如何正確理解圓錐曲線的“切線”的定義

劉新昌

(新疆農(nóng)一師塔里木高級(jí)中學(xué)843300)

在以前的教學(xué)中，有同事和學(xué)生就“什么是曲線的切線？”的觀點(diǎn)不一致。有人認(rèn)為：“從初中圓的知識(shí)切線可知，當(dāng)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過(guò)該點(diǎn)的切線。”也有人說(shuō)：“直線是否是曲線過(guò)該點(diǎn)的切線與直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)?！边€有許多人無(wú)從判斷，說(shuō)不清道不明。下面就這一點(diǎn)，談一談我個(gè)人的觀點(diǎn)。

首先，切線這一概念是在初中三年級(jí)幾何的圓中第一次學(xué)習(xí)，當(dāng)一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這條直線是圓的一條切線。同時(shí)我們?cè)诟咧杏?jì)算與圓的切線有關(guān)問(wèn)題時(shí)，方法之一就是用圓和直線的方程建立方程組，再得到一個(gè)一元二次方程，令其判別式等于零。實(shí)質(zhì)就是讓直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。

那么能不能將圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？也就是說(shuō)能不能認(rèn)為一般曲線的切線與曲線也只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？通過(guò)我們?cè)趯?shí)際學(xué)習(xí)當(dāng)中求某些圓錐的曲線時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)求出的直線與圓錐曲線卻有2個(gè)甚至多個(gè)公共點(diǎn)，或者有許多直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，但這些直線卻不是曲線的切線。這用我們通常理解的“切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”無(wú)法解釋。

如圖：

AB直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)D，但不是曲線的切線。直線PQ雖然與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，但確是曲線在P處的切線?？梢?jiàn)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。

那么要搞清楚這一問(wèn)題，我們首先要從圓錐曲線的切線的定義入手。

圓錐曲線的切線定義是:

在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B，并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極限位置就是曲線在點(diǎn)A的切線。

這是切線在高等數(shù)學(xué)中的唯一定義，在高中數(shù)學(xué)的必修3中就運(yùn)用了這一定義，精確的定義了曲線在某點(diǎn)或過(guò)某點(diǎn)的切線。通過(guò)定義我們知道如果是圓的切線，的確切線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)。但是求圓錐曲線的切線則不能錯(cuò)誤的用“只有一個(gè)交點(diǎn)”來(lái)確定。

通過(guò)以上的解釋我們應(yīng)該清楚，在以后計(jì)算有關(guān)圓錐曲線的切線時(shí)，必須依照定義去做，且不可不分前提而簡(jiǎn)單的用“只有一個(gè)交點(diǎn)”來(lái)判斷圓錐曲線的切線。接下來(lái)我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明。下面再舉出幾個(gè)例子供大家參考：

例如，利用導(dǎo)數(shù)我們可以輕易的計(jì)算出 在(0,0)點(diǎn)的切線就是直線y=0。

而直線 、 雖然與曲線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是x=0、y=-x等都不是其切線。

再如y=sinx，在(0,0)點(diǎn)的切線是y=x。

而直線 、 雖然與曲線y=sinx只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是如x=0、y=-x等都不是切線。

具體的切線方程可以求導(dǎo)得出，在 處的切線方程是：

收稿日期：2009-03-10