培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，提高學(xué)生綜合素質(zhì)

金敏飛

摘 要： 以問題解決為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維方面具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。本文從切實(shí)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，奠定創(chuàng)新思維的培養(yǎng)基礎(chǔ)；注重培養(yǎng)學(xué)生的形象思維、抽象思維、求同思維、求異思維、邏輯思維、直覺思維、收斂思維、發(fā)散思維、正向思維、逆向思維等方面闡述了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)的問題。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 創(chuàng)新思維 實(shí)踐能力

教育教學(xué)的最終目的，是促進(jìn)學(xué)生各方面的發(fā)展，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和實(shí)踐能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。創(chuàng)新思維是創(chuàng)造力的核心，它具有獨(dú)特性、求異性、批判性等思維特征。這種思維能力經(jīng)過培養(yǎng)，正常人完全可以具備。盡管培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維是所有學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)，但是以問題解決為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維方面具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。因此，我們要在數(shù)學(xué)新課程改革中努力營造和諧的氛圍，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的興趣，給學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)參與的條件，讓學(xué)生真正地參與到知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程中，把創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，從而全面提高學(xué)生的整體素質(zhì)。

一、切實(shí)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，奠定創(chuàng)新思維的培養(yǎng)基礎(chǔ)

知識(shí)是思維的基礎(chǔ)，人們總是通過知識(shí)去揭示、探索和認(rèn)識(shí)未知事物。因此，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、清晰的基本概念

和定理，以及思考問題的經(jīng)驗(yàn)技巧等都是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)。我們必須扎實(shí)抓好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)。當(dāng)然，在搞好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教學(xué)中，也要貫穿創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。例如我在教學(xué)“勾股定理”時(shí)，精心創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境，以激發(fā)學(xué)生思維的積極性：“請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)直角三角形，報(bào)出兩條直角邊的長(zhǎng)度，老師就能算出斜邊的長(zhǎng)度?！睂W(xué)生積極嘗試向我挑戰(zhàn)，果真如我所言。此時(shí)學(xué)生頭腦中便會(huì)產(chǎn)生“老師為什么能知道斜邊的長(zhǎng)度”的疑問，這就促使學(xué)生萌發(fā)強(qiáng)烈的求知欲，迫切想知道這種計(jì)算方法。依據(jù)學(xué)生好奇的特點(diǎn)，以奇引趣，可以促進(jìn)學(xué)生樂學(xué)。學(xué)生通過探索自己發(fā)現(xiàn)定理，探索的過程即是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的過程。

二、形象思維與抽象思維相結(jié)合

對(duì)于那些抽象的概念、定理、公式，直接給出時(shí)的效果總不太理想。在教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生的思維從形象逐步過渡、上升到抽象，才能在獲取知識(shí)的同時(shí)發(fā)展能力。例如，在教學(xué)《軸對(duì)稱圖形》時(shí)，教師首先在一張紙上畫出直線L和△ABC，然后沿直線L對(duì)折，用一根針戳穿A、B、C三點(diǎn)，在L的另一側(cè)留下三個(gè)對(duì)應(yīng)孔A′、B′、C′。導(dǎo)出軸對(duì)稱定義后，提出作軸對(duì)稱圖形方法，是不是每次都對(duì)軸呢?讓學(xué)生在紙上動(dòng)手試一試。通過直觀教學(xué)和實(shí)踐活動(dòng)，給了學(xué)生具體形象的感知，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行觀察、分析、比較、推理等抽象思維過程，學(xué)生很容易抓住軸對(duì)稱的本質(zhì)，提出AA′被L垂直平分。通過直觀因素解決抽象問題，進(jìn)行形象思維與抽象思維結(jié)合的訓(xùn)練，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且提高了學(xué)生的觀察和概括能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，無疑有莫大的促進(jìn)作用。

三、求同思維與求異思維相結(jié)合

在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中，求異思維占主導(dǎo)地位，也有求同的成分，而且兩者是密切結(jié)合的。在教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行同中求異與異中求同的反復(fù)結(jié)合，才能使其思維流暢、變通、新奇。例如，在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，因三個(gè)內(nèi)角位置分散，大家一致認(rèn)為必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線使角集中起來，這是思維的求同；至于如何添加輔助線，這便是思維的求異點(diǎn)。學(xué)生勇于探索，各抒己見。有學(xué)生提出：過一頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線；也有學(xué)生認(rèn)為：過一頂點(diǎn)作射線平行對(duì)邊；還有學(xué)生想到：在一邊上取一點(diǎn)后，分別作另兩邊的平行線。多種方法能夠解決問題，學(xué)生的求異思維十分活躍。然后通過比較，異中選優(yōu)，大家認(rèn)為“過一頂點(diǎn)作射線平行對(duì)邊”較為簡(jiǎn)潔。長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐證明，求異度越高，求同性越好，學(xué)生解決新問題，探索新規(guī)律的能力就越強(qiáng)，創(chuàng)造性思維的水平就越高。

