環(huán)的Armendariz性

任艷麗,景麗敏,2

(1.南京曉莊學(xué)院數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210017;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧大連 116029)

環(huán)的Armendariz性

任艷麗1,景麗敏1,2

(1.南京曉莊學(xué)院數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210017;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧大連 116029)

研究了一個(gè)環(huán)何時(shí)具有Armendariz性.使用環(huán)論的一般方法,證明了在一定條件下商環(huán)、具有一對(duì)零同態(tài)的Morita Context環(huán)以及映射環(huán)是Armendariz環(huán),推廣了已有的某些結(jié)果.

Armendariz環(huán);商環(huán);Morita Context環(huán);映射環(huán)

1997年文[1]提出了Armendariz環(huán)的概念.稱環(huán)R是Armendariz環(huán),如果

滿足f(x)g(x)=0,則有aibj=0(0≤i≤m,0≤j≤n).用Armendariz環(huán)命名是因?yàn)樵缭?974年Armendariz就發(fā)現(xiàn)了Reduced環(huán)(不含非零冪零元的環(huán))滿足這個(gè)條件.在這之后很多人對(duì)Armendariz環(huán)進(jìn)行了討論和研究,1998年文[2]證明了若R是Armendariz環(huán), 則R[x]也是Armendariz環(huán).文[3]證明了一類商環(huán)的Armendariz性.文[4]又討論了特殊矩陣環(huán)的Armendariz性,并給出了R和M的平凡擴(kuò)張

為Armendariz環(huán)的充要條件,本文將繼續(xù)討論幾種環(huán)的Armendariz性.文中環(huán)R均指有1的結(jié)合環(huán).

1 商環(huán)

A,B為R的理想,那么A,B的商為(A:B)={x∈R|xB?A}[5]

定理1.1設(shè)A,B為R的理想,如果R/A為Armendariz環(huán),則R/(A:B)是Armendariz 環(huán).

從而對(duì)于任意的u∈B,有

由此,我們可以直接得到文[3]引理3.6和文[6]引理1.4.1.

推論1.2設(shè)R是Armendariz環(huán),

(1)如果I為R的理想,則R/lR(I)是Armendariz環(huán).

(2)如果Rn={x∈R|nx=0},則R/Rn是Armendariz環(huán)

證明(1)lR(I)=(0:I)={x∈R|xI=0},R/(0)=R是Armendariz環(huán).由定理1.1, R/lR(I)=R/(0:I)是Armendariz環(huán).

(2)nR={nx|x∈R}是R的理想.而Rn=(0:nR)={x∈R|x·nR=0}.由定理1.1,R/Rn=R/(0:nR)是Armendariz環(huán).

文[2]給出了當(dāng)R是Armendariz環(huán),I是R的理想,但R/I不是Armendariz環(huán)的例子.由此可知Armendariz環(huán)的同態(tài)像也不一定是Armendariz環(huán),但是根據(jù)以上定理給出下面條件就能使同態(tài)保Armendariz性.

推論1.3設(shè)R,S是環(huán),f:R→S是R到S上的環(huán)同態(tài).如果R是Armendariz環(huán),且存在理想B?R,使得其左零化子恰是kerf,則S是Armendariz環(huán).

證明由題設(shè)知,存在R的理想B,使得kerf=(0:B)={x∈R|xB=0}.由推論1.2 知,R/kerf=R/(0:B)=R/lR(B)是Armendariz環(huán),0→kerf→R→S→0是正和序列.因此,S≌R/kerf是Armendariz環(huán).

1998年文[2]定義了一個(gè)R-模M是Armendariz右R-模,如果

滿足m(x)f(x)=0,就有miuj=0(0≤i≤n,0≤j≤t).同樣可以定義Armendariz左R-模.與文[6]中兩個(gè)理想的商定義相似,文[7]給出(N:M)={x∈R|xM?N},其中M是左R-模,N是M的R-子模.(0:M)={x∈R|xM=0}=A(M).這樣就有

定理1.4設(shè)M是Armendariz左R-模,則R/A(M)是Armendariz環(huán).

這樣就得出了一個(gè)環(huán)的商環(huán)是Armendariz環(huán)的外部刻劃.推論1.2也可看作此定理的一個(gè)推論.

