實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)原型到數(shù)學(xué)模型的自然過渡

包靜娟

數(shù)學(xué)的概念、原理、方法和理論體系都可稱為數(shù)學(xué)模型，把模型所源于其中的原始數(shù)學(xué)事實(shí)和現(xiàn)實(shí)材料稱為這一模型的“原型”。數(shù)學(xué)新課程強(qiáng)調(diào)，要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。眾多教學(xué)實(shí)踐也證明。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助數(shù)學(xué)原型，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可以大大促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

數(shù)學(xué)向?qū)W生傳達(dá)的是一種“模型”的思想，數(shù)學(xué)模型源于原型、又高于原型。課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從數(shù)學(xué)原型到數(shù)學(xué)模型的知識(shí)創(chuàng)造過程，消除數(shù)學(xué)原型對(duì)概念學(xué)習(xí)的干擾，深化數(shù)學(xué)理解。

一、注重問題設(shè)計(jì)

為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解，必須精心設(shè)計(jì)問題，讓設(shè)計(jì)直觸問題要害。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聚焦式思考，鼓勵(lì)學(xué)生在重要的概念上?；ǜ嗟臅r(shí)間深入持久透徹地理解。這就要求教師能分析出教材中的重點(diǎn)，突出重點(diǎn)中的精華。例如，平行線的畫法是教學(xué)的難點(diǎn)，為此教師精心設(shè)計(jì)了問題串，引發(fā)學(xué)生思考：①摸底：你準(zhǔn)備怎樣畫平行線?(想到描和移。但發(fā)現(xiàn)用移的方法容易移歪)②質(zhì)疑：怎樣移，畫出來的就一定是原直線的平行線呢?(學(xué)生感到困惑無助)③原型啟發(fā)：(觀看紗窗平移)是什么保證窗戶邊平移前后所在的直線一定互相平行?(靠著軌道滑行)④移植：能不能在畫平行線時(shí)也安裝個(gè)軌道，讓它有個(gè)依靠?怎么安裝?安裝時(shí)要注意什么?⑤定位：畫平行線要經(jīng)歷哪些步驟?(對(duì)、靠、移、畫)這一環(huán)節(jié)由“為什么要靠”到“用什么靠”，再到“怎樣靠”，構(gòu)成了一條主題鮮明、各環(huán)相融、對(duì)話引證的問題串。其中，把“窗戶軌道”這一生活原型提煉成了數(shù)學(xué)模型。更好地突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。

二、豐富表象積累

從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來看，原型是有豐富的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作支撐的數(shù)學(xué)事實(shí)或現(xiàn)實(shí)材料。便于學(xué)生能自然地從頭腦中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，比較順利地完成從原型到模型的認(rèn)識(shí)過程，溝通經(jīng)驗(yàn)世界與數(shù)學(xué)世界的聯(lián)系。

“三角形的認(rèn)識(shí)”一課，三角形“高”的定義和畫法是本課教學(xué)的難點(diǎn)。為此，教師將“兩個(gè)人比高矮”之類的情境置換成兩個(gè)三角形比高矮，既保留了生活原型中“水平為底、豎直為高”這一關(guān)鍵特征，又滿足了三角形高的教學(xué)這一要求。通過提問“不轉(zhuǎn)動(dòng)三角形，你能把高畫出來嗎”。促使學(xué)生從“水平方向的底、豎直方向的高”這一生活原型中，抽取“垂直”這一本質(zhì)特征，在“非水平方向的底”上作出“非豎直方向的高”，從而，使學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了由生活原型到數(shù)學(xué)概念的飛躍。

同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生全面考察了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中高的各種表現(xiàn)形式，進(jìn)一步深刻理解高的概念。當(dāng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)遇到困難(尤其在認(rèn)識(shí)鈍角三角形外高)時(shí)，可以利用高的原型(如將求作高的底邊轉(zhuǎn)到水平位置)，在變化的情境中認(rèn)識(shí)高的意義和畫法。這種不斷穿梭于原型和模型之間的學(xué)習(xí)，不僅能幫助學(xué)生形成對(duì)當(dāng)前知識(shí)的深刻理解，并將有效地促進(jìn)后續(xù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)。即使從最壞的情況看——學(xué)生忘記了高的意義和畫法，只要還有原型存留腦中，還有從原型到模型——這種對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)方法存留腦中。就有可能借助原型重新發(fā)現(xiàn)這些遺忘的知識(shí)。

