高等數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式的探討

胡永生

摘要:本文在舉例分析了在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中運用數(shù)形結(jié)合的模式進(jìn)行教學(xué)的優(yōu)勢,并以利用多項式函數(shù)近似表示正弦函數(shù)為例,探討了如何在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用動畫的形式進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法,著重介紹了通過利用動畫的形式自動生成函數(shù)f(x)及其冪級數(shù)展開式的前n項和函數(shù)Sn(x)的圖形并進(jìn)行比較的方法,使學(xué)生能夠輕松有趣地理解函數(shù)展開為冪級數(shù)的意義及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)優(yōu)勢

高校中的高等數(shù)學(xué)課程課時偏少,而教學(xué)的內(nèi)容又多,這是目前普遍存在的問題,有的學(xué)校或教師采用的方法是難的內(nèi)容盡量避開不講,較難的內(nèi)容盡量將問題簡單化,這種不嚴(yán)謹(jǐn)不系統(tǒng)的教學(xué)過程無法使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓,難以欣賞到數(shù)學(xué)中的美,使得學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏系統(tǒng)性,接受到的數(shù)學(xué)知識也是零散的,讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是一大堆枯燥無味的定義、定理放在一起,無法使學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣。我們認(rèn)為教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中要盡可能利用先進(jìn)的教學(xué)手段,巧妙地利用數(shù)與形的結(jié)合,做到全方位地讓學(xué)生來感受數(shù)學(xué)帶來的美與快樂,能夠輕松有趣地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次的思考,只有這樣才能夠取得良好的教學(xué)效果。

一、數(shù)形結(jié)合有助于對概念的理解

高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是用抽象的數(shù)學(xué)語言給予形式化的精確描述,由于這種描述高度抽象,初學(xué)者很難理解它的含意,往往是不加理解的死記硬背。教學(xué)中若從概念的幾何背景人手,借助直觀的幾何圖形引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察、分析,由具體逐步過渡到抽象,將有助于學(xué)生理解抽象的概念。例如,在講解導(dǎo)數(shù)概念時,從介紹曲線的切線斜率人手,再通過介紹變速直線運動的瞬時速度的求法,最后歸納總結(jié)出:雖然曲線切線的斜率和變速直線運動的瞬時速度是兩個截然不同的概念,但是通過分析都?xì)w結(jié)為同一形式的極限,于是拋開它們的幾何或物理意義,找出它們的本質(zhì)特征,將這種形式的極限抽象概括為導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)不僅可以求曲線的切線斜率和變速直線運動的瞬時速度,而且可以解決許多實際問題,如求變速直線運動的瞬時加速度、求非恒定電流問題中的電流強(qiáng)度、求比熱等等,應(yīng)用相當(dāng)廣泛。再如極限、連續(xù)、微分、定積分、二重積分等概念的引出,都應(yīng)從幾何背景人手。利用數(shù)形結(jié)合思想引出概念,不僅使學(xué)生看到概念的來龍去脈,加深了對概念的理解,而且能夠在傳授知識的同時影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生學(xué)會抽象與概括的科學(xué)思維方法,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合有助于對定理的理解

高等數(shù)學(xué)中的有些重要定理比較抽象,理解起來也比較困難,但是如果利用數(shù)形結(jié)合思想,恰當(dāng)?shù)囊龆ɡ砘驅(qū)Χɡ碜鞒鲋庇^的幾何解釋,學(xué)生掌握起來就容易多了。例如,對于微分中值定理的教學(xué),微分中值定理通常包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。這些定理是微分學(xué)理論的重要部分,也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的“橋梁”,因而是微分學(xué)的重點之一。由于定理集中,論證的分量較重,學(xué)生學(xué)習(xí)往往感到困難。利用數(shù)形結(jié)合思想,恰當(dāng)引出定理,進(jìn)而揭示各定理之間的聯(lián)系,有助于消除教學(xué)中這一難點。

三、數(shù)形結(jié)合有助于尋求解題途徑

有些數(shù)學(xué)問題,僅局限于數(shù)或形方面的考慮,雖然能解決,但過于繁瑣,甚至很困難,若根據(jù)問題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)式的含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙而和諧的結(jié)合起來,并充分利用這種結(jié)合,尋求解題途徑,使問題得以簡捷的解決。

例設(shè),求的最小值。

分析:如果此題用二元函數(shù)求極值的方法計算十分繁難。注意到這是一個平方和的形式,從而聯(lián)想到兩點間的距離公式,設(shè)p(u,),Q(v,9/v),則w=,問題化歸為求P、Q的距離的最小值。因為u2+()2=2,9v/v=9所以P、Q分別是半圓x2+y2=2(y≥0)和雙曲線一支xy=9(x≥0)的點,即求半圓x2+y2=2(y≥0)上的點與雙曲線xy=9(x≥0)上的點的最短距離,由圓與雙曲線的性質(zhì)可知,這個最短距離是:

故Wmin=8。

本題充分地利用了代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結(jié)合,使解法簡捷、明快,具有創(chuàng)新性。

四、數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式的應(yīng)用舉例

通過圖形來展示函數(shù)中量與量之間的關(guān)系仍然是較好的教學(xué)形式,隨著科技的進(jìn)步與發(fā)展,數(shù)學(xué)中的圖形由靜止的發(fā)展成了變化的、由平面的發(fā)展成了立體的;一個非常好的動態(tài)畫面再加上五彩繽紛顏色,不光給學(xué)生美的感受,還讓學(xué)生輕松愉快地學(xué)到很多較難理解數(shù)學(xué)知識。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,將函數(shù)展開為冪級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一個重點和難點,學(xué)生對于泰勒(Taylor)中值定理和函數(shù)展開成冪級數(shù)往往難以理解。在傳統(tǒng)的教學(xué)手段中,我們很難結(jié)合函數(shù)的圖形讓學(xué)生能夠更加直觀地理解泰勒公式和函數(shù)的冪級數(shù)展開式,因此教師在講授這部分內(nèi)容時是很費勁的,學(xué)生學(xué)習(xí)起來也很吃力。學(xué)生們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時常常對以下的問題感到困惑: