黃世忠
“中位數(shù)”是人教版小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)教科書P105新增的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容。其教學(xué)背景是以三年級(jí)所學(xué)平均數(shù)的意義、作用及特點(diǎn)為基礎(chǔ),通過(guò)平均數(shù)不能很好反映數(shù)據(jù)偏差較大的情況,引出并學(xué)習(xí)中位數(shù)的意義、作用、特點(diǎn)及計(jì)算方法。本課的教學(xué)目標(biāo)定位是通過(guò)這一內(nèi)容的教學(xué),使學(xué)生理解中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的意義,會(huì)求中位數(shù);了解中位數(shù)與平均數(shù)的異同,學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況合理選擇統(tǒng)計(jì)方法,體會(huì)各自的特點(diǎn)和作用。教學(xué)重點(diǎn)定位在中位數(shù)意義的理解及求法,教學(xué)難點(diǎn)是針對(duì)一組數(shù)據(jù)的具體情況及所要分析的問(wèn)題,作出對(duì)統(tǒng)計(jì)方法的合理選擇。
這是新增的知識(shí)點(diǎn),沒(méi)有可借鑒的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),加上自身本體性知識(shí)的欠缺,我就只好“摸著石頭過(guò)河”實(shí)施第一次教學(xué)。教學(xué)的基本程序是:復(fù)習(xí)平均數(shù)的求法一自學(xué)課本——提出問(wèn)題——互動(dòng)交流——學(xué)習(xí)新概念——平均數(shù)與中位數(shù)的比較——知識(shí)應(yīng)用——解決問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程還算流暢??蓪W(xué)生臉上的表情以及自己的直覺(jué)告訴我,本課教學(xué)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到“三維目標(biāo)”的要求,而問(wèn)題出在哪呢?
于是。我詢問(wèn)學(xué)生。果然不出所料,學(xué)生心存較多的疑惑(高年級(jí)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)或老師講解存在疑惑往往隱藏在心底里,不大愿意當(dāng)眾講出來(lái)),現(xiàn)整理如下:
疑惑一:平均數(shù)為什么“失靈”了?甚至懷疑過(guò)去學(xué)習(xí)“平均數(shù)”上當(dāng)受騙了。)
疑惑二:中位數(shù)是干什么的?(有“平均數(shù)”,為什么還要引進(jìn)“中位數(shù)”?)
疑惑三:到底什么時(shí)候使用“平均數(shù)”?什么時(shí)候該用“中位數(shù)”?
面對(duì)學(xué)生的疑惑,我陷入了痛苦的反思,開(kāi)始自我診治:難道文本(附后)設(shè)計(jì)出了問(wèn)題,無(wú)法幫助學(xué)生形成新的建陶?還是學(xué)生的理解產(chǎn)生了偏差,導(dǎo)致認(rèn)知障礙?或者是學(xué)生的慣性定勢(shì)在作怪,阻礙了學(xué)生思維遷移?經(jīng)反復(fù)琢磨,我悟出了一點(diǎn)道理:學(xué)生之所以認(rèn)為平均數(shù)“失靈”了,可能是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“平均數(shù)”本身意義的理解就存在缺陷,也就是他們對(duì)怎樣求平均數(shù)是“相當(dāng)熟練的”,但對(duì)平均數(shù)到底是“干什么的”并不明白,或所習(xí)得的“平均數(shù)”被異化成“平均數(shù)的求法”。學(xué)生不接納中位數(shù)是為什么呢?可能是因?yàn)槠綍r(shí)生活中用得最廣泛的是平均數(shù),對(duì)平均數(shù)的感覺(jué)是一種耳熟能詳?shù)闹庇X(jué),讓學(xué)生舍棄平均數(shù)而選用中位數(shù),在情感上需要一個(gè)過(guò)程。因此,學(xué)生對(duì)何時(shí)使用平均數(shù)何時(shí)使用中位數(shù)就摸不著門路?;谏鲜龅姆治?。我擬采用創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突的策略,強(qiáng)化體驗(yàn)的方法,破解學(xué)生的三大疑惑,實(shí)現(xiàn)三位一體的教學(xué)目標(biāo):對(duì)平均數(shù)意義的重構(gòu)、認(rèn)識(shí)中位數(shù)的必要以及合理選擇平均數(shù)與中位數(shù)做了新的嘗試。
教學(xué)片段一:營(yíng)造沖突,感知必要,破解“平均數(shù)失靈”
屏幕演示
某次數(shù)學(xué)考試,小芳得到78分。
全班的平均分為77分。
小芳告訴媽媽說(shuō),自己這次成績(jī)
在班上處于“中上水平”。
師:閱讀了以上信息。你認(rèn)為小芳所言她的成績(jī)處于班級(jí)的“中上水平”一定屬實(shí)嗎?
