高等數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式的探討

胡永生

摘要:本文在舉例分析了在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的模式進(jìn)行教學(xué)的優(yōu)勢(shì),并以利用多項(xiàng)式函數(shù)近似表示正弦函數(shù)為例,探討了如何在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用動(dòng)畫的形式進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法,著重介紹了通過利用動(dòng)畫的形式自動(dòng)生成函數(shù)f(x)及其冪級(jí)數(shù)展開式的前n項(xiàng)和函數(shù)Sn(x)的圖形并進(jìn)行比較的方法,使學(xué)生能夠輕松有趣地理解函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的意義及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)優(yōu)勢(shì)

高校中的高等數(shù)學(xué)課程課時(shí)偏少,而教學(xué)的內(nèi)容又多,這是目前普遍存在的問題,有的學(xué)校或教師采用的方法是難的內(nèi)容盡量避開不講,較難的內(nèi)容盡量將問題簡(jiǎn)單化,這種不嚴(yán)謹(jǐn)不系統(tǒng)的教學(xué)過程無法使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓,難以欣賞到數(shù)學(xué)中的美,使得學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏系統(tǒng)性,接受到的數(shù)學(xué)知識(shí)也是零散的,讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是一大堆枯燥無味的定義、定理放在一起,無法使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣。我們認(rèn)為教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中要盡可能利用先進(jìn)的教學(xué)手段,巧妙地利用數(shù)與形的結(jié)合,做到全方位地讓學(xué)生來感受數(shù)學(xué)帶來的美與快樂,能夠輕松有趣地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次的思考,只有這樣才能夠取得良好的教學(xué)效果。

一、數(shù)形結(jié)合有助于對(duì)概念的理解

高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是用抽象的數(shù)學(xué)語言給予形式化的精確描述,由于這種描述高度抽象,初學(xué)者很難理解它的含意,往往是不加理解的死記硬背。教學(xué)中若從概念的幾何背景人手,借助直觀的幾何圖形引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察、分析,由具體逐步過渡到抽象,將有助于學(xué)生理解抽象的概念。例如,在講解導(dǎo)數(shù)概念時(shí),從介紹曲線的切線斜率人手,再通過介紹變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的求法,最后歸納總結(jié)出:雖然曲線切線的斜率和變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是兩個(gè)截然不同的概念,但是通過分析都?xì)w結(jié)為同一形式的極限,于是拋開它們的幾何或物理意義,找出它們的本質(zhì)特征,將這種形式的極限抽象概括為導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)不僅可以求曲線的切線斜率和變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,而且可以解決許多實(shí)際問題,如求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度、求非恒定電流問題中的電流強(qiáng)度、求比熱等等,應(yīng)用相當(dāng)廣泛。再如極限、連續(xù)、微分、定積分、二重積分等概念的引出,都應(yīng)從幾何背景人手。利用數(shù)形結(jié)合思想引出概念,不僅使學(xué)生看到概念的來龍去脈,加深了對(duì)概念的理解,而且能夠在傳授知識(shí)的同時(shí)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生學(xué)會(huì)抽象與概括的科學(xué)思維方法,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合有助于對(duì)定理的理解

高等數(shù)學(xué)中的有些重要定理比較抽象,理解起來也比較困難,但是如果利用數(shù)形結(jié)合思想,恰當(dāng)?shù)囊龆ɡ砘驅(qū)Χɡ碜鞒鲋庇^的幾何解釋,學(xué)生掌握起來就容易多了。例如,對(duì)于微分中值定理的教學(xué),微分中值定理通常包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。這些定理是微分學(xué)理論的重要部分,也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的“橋梁”,因而是微分學(xué)的重點(diǎn)之一。由于定理集中,論證的分量較重,學(xué)生學(xué)習(xí)往往感到困難。利用數(shù)形結(jié)合思想,恰當(dāng)引出定理,進(jìn)而揭示各定理之間的聯(lián)系,有助于消除教學(xué)中這一難點(diǎn)。

三、數(shù)形結(jié)合有助于尋求解題途徑

有些數(shù)學(xué)問題,僅局限于數(shù)或形方面的考慮,雖然能解決,但過于繁瑣,甚至很困難,若根據(jù)問題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)式的含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙而和諧的結(jié)合起來,并充分利用這種結(jié)合,尋求解題途徑,使問題得以簡(jiǎn)捷的解決。

例設(shè),求的最小值。

分析:如果此題用二元函數(shù)求極值的方法計(jì)算十分繁難。注意到這是一個(gè)平方和的形式,從而聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式,設(shè)p(u,),Q(v,9/v),則w=,問題化歸為求P、Q的距離的最小值。因?yàn)閡2+()2=2,9v/v=9所以P、Q分別是半圓x2+y2=2(y≥0)和雙曲線一支xy=9(x≥0)的點(diǎn),即求半圓x2+y2=2(y≥0)上的點(diǎn)與雙曲線xy=9(x≥0)上的點(diǎn)的最短距離,由圓與雙曲線的性質(zhì)可知,這個(gè)最短距離是:

故Wmin=8。

本題充分地利用了代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結(jié)合,使解法簡(jiǎn)捷、明快,具有創(chuàng)新性。

四、數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式的應(yīng)用舉例

通過圖形來展示函數(shù)中量與量之間的關(guān)系仍然是較好的教學(xué)形式,隨著科技的進(jìn)步與發(fā)展,數(shù)學(xué)中的圖形由靜止的發(fā)展成了變化的、由平面的發(fā)展成了立體的;一個(gè)非常好的動(dòng)態(tài)畫面再加上五彩繽紛顏色,不光給學(xué)生美的感受,還讓學(xué)生輕松愉快地學(xué)到很多較難理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)生對(duì)于泰勒(Taylor)中值定理和函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)往往難以理解。在傳統(tǒng)的教學(xué)手段中,我們很難結(jié)合函數(shù)的圖形讓學(xué)生能夠更加直觀地理解泰勒公式和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,因此教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)是很費(fèi)勁的,學(xué)生學(xué)習(xí)起來也很吃力。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)常常對(duì)以下的問題感到困惑: