一類(lèi)廣義正則半環(huán)上同余的特征

喬占科

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇蘇州 215009)

一類(lèi)廣義正則半環(huán)上同余的特征

喬占科

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇蘇州 215009)

在半環(huán)中引入了一類(lèi)理想的概念,討論了這類(lèi)理想的性質(zhì),并研究了一類(lèi)廣義正則半環(huán)上的同余,給出了這類(lèi)半環(huán)上一種半環(huán)同余的特征.

半環(huán)同余;半環(huán)理想;分配半環(huán)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

文[1-2]分別給出正則半群和擬正則半群上的同余,文[3]研究了一類(lèi)正則半環(huán)上的同余.在此基礎(chǔ)上,本文通過(guò)研究半環(huán)理想,給出了一類(lèi)廣義正則半環(huán)上同余的特征.

設(shè)非空集S有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,分別為加法“+”和乘法“·”,如果(S,+)和(S,·)均為半群且乘法對(duì)加法滿足分配律,即對(duì)任意a,b,c∈S有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.則稱(chēng)S是半環(huán).

設(shè)S是半環(huán),如果對(duì)任意a,b,c∈S有ab+c=(a+c)(b+c),a+bc=(a+b)(a+c),則稱(chēng)半環(huán)S是分配的;如果(S,·)是群,則稱(chēng)S是可除半環(huán).

設(shè)ρ是半環(huán)S上的等價(jià)關(guān)系,如果ρ同時(shí)是半群(S,+)和(S,·)上的同余,則稱(chēng)ρ是半環(huán)S上的同余.半環(huán)S上的同余ρ如果使(S/ρ,·)是群,則稱(chēng)ρ為可除半環(huán)同余.

設(shè)S是半環(huán),如果半群(S,·)中每個(gè)元a都有正整數(shù)n使an正則,則稱(chēng)半環(huán)S是擬正則的.在擬正則半環(huán)S中,對(duì)S中每個(gè)元a,使得an正則的最小正整數(shù)稱(chēng)為a的正則指數(shù).以RegS表示擬正則半環(huán)中乘法正則元集.a∈RegS,V(a)表示a的乘法逆元集.

本文所涉及到的其他術(shù)語(yǔ)和記號(hào)如未特別說(shuō)明均見(jiàn)文[4-7].

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中,半環(huán)S均指分配半環(huán)且(S,+)交換,(S,·)擬正則.對(duì)S中每個(gè)元a,凡出現(xiàn)an均指an正則且n是a的正則指數(shù).(an)0∈V(a).

設(shè)H是半環(huán)S的子半環(huán),如果(H,+)是(S,+)的理想,則稱(chēng)H是半環(huán)S的理想.設(shè)H是S的理想,如果?H,則稱(chēng)H是滿的.

(11)HaH∩HbH/=?.

這就證明了(5)到(11)均等價(jià).因?yàn)?1)與(9)等價(jià),因此上述十一條等價(jià).

注如果U是S上的最小滿的、自共軛的閉理想,則定理對(duì)U也成立.

定理2.2設(shè)H是半環(huán)S上的滿的、自共軛的閉理想,定義(a,b)∈ρH,當(dāng)且僅當(dāng)符合定理1中的任意一條,則ρH是半環(huán)S上的可除半環(huán)同余.

證明利用文[3]和定理1即得.

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[7]Ghosh S M.Another note on the least lattice congruences on an idempotent commutatives semirings[J]. Soochow J.Math.,1996,22(3):357-362.

Some characterizations of the congruence on a generalized regular semiring

QIAO Zhan-ke
(Department of Mathematics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China)

The concept of an ideal on a semiring is introduced,the properties of the ideal are discussed and the congruence on a generalized regular semiring is studied,some characterizations of a congruence on the semiring are given.

semiring congruence,semiring ideal,distributive semiring

O152.7

A

1008-5513(2009)03-0475-03

2008-02-29.

蘇州科技大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科基金資助.

喬占科(1960-),副教授,研究方向：半群理論.

2000MSC:20M17