矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射

張平

(三峽大學(xué)理學(xué)院,湖北宜昌 443002)

矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射

張平

(三峽大學(xué)理學(xué)院,湖北宜昌 443002)

為了刻畫矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射f,引入了保弱伴隨矩陣的概念,以矩陣的弱伴隨矩陣為不變量,得到了當(dāng)n≥3時(shí)數(shù)域F上從線性矩陣空間Mn×n(F) 到Mm×m(F)的保弱伴隨矩陣的線性映射f的形式.

線性保持問題;單射;伴隨矩陣;弱伴隨矩陣;秩

1 引言

近40多年來(lái),線性保持問題的研究一直是矩陣?yán)碚撝衅毡殛P(guān)注的問題[14].文[1]給出了當(dāng)F是一個(gè)無(wú)限域,f/=0,n=m≥3時(shí),f保伴隨矩陣的形式.文[2]將域F推廣到任意的域時(shí),給出了f保伴隨矩陣的形式.本文引入了f保弱伴隨矩陣的概念,刻畫了從Mn×n(F)→Mm×m(F)的保弱伴隨矩陣的線性映射f.本文以下約定,用Mm×n(F)表示數(shù)域F上的m×n的線性矩陣空間,用Eij表示在(i,j)為1,其余為0的矩陣,In表示F上的n×n的單位矩陣,用F?,[1,n]分別表示F中的單位元,集合{1,2,…,n}.用R(A)表示矩陣A的秩.規(guī)定

2 預(yù)備知識(shí)

為了證明主要結(jié)論需要下面幾個(gè)定義和引理.

定義2.1[5]設(shè)A=(aij)n×n∈Mn×n(F),Mji為矩陣A中元素aji的余子式,把矩陣

稱為矩陣A的弱伴隨矩陣.

3 保弱伴隨矩陣的線性映射

本節(jié)假設(shè)n≥3,f是保弱伴隨矩陣的線性映射,即對(duì)任意的矩陣A∈Mn×n(F),有

引理3.1下面三種情況是等價(jià)的:

(i)f≡0;

(ii)存在互不相同的s,t∈[1,n]使得f(Est)=0;

(iii)存在正整數(shù)k∈[1,n]使得f(Ekk)=0.

證明(i)?(ii)顯然.

(ii)?(iii)選取k使得s,t/=k∈[1,n],令Xstk=In?Ess?Ett?Ekk,則根據(jù)引理2.3及引理2.5,有

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Linear operators preserving weak adjoint matrix between matrix spaces

ZHANG Ping
(College of Science,China Three Gorges University,Yichang443002,China)

In this paper,in order to characterize the linear operators on matrix spaces that preserve weak adjoint matrix,we introduce the definition of the preserving weak adjoint matrix and make use of the weak adjoint matrix as the invariant,and then obtain the form of the linear operators from the linear space of Mn×n(F) into Mm×m(F)over the number field F that preserve weak adjoint matrix,where n≥3.

linear preserver problem,injective map,adjoint matrix,weak adjoint matrix,rank

O151.21

A

1008-5513(2009)03-0573-06

2008-07-08.

湖北省教育廳重點(diǎn)科研項(xiàng)目(D200729002),三峽大學(xué)科學(xué)基金.

張平(1978-),碩士,助教,研究方向：算子代數(shù).

2000MSC:15A57