四、邏輯思維與直覺思維相結(jié)合

邏輯思維是創(chuàng)新思維的橋梁，因此必須扎實(shí)抓好邏輯思維的培養(yǎng)，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一個(gè)方面。另一方面，還需要重視培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。正如數(shù)學(xué)教育家G.波利亞所說：“一個(gè)想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證推理，這是他專業(yè)也是他那門科學(xué)的特殊標(biāo)志；然而，為了取得真正的成就，他還必須學(xué)習(xí)合情推理，這是他的創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理?！保ā稊?shù)學(xué)與猜想》第一卷序言）為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，我們?cè)谟?xùn)練學(xué)生的邏輯思維的同時(shí)，應(yīng)該有意識(shí)地加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)猜測(cè)、想象等非邏輯思維，以此開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。直覺思維是創(chuàng)新活動(dòng)達(dá)到高潮后想出的一種最富有創(chuàng)新性的飛躍思維，常常以“一閃念”的形式出現(xiàn)，使創(chuàng)新活動(dòng)成為一個(gè)質(zhì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。事實(shí)上，很多著名的數(shù)學(xué)定理就是經(jīng)過先猜想后證明得出來的。正如著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往開始于不嚴(yán)格的直覺思維，而繼之以嚴(yán)格的邏輯分析思維?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想是訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的好時(shí)機(jī)。所謂猜想是指在理解了學(xué)習(xí)課題后，通過觀察、計(jì)算、實(shí)驗(yàn)、分析等各種途徑和手段，根據(jù)已得信息或者新得到的信息提出解決課題的假設(shè)。例如：已知（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，求證：x+z=2y。證明：整體思考發(fā)現(xiàn)已知等式的左邊有判別式△=b²-4ac的形式，于是由直覺猜想：引入一元二次方程來解決問題。設(shè)有方程（x-y）t²+（z-x）t+（y-z）=0，方程的系數(shù)之和為0，于是t=1是方程的根。又由已知，方程的判別式△=（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0,∴t=1為方程的二重根，由韋達(dá)定理可知，二根之積（y-z）/（x-y）=1×1，∴x+z=2y。這樣不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生的邏輯思維，而且調(diào)動(dòng)了學(xué)生直覺思維，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了由直覺發(fā)現(xiàn)到邏輯證明的科學(xué)家對(duì)問題的解決過程，極大地誘發(fā)了創(chuàng)造性思維。

其實(shí)，數(shù)學(xué)猜想大量地存在于義務(wù)教育教材，幾何中的量量畫畫、疊疊比比觀察驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)幾何，需要猜想方能上升為概念、基本性質(zhì)、公理，這種猜想有助于充分揭示幾何知識(shí)的發(fā)展過程，有助于把握知識(shí)的來龍去脈，有利于提高想象力，從而增強(qiáng)直覺（靈感）的思維能力。代數(shù)中從“特殊”到“一般”，由“具體”到“抽象”的描述性定義，通過猜想,能提高概括能力，讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn),促使其知識(shí)的飛躍升華。盡管學(xué)生的猜想、直覺可能是錯(cuò)誤的，甚至是可笑的，但只要其思想有一點(diǎn)可以借鑒的地方，就要鼓勵(lì)、支持，以保護(hù)學(xué)生大膽探索的精神，并把它引導(dǎo)啟發(fā)到正確的數(shù)學(xué)思想方法上來，努力培養(yǎng)他們勤于探索思考、勇于打破常規(guī)的創(chuàng)新精神，切不可對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行挖苦、嘲笑，扼殺學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維的積極性。

五、收斂思維與發(fā)散思維相結(jié)合

在創(chuàng)造性思維過程中，發(fā)散思維起著主導(dǎo)作用，是創(chuàng)造性思維的核心。唯有“發(fā)散”，才能多角度、多層次地從不同方面思考，才能深刻地理解、鞏固并靈活運(yùn)用知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。例題的講解應(yīng)該注意一題多解、一題多變，強(qiáng)調(diào)思維的發(fā)散，增強(qiáng)思維的靈活性。數(shù)學(xué)題目，由于其內(nèi)在規(guī)律，或思考的途徑不同，可能會(huì)有許多不同的解法。在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，探求多種解法，在發(fā)散思維的同時(shí)，比較各種解法，找出最佳的、新穎的或巧妙的解法，激發(fā)創(chuàng)造性思維。例如，證明“三角形內(nèi)角平分線定理”，可以利用作平行線來證明，方法達(dá)七、八種之多；也可以用面積法證明。其中以面積法較為巧妙別致。在解題時(shí)，不要滿足于把題目解答出來便完事大吉，而應(yīng)向更深層次探求它們的內(nèi)在規(guī)律，可以變化題目的條件，或變化題目的結(jié)論，或條件結(jié)論同時(shí)作些變化，配成題組，從而加深對(duì)題目之間規(guī)律的認(rèn)識(shí)。例如，“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值”。這個(gè)命題不難用面積法證明。該題證明后，可以變換角度，廣泛聯(lián)想，訓(xùn)練發(fā)散思維。將“任意一點(diǎn)”變到“形外一點(diǎn)”，將“正三角形”變?yōu)椤罢齨邊形”，或者將“正三角形”變?yōu)椤叭我馊切巍保芯拷Y(jié)論如何變化?？梢钥闯?，對(duì)數(shù)學(xué)問題的回味與引申，使學(xué)生從不同角度處理問題，增加學(xué)生總結(jié)、歸納、概括、綜合問題的意識(shí)和能力，培養(yǎng)了思維的靈活性、變通性。在教學(xué)中，我們教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本中的習(xí)題進(jìn)行多種解法的探索，并分析各種解法的合理性。例如：甲、乙二人同時(shí)從張莊出發(fā)，步行15千米到李莊，甲比乙每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比乙早到半小時(shí)，二人每小時(shí)各走幾千米？經(jīng)過充分討論，集思廣益，我們師生探究出此題有9種解法。