推論1.5環(huán)R有一個(gè)既約模M是Armendariz左R-模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R存在一個(gè)極大左理想、正則左理想T,使得R/T是Armendariz環(huán).

證明M是R的既約左R-模,則任意0/=m∈M,T=(0:m)是R的極大左理想,正則左理想,A(M)?(0:m).由定理1.4知R/A(M)是Armendariz環(huán),所以R/T=R/(0:m) 是Armendariz環(huán).

反之,設(shè)T是R的極大左理想、正則左理想,則存在R既約左模M,m∈M使得T= (0:m),R/T=R/(0:m)是Armendariz環(huán),且M=Rm,所以對(duì)任何f(x)=a0+a1x+…+ anxn,g(x)=b0m+b1mx+…+bnmxn=0,f(x)∈R[x],g(x)∈M[x],若f(x)·g(x)=0,則X

2 具有一對(duì)零同態(tài)的Morita Context環(huán)

定理2.2若V是(A,B)-雙模,W是(B,A)-雙模,那么C是Armendariz環(huán)的充要條件是

(1)A,B是Armendariz環(huán);

與C[x]是Armendariz環(huán)也相矛盾.所以W[x]f(x)∩g(x)W[x]=0.

(充分性)設(shè)α(x)β(x)=0,其中

所以C是Armendariz環(huán).

當(dāng)W=0(V=0)時(shí),C是上(下)形式三角矩陣環(huán),因此這里也給出了形式三角矩陣環(huán)是Armendariz環(huán)的充要條件,而文[2]定理2.2是此定理的特殊情況.

3 映射環(huán)

設(shè)S是任意一個(gè)環(huán).令A(yù)={f|f:S→Z},在A上定義加法、乘法定義為

則A構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱A為Z-整數(shù)環(huán).

定理3.1Z-整數(shù)環(huán)A是Armendariz環(huán).

證明設(shè)f(x)=f0+f1x+…+fnxn,g(x)=g0+g1x+…+gnxn∈A[x].如果f(x)·g(x)=0, 則

根據(jù)Z?整數(shù)環(huán)可以定義R-環(huán)A={f|f:S→R},其加法和乘法定義如上.

推論3.2如果R是Armendariz環(huán),那么R-環(huán)A是Armendariz環(huán).

關(guān)于一般代數(shù)對(duì)象(參見文[9])的Armendariz性,我們?cè)倭砦挠懻?

[1]Rege M B,Chhawchharia S.Armendariz rings[J].Proc.Japan.Acad.Ser.A.Math.Sci.,1997,73:14-17.

[2]Anderson D D,Camillo V.Armendariz Rings and Gaussian rings[J].Comm.Algebra,1998,26(7):2265-2272. [3]Lee Tsiu-kwen,Wong Tsai-lien.On Armendariz rings[J].Houston J.Math.,2003,29:583-593.

[4]Lee Tsiu-kwen,Zhou Yi-qiang.Armendariz and reduced rings[J].Comm.Algebra,2004,32(6):2287-2299.

[5]Atiyah M F,Macdonald I G.Introduction to Commutative Algebra[M].Massachusetts:Addison Wesley Publishing Company,1969.

[6]郭穎,杜現(xiàn)昆,謝敬然.Armendariz環(huán)和斜Armendariz環(huán)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2005,43(3):253-257.

[7]劉紹學(xué).環(huán)與代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[8]王堯,任艷麗.具有一對(duì)零同態(tài)的Morita Context環(huán)(I)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2006,44(3):310-324.

[9]任艷麗,王堯.一般代數(shù)對(duì)象的撓理論[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2002,18(4):338-342.

Armendariz properties of rings

REN Yan-li1,JING Li-min1,2
(1.Department of Mathematics,Nanjing Xiaozhuang University,Nanjing210017,China; 2.Department of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,China)

In this paper,we investigate the conditions that a ring is Armendariz ring,show that quotient rings,Morita Context rings with a pair ofzerohomomorphisms and map rings are Armendariz ring under some conditions by using of general mathods in ring theory,and generalize some results in literatures.

Armendariz ring,quotient ring,Morita Context ring,map ring

O153.3

A

1008-5513(2009)03-0442-06

2008-01-10.

遼寧省教育廳科研基金(05L014).

任艷麗(1965-),碩士,教授.研究方向：一般環(huán)論

2000MSC:16W50