師:可以把你的想法與同伴交流,也可以對(duì)你的想法自行驗(yàn)證。
(學(xué)生活動(dòng),爭(zhēng)論激烈。觀點(diǎn)碰撞頻發(fā)。)
生1:我認(rèn)為,既然小芳的成績(jī)78分比全班的平均分77分還多出1分,就說(shuō)明她的成績(jī)確實(shí)是班里的“中上水平”。
師:你們同意這位同學(xué)的意見(jiàn)嗎?
(小部分學(xué)生表示同意,一部分學(xué)生表示不贊同,多數(shù)學(xué)生尚未思考清楚沒(méi)有表態(tài)。)
師:看來(lái)大家意見(jiàn)不太一致。(在老師的預(yù)設(shè)之中)
生(齊):是的。
師:我們就先來(lái)說(shuō)說(shuō)你們所理解的平均分(77分)在班里相當(dāng)于什么水平。
生(眾):中等水平。
師:按你們的理解,高于平均分就應(yīng)屬于中上水平,低于平均分就應(yīng)屬于中下水平。
生:應(yīng)該是這樣。(學(xué)生認(rèn)為“平均分”與“中等水平”是等值的,連持反對(duì)意見(jiàn)或保持沉默的學(xué)生也轉(zhuǎn)變了態(tài)度。)
師:果真是這樣嗎?想不想知道小芳班里考試成績(jī)的真實(shí)情況?
生:當(dāng)然想!(急于驗(yàn)證自己的猜想是否正確)
師:那么,就請(qǐng)看吧!(屏幕演示)全班共30人,其他同學(xué)的成績(jī)?yōu)椋?/p>
1個(gè)100分,
4個(gè)90分,
22個(gè)80分。
1個(gè)lO分
1個(gè)2分。
師:有什么想法?小芳的成績(jī)?cè)诎嗌蠈?shí)際排列第幾?(營(yíng)造的情景帶給學(xué)生巨大的認(rèn)知沖突。)
生:倒數(shù)第四。
師:以你們剛才的觀點(diǎn),就等于你們認(rèn)可了一個(gè)倒數(shù)第四位的成績(jī)處于班上的“中上水平”?
生:決不同意。
師:高于平均分卻不算中上水平,這不矛盾嗎?
生:是這樣的,一般情況下,高于平均分就應(yīng)屬于中上水平,可是沒(méi)想到這里出現(xiàn)了兩個(gè)低到極端的分?jǐn)?shù),把班里的平均分一下子就拉下來(lái)了。(學(xué)生加重了帶著重號(hào)詞語(yǔ)的讀音)
師:你所說(shuō)的“一般情況”是指什么?
生:我?guī)退忉?,“一般情況”就是指一組數(shù)據(jù)中不能出現(xiàn)特別大或特別小的數(shù)據(jù),數(shù)與數(shù)之間差距不能太大。
生:小芳班有一個(gè)人只得2分,暫且不說(shuō)他與最高分100分相差太大,就是與大多數(shù)人的80分也有不小的距離。這個(gè)2分,對(duì)全班的平均分影響太大了。
師:怎樣影響?
生:把平均分拉低了很多很多。所以讓小芳成績(jī)高于平均分。這個(gè)平均分低于班上大多數(shù)同學(xué)的成績(jī),不能代表班上成績(jī)的中等水平。
(同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭表示贊同。)
師:確實(shí)像你們分析的這樣,平均數(shù)也有“失靈”的時(shí)候。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值比較集中,差異不大時(shí),平均數(shù)能較好地反映該組數(shù)據(jù)情況的中等水平。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)時(shí),平均數(shù)往往就不能代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”(統(tǒng)計(jì)學(xué)稱之為“一般水平”)。平均數(shù)“失靈”,我們用什么樣的“數(shù)”衡量小芳的成績(jī)?cè)诎嗌咸幱谠鯓拥乃侥?