這里需要特別指出的是，解題時(shí)的分析是訓(xùn)練學(xué)生聯(lián)想思維的好時(shí)機(jī)。聯(lián)想思維是發(fā)散思維的一種特殊形式，它往往從一件事情的觸發(fā)而遷移（想）到另一些事情上，通過大膽聯(lián)想，尋求正確的解答。聯(lián)想思維靈活多變，不受思維定勢(shì)限制，善于多角度多方位去觀察和思考問題。聯(lián)想的結(jié)果往往是從給定的信息中產(chǎn)生新的信息，發(fā)現(xiàn)新的方法，尋求新的規(guī)律，探索出新的科學(xué)。例如在解“AD是三角形ABC的中線,E是AD的中點(diǎn),F是BE的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，求證：AF∶FC=1∶2”時(shí)，通過觀察、分析，由結(jié)論聯(lián)想證明比例式常用的方法有相似三角形和平行線，由條件中出現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)D、E聯(lián)想到中位線，而中位線又具有平行線的倍數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)，從而得出此題的證明途徑。因此富于聯(lián)想是思維靈活的表現(xiàn)。

六、正向思維與逆向思維相結(jié)合

對(duì)于概念、定理、公式、法則，往往習(xí)慣于正面看、正面想、正面用，極易形成思維定勢(shì)。在解決新問題面前，這種思維定勢(shì)是一種負(fù)遷移，作用是消極的。學(xué)生往往感到束手無策，寸步難行，所以，在重視正向思維的同時(shí)，養(yǎng)成經(jīng)常逆向思維的習(xí)慣，“反其道而行之”，破除正向思維定勢(shì)的束縛。所謂逆向思維，是指在研究問題時(shí)，從反面觀察事物，去做習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時(shí)考慮逆推解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性，由此尋求解決問題的方法。因此我們應(yīng)該自覺地、有目的地加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練。

如何進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練呢?可以利用互逆因素進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，因?yàn)閿?shù)學(xué)中充滿著互逆因素，如公式的互逆、定義的互逆、可逆定理的互逆，等等。具體策略是：（1）重視概念、定理、公式、法則的反方向教學(xué)：概念的互逆理解、公式的互逆記憶、可逆定理、性質(zhì)和法則的互逆表述；（2）強(qiáng)調(diào)一些基本方法的逆用：從局部考慮不易，是否能整體處理；一般情況下不好辦，考慮特殊情況；前進(jìn)有困難，退一步如何；“執(zhí)果索因”與“由因到果”兩方面尋找解題途徑；直接證明不行，則考慮用間接證法，等等。例如，當(dāng)是什么值時(shí)，對(duì)于兩個(gè)關(guān)于的方程x²+4mx+3-4m=0,x²+（m-1）x+m=0，至少一個(gè)有實(shí)根。如果從正面求解，會(huì)出現(xiàn)三種情況，不但計(jì)算量大而且容易出錯(cuò)，而考慮其反面“兩個(gè)方程都沒有實(shí)根”，然后求得補(bǔ)集，解法很簡(jiǎn)潔。這樣利用定義的可逆性，公式的雙向性、反證法、補(bǔ)集法等方法解的典型例題的剖析、演示，給學(xué)生以感性認(rèn)識(shí)，并且把這種教學(xué)思想方法滲透于日常解題教學(xué)過程中，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生逆向思維的靈活性和創(chuàng)新性。

訓(xùn)練學(xué)生逆向思維，從問題的反面揭示本質(zhì)，彌補(bǔ)了單向思維的不足，使學(xué)生突破了傳統(tǒng)的思維定勢(shì)，大大促進(jìn)了創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

總之，培養(yǎng)具有創(chuàng)造性的人才，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力的人才，是國家和民族的需要。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的創(chuàng)造性素質(zhì)的最佳途徑，我們教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際，不斷探索數(shù)學(xué)知識(shí)與創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)的結(jié)合點(diǎn)，積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，主動(dòng)發(fā)展他們的創(chuàng)新思維。

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