對“重心”的追問及相關(guān)錯(cuò)解實(shí)例分析

李鴻彬

一個(gè)物體的各部分都要受到地球?qū)λ淖饔昧Γ覀兛梢哉J(rèn)為重力的作用集中于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做物體的重心，也即物體各部分所受重力可等效于集中作用在重心處。

追問一：物體重心的位置如何確定?

追問二：此處是什么等效?

在物體的線度與它們到地心的距離相比很小時(shí)，重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)相同。以質(zhì)點(diǎn)組為例，對于質(zhì)點(diǎn)組，其重心C的坐標(biāo)公式為：﹔璫=∑im璱﹔璱適，由此可確定質(zhì)點(diǎn)組重心的位置，同時(shí)可見，重心的位置與物體的形狀、質(zhì)量分布情況有關(guān)，對于質(zhì)量分布均勻、形狀規(guī)則的物體，重心在它的幾何中心。

物體各部分所受重力等效于作用在重心，可理解為物體各部分所受重力與集中到重心處重力作用效果等效，即各部分所受重力與集中到重心處的重力做功、沖量等時(shí)間、空間累積效應(yīng)等效，但重心并不能完全代表該物體。

實(shí)例1 一根長為L、質(zhì)量分布均勻的鐵鏈對稱地懸掛在一光滑的小定滑輪上，如圖1所示，現(xiàn)輕輕擾動(dòng)鐵鏈?zhǔn)蛊湎侣?，求鐵鏈剛離開滑輪時(shí)的速度大小?

分析 本題可應(yīng)用機(jī)械能守恒定律來分析，當(dāng)鏈條剛離開滑輪時(shí)，重心位置在O處，如圖2所示。在鏈條未受擾動(dòng)時(shí)，O位置在滑輪的最高處，如圖3所示。設(shè)鏈條的質(zhì)量力m，由機(jī)械能守恒定律,mgl2=12mv2，得v=gl。

上述解法是錯(cuò)誤的。鏈條剛離開滑輪時(shí)，重心的位置在O處，但在鏈條未受擾動(dòng)時(shí)，重心的位置應(yīng)在O′處。因?yàn)楫?dāng)物體的形狀發(fā)生改變時(shí)，重心的位置會(huì)發(fā)生變化。

因此，由機(jī)械能守恒定律：

mgl4=12mv2，得v=gl2。

實(shí)例2 如圖4所示，直立容器內(nèi)部有被隔板隔開的A、B兩部分，A的密度小，B的密度大。抽去隔板，加熱氣體，使兩部分氣體混合均勻，設(shè)在此過程中氣體吸熱為Q，氣體內(nèi)能增加為ΔE，則

A.ΔE=QB.ΔE＜Q

C.ΔE＞QD.無法比較

分析 許多同學(xué)由熱力學(xué)第一定律分析得到，因氣體的總體積未變，氣體吸收的熱量Q等于氣體內(nèi)能的增加量ΔE。

其實(shí)，在開始時(shí)，由于A部分密度小，B部分密度大，所以兩部分氣體的總重心位于容器中心位置的下方。在抽去隔板，兩部分氣體均勻混合時(shí)，兩部分氣體的總重心位于容器的中心位置，總重心位置升高了。因此在此過程中，由于氣體的重力勢能增大了，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知：氣體吸收的熱量Q大于氣體內(nèi)能的增加量ΔE。因此正確選項(xiàng)為B。

應(yīng)注意，當(dāng)物體內(nèi)部質(zhì)量分布發(fā)生變化時(shí)，物體重心的位置也會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致重力勢能發(fā)生變化。

實(shí)例3 如圖5所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面互相垂直，圓心處有一個(gè)垂直于盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最邊緣處固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r／2固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B，OA與OB垂直，現(xiàn)放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問：放開后兩球的最大速度為多大?

分析 先求得A、B兩球的重心位置C，C位于AB連線的中點(diǎn)，如圖6所示。當(dāng)OC位于豎直方向時(shí)，兩球的速度同時(shí)達(dá)到最大。

r㎡C=12r2+(r2)2=54r，

設(shè)兩球速度最大時(shí)重心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，由機(jī)械能守恒定律：

2mg(r㎡C-12r㎡B)=12×2m(r㎡Cω)2，

得：ω=85r(5-1)g，再求得：

A球的最大速度為：v瑼=rω=8(5-1)gr5，

B球的最大速度為：v瑽=r2ω=2(5-1)gr5。

上述分析是錯(cuò)誤的。由A、B兩球角速度相等，可知A球速度大小是B球的兩倍，由機(jī)械能守恒定律：2mg(54r-14r)=12mv2瑼+12mv2瑽①

v瑼=2v瑽②

由①②可得：

v瑼=4(5-1)5gr,v瑽=(5-1)5gr。

錯(cuò)因在于A、B質(zhì)點(diǎn)組重心C的角速度與A、B球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是不相等的。

實(shí)例4 宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)，由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在的一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行，如圖7所示，設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，每兩顆之間的距離為L，試求：星體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？

分析 三顆星繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由B、C兩顆星的引力的合力提供，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=33L。在計(jì)算A星所受的引力時(shí)，有學(xué)生先求出B、C兩顆星的質(zhì)心位置P，P位置位于BC的中點(diǎn)，如圖8所示，L〢P=32L，由F引=F向，G×2m×m(32L)2=mrω2，可得：ω=833GmL3。

上述解法是錯(cuò)誤的。正確的解法應(yīng)為：B、C兩顆星分別對A星的引力大小為F1=F2=Gm2L2，因此A星受到B、C兩星引力的合力大小為F引=3Gm2L2，如圖9所示。由F引=F向，3Gm2L2=mrω2，可得：ω=3GmL3。

錯(cuò)解原因在于：由m﹔〢B+m﹔〢C=2m﹔〢P擼﹔〢P=﹔〢B+﹔〢C2，若用i弒硎驚〢B叻較虻牡ノ皇噶浚用j弒硎驚〢C叻較虻牡ノ皇噶浚由錯(cuò)誤方法求出的引力大小為F引=Gm×2m(﹔〢P)2=2Gm2(﹔〢B+﹔〢C2)2(*),實(shí)際上引力為：F引=Gm2L2(i+j)，其大小與（*）顯然是不相等的。

由此可見，一個(gè)物體受到其它物體的引力，在通常情況下，即物體的線度與物體之間的距離相比不是很小時(shí)，各部分所受引力的合力不能等效為質(zhì)量全部集中在質(zhì)心處來計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

［1］趙凱華、羅蔚茵編.《新概念物理教程——力學(xué)》［M］.高等教育出版社

(欄目編輯羅琬華)