斜率公式K=*在解題中的應(yīng)用

段學(xué)強 羅班強

過兩點P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)的直線的斜率K= ,這一公式在直線議程中是非?；A(chǔ)和重要的,因為直線方程的幾種形式是在它的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來的,因此,師生們對這個公式非常熟悉,但卻忽視了它在解題中的作用。在解題中運用這個公式,有時會簡化計算過程,優(yōu)化解題方法,提高解題速度。本文就公式解題應(yīng)用中的幾個方面進行探討:

一、在解決與共線有關(guān)的問題中的應(yīng)用

例1)過點P( ,0)的所有直線中,通過兩個不同的有理點(兩點的坐標均為有理數(shù))的直線的條數(shù)是()。A)有且僅有一條 ;B)至少有兩條; C)有無窮多條 ;D)不存在這樣的直線。

解P( ,0)在X軸上,故X軸是符合條件的直線。設(shè)存在另一條直線過兩年不同的有理點P1(a1,b1) P2(a2,b2) 在同一直線上,則KP1P= = KP1P2= ∈Q=(a1- )∈Q, =( a1- )∈Q,這與 無理數(shù)矛盾,選A。

例2)如圖,在橢圓 + =1上任一點M,M與短軸兩端點B1B2 連線交X軸于N,K,

求證:︳0N ︳? ︳0K ︳為定值。

證明:設(shè)K點坐標(XK,0)N點

坐標(XN,0),M的參數(shù)坐標為(acosθ,bsinθ)由橢圓方程B1(0,-b)B2(0,b), B1、N、M在同一直線上, KB1M+KB1N即 = , Xn= ,又 B2、M、K在同一直線上,由KB2M+KB2K同理可得XK= , ︳0 K ︳? ︳0 N︳=︳Xn ? Xk ︳=︳?︳ =a2。和共線有關(guān)的這一類問題,經(jīng)常利用斜率相等作為解題的突破口,而斜率相等是由K= 來實現(xiàn)的,由此可列出有關(guān)的計算式。

二、在有關(guān)求軌跡問題中的應(yīng)用

(1)求平行弦中點軌跡中的應(yīng)用

例3)求斜率為1的圓x2+y2=4的一組平行弦的中點軌跡。

解:設(shè)弦的兩端點A(x1,y1)B(x2,y2),AB的中點為M(x,y), 則x= ?y= 。又 A、B在圓上

x12+y12=4 ①

x22+y22=4②,①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0變形: = 。由已知條件K=1= =-1即y=-x,

所以軌跡是圓的弦的中點,故平行弦中點軌跡是y=-x在圓內(nèi)的一段。

(2)求過定點弦的中點軌跡的應(yīng)用

例4求拋物線y2=4x的經(jīng)過焦點的弦的中點的轉(zhuǎn)跡方程。

解:設(shè)弦端點為A(x1,y1)B(x2,y2),AB的中點為M(x,y),則2x= x1+ x2,2y=y1+y2.又 A、B在拋物線上,y12=4x1① , ②-①得:(y2-y1)

y12=4x1②

(y2+y1)=4(x2-x1)= = =KAB=KMF=

= 化簡:y2=2(x-1)即為所求的軌跡方程。

這一類問題,在設(shè)出弦的端點后,代入曲線方程,利用作差法,將K= 作為整體進行代換,可以大大減少算量,優(yōu)化解題目的過程,提高解題的速度。

三、在解決軸對稱問題中的應(yīng)用

解決軸對稱問題的基本思路是利用對稱的特點:對稱點的聯(lián)線被對稱軸垂直平分。而其中的垂直經(jīng)常由斜率體現(xiàn)出來,對稱點聯(lián)線的斜率是分式K= 給出的。

例5)橢圓C: + =1關(guān)于直線x-y+3=0對稱的橢圓C,的方程。

解設(shè)橢圓C,上任一點A,( x,,y,), A,關(guān)于直線x-y+3=0對稱點A(x0,y0),則A一定在橢圓C上,由于A,A關(guān)于直線x-y+3=0對稱,=-1,AA,中點M(, )在直線x-y+3=0上,, +3=0,由此得方程組:

- +3=0

解之:X0=y′-3

X0=x′+3

由于點(x0y0)在橢圓上,代入橢圓方程得C′方程為: + =1。

對稱軸曲線方程的常用方法是代點法,實現(xiàn)代點法的一個基本條件是由斜率公式K= 來完成的。

四、在求最值或值域中的應(yīng)用。

例6)求函數(shù)y= 的值域。

解:由斜率公式K= 可知,函數(shù)y= 的值域可以看成是過點(6,1)與點(4cosx,3sinx)連線的斜率的取值范圍,而點(4cosx,3sinx)有橢圓。如圖,直線1逆時針旋轉(zhuǎn)到1,時的斜率的范圍即或所求。由此,只須求1用1,的斜率即可,設(shè)方程為y-1=k(x-6)直線與橢圓相切,故方程 y-1=k(x-6)

+ =1

得(9+16k2)x2+32(k-6k2)x+64(9k2-3k-2)=0有兩個相等的實根,由△=0,得K1=- ,K2=1故原函數(shù)的值域為[- ,1]。

這一類問題經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解,而分式K= 是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的過渡橋梁,可見這一分式在這類問題中所起的作用。

な嶄迦掌:2009-09-23