論數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

王 繼 鐘 瑜

摘要:數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用極為廣泛,本文首先闡述了數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用需要解決幾個(gè)問(wèn)題,其次,分析了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的建立步驟和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的作用,同時(shí),就數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用的實(shí)例進(jìn)行深入的探討。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用

1.前言

目前,數(shù)學(xué)模型也廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中,經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)表達(dá)。簡(jiǎn)稱經(jīng)濟(jì)模型。本文就數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

2.數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用需要解決幾個(gè)問(wèn)題

(1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析、歸納,做出一些必要且合理的假設(shè)條件,將實(shí)際問(wèn)題中的一些指標(biāo)進(jìn)行量化;

(2)給出描述問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法;

(3)利用數(shù)學(xué)理論和方法或計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析, 得出結(jié)論;

(4)利用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題驗(yàn)證結(jié)論的合理性,并作修正。

3. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的建立

3.1理論和資料的準(zhǔn)備

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的質(zhì)量首先取決于對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的理論研究狀況。合理的理論假設(shè)是模型賴以建立的前提。資料是否充分、可靠和準(zhǔn)確,也直接影響經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的質(zhì)量與功能。

3.2建立模型。任何數(shù)學(xué)形式主要由方程式、變量和參數(shù)三個(gè)基本要素組成。簡(jiǎn)化是用模型來(lái)反映現(xiàn)實(shí)的特點(diǎn),這是一種科學(xué)的抽象。但簡(jiǎn)化是有限度的,這取決于研究對(duì)象所允許的誤差范圍和數(shù)學(xué)方法所需要的前提條件。一個(gè)模型抽象或現(xiàn)實(shí)到什么程度,取決于分析的需要、分析人員的能力,以及取得資料的可能性。

3.3求解或模擬試驗(yàn)。以適用的軟件(計(jì)算程序)在具有一定功能的電子計(jì)算機(jī)上可以進(jìn)行各種模擬試驗(yàn),比較和選擇不同的方案。

3.4分析說(shuō)明和實(shí)際應(yīng)用。在分析和應(yīng)用模型時(shí),把模型計(jì)算所得出的結(jié)論與模型外獲得的信息相結(jié)合,作出必要的判斷。評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是吻合度(它同被反映的經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的符合程度)與實(shí)用度(進(jìn)行理論分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、政策評(píng)價(jià)等應(yīng)用效果)的統(tǒng)一,兩者不可偏廢。隨著客觀經(jīng)濟(jì)情況的變化,模型需要不斷修改和更新。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)方法的具體運(yùn)用,它的著眼點(diǎn)并不在于反映單個(gè)的經(jīng)濟(jì)量,而在于說(shuō)明各個(gè)經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系及其共同作用。一個(gè)模型就是一個(gè)系統(tǒng)。復(fù)雜的國(guó)民經(jīng)濟(jì)往往不是少數(shù)幾個(gè)模型所能反映的,所以需要建立比較完整的模型體系。

4. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的作用

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)理論研究、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析和經(jīng)濟(jì)決策過(guò)程中都具有重要的作用。

經(jīng)濟(jì)理論研究需要經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。經(jīng)濟(jì)學(xué)從它產(chǎn)生的時(shí)候起,就在某種程度下運(yùn)用著數(shù)學(xué)模型.這是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)事物同其他任何事物一樣,有質(zhì)量和數(shù)量?jī)蓚€(gè)方面。質(zhì)量研究(或定性研究)是數(shù)量研究(或定量研究)的前提和基礎(chǔ)。但是純粹的質(zhì)量研究往往會(huì)成為從概念到概念的抽象推理,妨礙對(duì)經(jīng)濟(jì)本質(zhì)的深入了解。要在經(jīng)濟(jì)理論研究中充分注意量的研究,就必須借助數(shù)學(xué)模型這個(gè)有力工具。

5. 數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用的實(shí)例

5.1 問(wèn)題的提出。設(shè)市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2,…,n)可供投資者選擇,某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估,估計(jì)出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買資產(chǎn)Si的平均收益率為ri,且預(yù)測(cè)出購(gòu)買資產(chǎn)Si的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi。考慮到投資越分散,總的風(fēng)險(xiǎn)越小。公司決定在運(yùn)用這批資金購(gòu)買若干資產(chǎn)時(shí),總體風(fēng)險(xiǎn)用在資產(chǎn)Si中所投資產(chǎn)的最大風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買資產(chǎn)Si的需要支付交易費(fèi),其費(fèi)率為pi,并且當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)ui時(shí),交易費(fèi)按購(gòu)買額ui計(jì)算。設(shè)同期銀行存款利率是r0=5%,且存取款時(shí)既無(wú)交易費(fèi)也無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。

5.2 對(duì)問(wèn)題的定位。最優(yōu)化問(wèn)題需要確定購(gòu)買資產(chǎn)Si的具體投資額 xi,即建立投資組合,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo):(1) 凈收益最大化;(2) 整體風(fēng)險(xiǎn)最小化;

5.3建模準(zhǔn)備。用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表述決策變量,構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。

(1)決策變量。資產(chǎn)Si ( i =0,1,…,n)的投入量xi ,i =0,1,…,n,其中S0 表示將資產(chǎn)存入銀行。

(2)投資收益。購(gòu)買資產(chǎn)Si (i=0,1,2,…n)的收益率為 ri,因此投資 xi 的收益率為 rixi ,除去交易費(fèi)用ci(xi),則投資 xi 的凈收益為Ri=rixi - ci(xi)。從而,總投資的總收益為 R(x)=SRi(xi)。

(3)投資風(fēng)險(xiǎn)。購(gòu)買資產(chǎn)Si(i=0,1,2,…n)的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi ,因此投資xi 的收益率為qi xi,其總體風(fēng)險(xiǎn)用Si的風(fēng)險(xiǎn),即Qi(xi)= qi xi中最大的一個(gè)來(lái)度量。

從而總投資的風(fēng)險(xiǎn)損失為Q (x)= max{Qi(xi)}。

5.4單目標(biāo)優(yōu)化模型。模型1給定風(fēng)險(xiǎn)水平,求最大化收益。

5.5 簡(jiǎn)化交易費(fèi)用下的模型

(1)交易費(fèi)用函數(shù)為

(2)由于固定費(fèi)用pi ui 的存在在,使得模型是非線性模型,難于求解模型。

當(dāng)M 很大而 ui 相對(duì)較小時(shí),可略去 pi ui 的作用,即ci(xi)=pixi,則資金約束條件變?yōu)?

在實(shí)際計(jì)算中,常假設(shè)M=1,則

表示投資于Si 的資金比例。

6.結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用極為廣泛,具有重要的作用,值得探討。

參考文獻(xiàn):

[1]宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法與模型, 劉起運(yùn) 主編,高等教育出版社.

[2]經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型, 洪毅 等 編著,華南理工大學(xué)出版社.

[5]經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)構(gòu)--數(shù)量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著,清華大學(xué)出版社.