師:數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科。今天,我們就來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念“中位數(shù)”,以幫助我們解決這個(gè)問(wèn)題。
(點(diǎn)評(píng):中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)組一般水平的數(shù)據(jù)。為了讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)平均數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)而認(rèn)識(shí)中位數(shù)的內(nèi)涵,教師沒(méi)有直接呈現(xiàn)中位數(shù)概念,而是創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知“沖突”,以“平均數(shù)”為參照物,引出“中位數(shù)”的概念,體會(huì)“中位數(shù)”的意義。體會(huì)到學(xué)習(xí)中位數(shù)的必要性。)
教學(xué)片段二:情景體驗(yàn)。動(dòng)態(tài)生成。破解“何為中位數(shù)?”
師:從字面意義來(lái)理解,你認(rèn)為“中位數(shù)”是怎樣的數(shù)?
生:處在中間位置的數(shù),叫做“中位數(shù)”。
師:從定義的角度來(lái)理解,你的說(shuō)法是正確的;從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)理解,你的說(shuō)法還需要補(bǔ)充條件。
(屏幕演示:把一組數(shù)據(jù)按順序排列后。處在最中間位置的數(shù)叫做中位數(shù)。)
師:為什么要添加“把數(shù)據(jù)按順序排列”這個(gè)前提條件呢?
(沒(méi)有學(xué)生回答)
師:這樣吧,我們現(xiàn)場(chǎng)做一個(gè)演示,請(qǐng)五位同學(xué)協(xié)助完成。(教師選擇5位同學(xué)到臺(tái)前站成一排,用A4紙標(biāo)明各自的
身高。)
師:請(qǐng)認(rèn)為自己身高數(shù)是中位數(shù)的同學(xué)往前移一步。
(B和C都前移了一步)
師:C,你出來(lái)的理由是……?
C:因?yàn)槲艺驹谶@五個(gè)人的最中間。所以我是“中位數(shù)”。
(教師沒(méi)有表態(tài),把C和D調(diào)換了一個(gè)位置,并讓D向前移了一步,大聲宣布D是中位數(shù)。)
師:看出問(wèn)題了嗎?
(學(xué)生沒(méi)有表態(tài),若有所思。教師又把A和c調(diào)換了一個(gè)位置,并讓A前移了一步,大聲宣布A是中位數(shù)。)
生:不對(duì)。這么說(shuō),誰(shuí)(的身高數(shù))都可以是中位數(shù)。
生:我明白了,把他們的身高按從高到低或者從低到高的順序排列起來(lái),最中間的數(shù)才是中位數(shù)。
師:你們真聰明!中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間確定的、唯一的數(shù)。
(說(shuō)著,老師站到五人隊(duì)伍的一端。)
師:這時(shí)的中位數(shù)是誰(shuí)?(學(xué)生誰(shuí)也沒(méi)有往前移動(dòng)一步,面面相覷。)
生(自言自語(yǔ)):6個(gè)人不好找中間數(shù)。
師:對(duì)照中位數(shù)的定義,誰(shuí)最不可能是中位數(shù)?請(qǐng)退后一步。
(師、C、E和A在眾學(xué)生的指揮下相繼退后,剩下D和B。)
師:D和B你們?yōu)槭裁床煌撕竽?
生(搶著說(shuō)):他們兩個(gè)是最靠近中間的數(shù)。誰(shuí)退去都不能。
師:可是中位數(shù)只有一個(gè)。
生:那么就只好取他們兩個(gè)的身高平均數(shù)了。
小結(jié):當(dāng)一組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是單數(shù)時(shí),正中間的數(shù)是中位數(shù),當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是雙數(shù)時(shí),正中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。
(點(diǎn)評(píng):從字面上理解中位數(shù)的意義及求法并不困難,難的是如何幫助學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)、理解中位數(shù)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展變化。教師提供適度的活動(dòng)時(shí)間和空間。讓學(xué)生在具體的操作活動(dòng)中體會(huì)中位數(shù)。)
教學(xué)片段三:整合挖掘,促進(jìn)內(nèi)化,破解“究竟該選誰(shuí)?”
(教師請(qǐng)剛才的五位同學(xué)按順序排好。)
師:這五位同學(xué)身高的中位數(shù),我們剛才已經(jīng)知道它是138厘米,能快速計(jì)算出他們身高的平均數(shù)嗎?
生:平均身高是138.4厘米。
師:比較這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù),你發(fā)現(xiàn)了什么?
生:它們非常接近,不分上下。
師:為什么兩者能這么接近?你認(rèn)為其中的原因是什么?
