎn)共線的問題,是要得出每兩點(diǎn)所確定直線的斜率相等。如此,我們要求多少個(gè)斜率,用組合數(shù)來求要有個(gè)。似乎走到了一個(gè)死胡同,規(guī)律是什么?不就是很多歸結(jié)為一個(gè)嗎?這里的無數(shù)個(gè)點(diǎn)能否用一個(gè)點(diǎn)表示呢。這不就是通項(xiàng)公式(n,a+nb)嗎?對(duì)呀!然后它(們)與第一個(gè)點(diǎn)所確定直線的斜率是一個(gè)固定的,即為一常數(shù)。問題終于豁然開朗。峰回路轉(zhuǎn),有學(xué)生發(fā)問,這里用到求斜率,那它是否有斜率呢?題目中并沒有指明。對(duì),那什么情況下沒有斜率呢?當(dāng)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同時(shí),所確定的直線不存在斜率。這里的橫坐標(biāo) 會(huì)相等嗎?即數(shù)列是常數(shù)列嗎?前面 ,由條件 知數(shù)列不是常數(shù)列。由此盡管題目所涉及的內(nèi)容不少,分支及要注重的環(huán)節(jié)較多,但只要能做到用"理"去服題,總是可以跨越的。

三、注重學(xué)生形象思維的能力的培養(yǎng)。

思維能力不僅指抽象的邏輯思維,也包括著蘊(yùn)含"輕捷靈活"的形象思維,即常說的數(shù)形結(jié)合思想,上面第四點(diǎn)的實(shí)例已把它演繹得淋漓盡致。再例對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,是關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),對(duì)應(yīng)的圖象是一過原點(diǎn)的拋物線,

故由其特性,若 ,可知:

(1),取最大值(或最小值)(若為m+n奇數(shù),取接近的相鄰的整數(shù));

(2),為0。

總之,加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生思維 ,鼓勵(lì)創(chuàng)新。意義是深遠(yuǎn)的。

作者單位:廣東省佛山市南海執(zhí)信中學(xué)