三、適時(shí)抽象本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有許多概念屬于描述性概念，即通過描述的方法，借助具體圖像、實(shí)例來說明概念的內(nèi)涵。但由此帶來的結(jié)果往往是學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)始終停留在一種模糊表象的層面上，對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)并沒有十分清晰的把握。

蘇教版二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)線段”一課，以“毛線”作為線段的生活原型引入概念。例題呈現(xiàn)了把一根線放在桌上是彎曲的，用手捏住線的兩端拉緊，它就直了。一教師組織了相應(yīng)的活動(dòng)，但由于沒有適時(shí)揭示概念的本質(zhì)屬性“線段是直的，有兩個(gè)端點(diǎn)，線段有長短”，從而導(dǎo)致學(xué)生只關(guān)注毛線的物理屬性，鬧出了笑話，認(rèn)為線段就是“有顏色的”，“線段可以用來補(bǔ)衣服”等。

由實(shí)物的感知開始，通過觀察、操作、語言描述逐步建立概念，是“線段”教學(xué)的基本步驟。教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“線段”這一概念的生活原型——拉直的線進(jìn)行觀察和操作，再借助形象揭示概念。通過描述性的定義適時(shí)抽象出線段的數(shù)學(xué)意義，引導(dǎo)學(xué)生建立線段的正確概念。兒童的概念學(xué)習(xí)要經(jīng)歷具體——表象——抽象的過程，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在直觀物體和抽象概念之間搭建橋梁，正如蘇霍姆林斯基所言，“直觀手段應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去”。

四、突破原型框架

原型不但能啟發(fā)學(xué)生在正確理解和解決數(shù)學(xué)問題上找到捷徑。更為學(xué)生創(chuàng)造想象的發(fā)展提供了廣闊的空間。它的意義絕不僅僅在于被當(dāng)作模具來完成塑像任務(wù)，它是創(chuàng)造、創(chuàng)新的“點(diǎn)金石”。正因?yàn)橛辛嗽偷膯l(fā)，人們才插上聯(lián)想的翅膀，把知識(shí)不斷完善，把技術(shù)不斷更新。而這種突破原型框架、優(yōu)化解題方案的過程。正是創(chuàng)造性思想形成和發(fā)展的過程。我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生利用原型啟發(fā)找到更多、更好的解決方法，變被動(dòng)為主動(dòng)，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

例如，在講“正比例的意義”時(shí)，課前讓學(xué)生觀賞了泰勒斯測(cè)量金字塔高度的方法。用“桿高和影長成正比”的關(guān)系引入課題。講完正比例的意義后，又提出了一個(gè)問題：“泰勒斯的方法是不是最好?你有更好的解決辦法嗎?”學(xué)生們熱烈的發(fā)表意見：泰勒斯只在“桿高=影長”時(shí)才能測(cè)量，有一定的局限性，而根據(jù)“桿高和影長成正比例”的關(guān)系，我們?cè)谌魏斡刑柕臅r(shí)候都可以測(cè)量!

當(dāng)然。并非所有內(nèi)容都需實(shí)施原型教學(xué)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些內(nèi)容純屬人為規(guī)定，其合理性往往難以或不必通過現(xiàn)實(shí)情境加以詮釋。例如引進(jìn)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，是研究整數(shù)性質(zhì)的需要。雖然我們可以找到應(yīng)用質(zhì)數(shù)的實(shí)例，但無法讓學(xué)生明白為什么要把自然數(shù)按約數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。又如四則混合運(yùn)算的順序，為什么要規(guī)定先乘除，后加減，純粹是為了保證運(yùn)算結(jié)果的唯一性。

從原型到模型的學(xué)習(xí)，正是數(shù)學(xué)的原創(chuàng)過程在教學(xué)中的體現(xiàn)，這不僅有利于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，也是一種人類文化。也有利于逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)針對(duì)小學(xué)生的生理、心理和年齡特征。充分利用原型的直觀性，抓住關(guān)鍵，突破重點(diǎn)，啟發(fā)、開拓思路，不斷培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。