生:可能是因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)中沒(méi)有出現(xiàn)特別偏大或偏小的數(shù)據(jù)。
師:你們的猜想完全正確。在這種情況下,用平均數(shù)或者用中位數(shù)都能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水平。
師:大家認(rèn)識(shí)身高226厘米的籃球明星姚明嗎?今天他來(lái)了。(把C的身高數(shù)換成226厘米,對(duì)C說(shuō):“你現(xiàn)在就是姚明了?!睂W(xué)生被逗樂(lè)了。)與剛才相比,這五個(gè)人身高的平均數(shù)變化了嗎?變大了還是變小了?中位數(shù)呢?(如此演示兩至三次)
小結(jié):平均數(shù)與每個(gè)數(shù)據(jù)大小變化有關(guān)。與排列位置無(wú)關(guān);中位數(shù)與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),與每個(gè)數(shù)據(jù)大小變化不一定有關(guān)。
(點(diǎn)評(píng):學(xué)生的“痛苦”往往來(lái)源于比較,尤其是對(duì)相近概念的比較,如在具體情境下,到底應(yīng)該選擇平均數(shù)還是選擇中位數(shù)來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平,是讓學(xué)生感到十分棘手的問(wèn)題。為此。必須統(tǒng)整這兩個(gè)概念,讓學(xué)生在問(wèn)題情境中,在現(xiàn)實(shí)素材中,在自主探究中,在討論交流中,感悟中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,建構(gòu)知識(shí),主動(dòng)發(fā)展。)
回顧中位數(shù)“三疑”、“三破”的教學(xué)歷程,我頗有感觸。之所以前后施教會(huì)產(chǎn)生這么大的反差,我認(rèn)為主要在以下幾個(gè)方面存在區(qū)別:
直面問(wèn)題且及時(shí)跟蹤診治,用行為改進(jìn)的方式去解決問(wèn)題,是我們提高課堂教學(xué)效能的努力方向。中位數(shù)教學(xué)的“三疑”與“三破”給了我如下啟示:
一、準(zhǔn)確定位新知識(shí)教學(xué)的支點(diǎn)。中位數(shù)的教學(xué)必須以“平均數(shù)”為參照物,讓學(xué)生在沒(méi)有排斥、否定平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義的認(rèn)知沖突中。站在另一個(gè)層次分析數(shù)據(jù),尋找到這個(gè)“合適”的數(shù)一中位數(shù),從而體會(huì)中位數(shù)的合理性。
二、體驗(yàn)缺失影響學(xué)生自主建構(gòu)。要提供適度的活動(dòng)時(shí)間和空間,引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。課堂上通過(guò)“意義數(shù)據(jù)”的演示和變換,讓學(xué)生直觀有關(guān)實(shí)例,在現(xiàn)實(shí)素材中自主探究。討論交流,自己嘗試找中位數(shù),體驗(yàn)中位數(shù)的意義和求法,并在比較中感知平均數(shù)與中位數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別,讓學(xué)生在問(wèn)題情境中建構(gòu)知識(shí),主動(dòng)發(fā)展。
三、夯實(shí)本體性知識(shí)防止誤教。由于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的缺乏,不能準(zhǔn)確理解教材,對(duì)課堂上出現(xiàn)的“偏離預(yù)設(shè)”、學(xué)生的奇思妙想難以恰當(dāng)把握,對(duì)學(xué)生自然生成的教學(xué)資源不能有效利用,就不能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的數(shù)學(xué)交流以及進(jìn)行猜想、解釋、推理和證明自己數(shù)學(xué)想法的機(jī)會(huì)。就本課教學(xué)而言,既要加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí),也要彌補(bǔ)邏輯知識(shí)的缺漏。
四、切實(shí)尊重學(xué)生的課堂權(quán)益。學(xué)生有自己的看法和意見(jiàn),教師不要一味地否定學(xué)生,而要把關(guān)注的重心放在學(xué)生質(zhì)疑、思考問(wèn)題的過(guò)程,千萬(wàn)不要代替學(xué)生觀察、思考和表達(dá),更不可強(qiáng)加給學(xué)生固定的思維模式。
(點(diǎn)評(píng)者:王敏享受國(guó)務(wù)院特殊津貼專家,榮獲“全國(guó)人民教師獎(jiǎng)?wù)隆?,廣西優(yōu)秀專家、特級(jí)教師。)