關(guān)于“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”的兩個(gè)證明

趙亞兵

摘要：本文從豎直上拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的兩種解決方法——整體法和分階段法出發(fā)，探討了整體法和分階段法的關(guān)系，即二者是統(tǒng)一的，并且前者是后者的概括和提高；豎直上拋運(yùn)動(dòng)的上升和下降階段具有對(duì)稱性。

關(guān)鍵詞：豎直上拋運(yùn)動(dòng)；整體法；分階段法

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2009)5(S)-0074-2

分階段法和整體法是解決豎直上拋運(yùn)動(dòng)的常用方法，運(yùn)動(dòng)階段的對(duì)稱性是典型的運(yùn)動(dòng)特征［1］ 。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)整體法的認(rèn)識(shí)和接受比分階段法要難，對(duì)特殊位置的對(duì)稱性容易理解，但對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)階段的對(duì)稱性存在質(zhì)疑，為此筆者整理出關(guān)于以上問(wèn)題的兩個(gè)證明。

1 整體法和分階段法二者是統(tǒng)一的，并且前者是后者的概括和提高 ［2］

1.1 整體法

物體以一定的初速度沿豎直方向向上拋出，在忽略空氣阻力的情況下所做的運(yùn)動(dòng)叫豎直上拋運(yùn)動(dòng)。由于整個(gè)過(guò)程所受外力（重力）恒定，故加速度恒定，物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。選拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上的方向?yàn)檎较?，并取拋出時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則a=-g(負(fù)號(hào)表示方向與設(shè)定的正方向相反，即豎直向下),基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足：v=v_O-gt；x=v_Ot-12gt2

其中t是從拋出物體開始計(jì)時(shí)的時(shí)間，x是物體在所建立的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，或物體對(duì)拋出點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）的位移。以上規(guī)律對(duì)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程都適用，并由此不難得出相應(yīng)的特征量，即上升時(shí)間t上=v_Og，上升的最大高度h﹎ax=v_O22g，落回拋出點(diǎn)的速度v=-v_O。

1.2 分階段法

豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體在上升過(guò)程中，速度越來(lái)越小，加速度方向跟速度方向相反。當(dāng)速度減小到零時(shí)，物體上升達(dá)到最大高度，然后物體從這個(gè)高度自由下落，速度越來(lái)越大，加速度方向跟速度方向相同。不難把整個(gè)過(guò)程分為上升和下降兩個(gè)階段來(lái)分析：

上升階段（取豎直向上方向?yàn)檎较颍?/p>

v1=v_O-gt1，x1=v_Ot1-12gt21；

下降階段（取豎直向下方向?yàn)檎较颍?/p>

v2=gt2，x2=12gt22。

其中t1是從拋出物體開始上升到最大高度前某一位置的時(shí)間，t2是從最大高度下落到某一位置的時(shí)間，x1是物體上升階段在所建立的坐標(biāo)系（以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上的方向?yàn)檎较颍┲械淖鴺?biāo)，x2是物體下降階段在所建立的坐標(biāo)系（以最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下的方向?yàn)檎较颍┲械淖鴺?biāo)(如圖1所示)。

1.3 整體法與分階段法二者關(guān)系的證明

統(tǒng)一選拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上的方向?yàn)檎较?，并取拋出時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，分別通過(guò)整體法和分階段法求出物體經(jīng)最高點(diǎn)落在P點(diǎn)時(shí)的位移x ，如圖1所示。

整體法：x=v_Ot-12gt2

分階段法：

上升階段：到最高點(diǎn)時(shí)，h﹎ax=v202g，t=v_Og

下降階段：t＞v_Og,且存在t=v_Og+t2，由上圖得到，x=h﹎ax-x2=v202g-12gt22，代入t2=t-v_Og得，x=v_Ot-12gt2，與整體法的公式一致，關(guān)系得證。

這說(shuō)明整體法的確是分階段法的概括和提高，并且有助于學(xué)生深入理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)規(guī)律的分析能力。

2 豎直上拋運(yùn)動(dòng)的上升和下降階段具有對(duì)稱性

2.1 特殊位置的對(duì)稱性

結(jié)合對(duì)整個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，不難得出以下特征量：

（1）上升到最大高度的距離和從最大高度處落回拋出點(diǎn)的距離相等，即

h上=h下=h﹎ax=v202g。

（2）落回拋出點(diǎn)的速度v=-v_O；

（3）上升到最大高度處所用時(shí)間t上和從最大高度處落回原拋出點(diǎn)所用時(shí)間t下相等，即

t上=t下=v_Og；

分析了特殊位置的對(duì)稱性后，可以在前面兩種方法的基礎(chǔ)上證明上升和下降整個(gè)階段都存在對(duì)稱性。

2.2 上升和下降階段具有對(duì)稱性的證明

如圖2所示，在距拋出點(diǎn)之上相同位置x處，設(shè)上升階段通過(guò)此位置速度為v1 ，歷時(shí)T，下降階段通過(guò)此位置速度為v2,從拋出點(diǎn)出發(fā)經(jīng)最高點(diǎn)通過(guò)此位置歷時(shí)T′，根據(jù)整體法規(guī)律：x=v_Ot-12at2，可以看作是關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，由求根公式解得T=v_O-v20-2gxg，T′=v_O+v20-2gxg，

由于x≤v202g，所以v20-2gx≥0，T、T′均存在。

根據(jù)分階段法規(guī)律：v1=v_O-gt1，v2=gt2，并且t1=T，t2=T′-v_Og，代入T、T′整理，

v1=v_O-gT=v_O-gv_O-v20-2gxg

=v20-2gx；

v2=g(T′-v_Og)=g(v_O+v20-2gxg-v_Og)

=v20-2gx；

可得，v1=v2，考慮到方向顯然有v1=-v2，因?yàn)樵撐恢锰幧仙拖陆惦A段加速度始終相同，根據(jù)加速度定義式a=v_t-v_Ot，不難看出v1-v_Ot=v-v2t′(t為物體從拋出點(diǎn)上升到此位置所需時(shí)間，t′為從此位置降落到拋出點(diǎn)所用時(shí)間），因?yàn)関=-v_O，v1=-v2，所以v1-v_O=v-v2，那么就可以得到t=t′。由于位置x是拋出點(diǎn)之上任意位置，便可證明整個(gè)運(yùn)動(dòng)階段都有此關(guān)系，于是豎直上拋運(yùn)動(dòng)的上升和下降階段的確具有對(duì)稱性就不難解釋了。

參考文獻(xiàn)：

［1］龍義芳.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特征及應(yīng)用［J］.中學(xué)理科.2000，(7):27.

［2］繆鐘英，羅啟慧.力學(xué)問(wèn)題討論［M］.北京：人民教育出版社,2003 :98.

(欄目編輯張正嚴(yán))