數(shù)學(xué)美淺探

湯平洋

摘要：“樂(lè)學(xué)”教育與美育緊密相連，課程美育呼喚數(shù)學(xué)美的出現(xiàn)。本文對(duì)此進(jìn)行了探討，認(rèn)為數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一部分，它有“創(chuàng)造”“真”“善”的內(nèi)容，有美的形式，有審美主體“張力形式”和“同形同構(gòu)”的審美特點(diǎn)。這一觀點(diǎn)打開(kāi)了數(shù)學(xué)課程美的奧秘之門。

關(guān)鍵詞：科學(xué)美；數(shù)學(xué)美；內(nèi)容；形式；審美

在國(guó)家基礎(chǔ)教育課程改革中，人們關(guān)注以“樂(lè)學(xué)”為主旨的人性化教育，越來(lái)越注重把美育滲透在各科教學(xué)中。這既能激發(fā)學(xué)生對(duì)課程的興趣，提高教學(xué)效果，也使學(xué)生受到課程美的滋養(yǎng)，有益于形成美的人格。因此對(duì)課程美的探索、對(duì)課程美育的探索就成為了人性化教育中的一大熱點(diǎn)。數(shù)學(xué)是一門極具抽象性的課程，它離傳統(tǒng)意義上的“美”距離較遠(yuǎn)，因此數(shù)學(xué)美育的理論和實(shí)踐的研究顯得十分重要。

一、數(shù)學(xué)美的概念

數(shù)學(xué)美是“科學(xué)美”在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的表現(xiàn)。傳統(tǒng)的美學(xué)觀念認(rèn)為：“美是自由創(chuàng)造的形象體現(xiàn)”“美是一種情感上的有感染力的形象”（楊辛、甘露，《美學(xué)原理新篇》）。以此“美的定義”來(lái)觀照數(shù)學(xué)課程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué)，它不具有形象性，也不具備情感性，而表現(xiàn)出嚴(yán)正的以理服人的客觀性，因而遠(yuǎn)離“美”的范疇。但是現(xiàn)代美學(xué)研究糾正了這種看法。2003年結(jié)題的國(guó)家基金項(xiàng)目成果《科學(xué)與藝術(shù)的審美創(chuàng)造》介紹——《自然科學(xué)的審美創(chuàng)造研究簡(jiǎn)介》（以下簡(jiǎn)稱《簡(jiǎn)介》）提出了“科學(xué)美”“數(shù)學(xué)美”的概念。

《簡(jiǎn)介》指出“傳統(tǒng)的關(guān)于美的定義大多是藝術(shù)美的定義，甚或是在不認(rèn)可存在科學(xué)美的觀念下作出的美的定義。該成果在充分論述了科學(xué)有美和可以進(jìn)行科學(xué)審美創(chuàng)造的基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)關(guān)于科學(xué)和藝術(shù)美的統(tǒng)一定義：美是實(shí)在動(dòng)心的有意義的張力形式。其中，‘實(shí)在動(dòng)心指出了美產(chǎn)生的基礎(chǔ)是實(shí)在客體和感美主體契合的統(tǒng)一?！饬x包括‘意味和‘真義兩個(gè)方面，在藝術(shù)里是指其‘意味，在科學(xué)里指其‘真義，即客觀規(guī)律、藝術(shù)的內(nèi)容即是形式意味，科學(xué)的內(nèi)容是形式真義?！畡?dòng)心也包括兩個(gè)方面的意思：就藝術(shù)而言是指主體的‘動(dòng)情，就科學(xué)而言是主體的‘動(dòng)智。于是藝術(shù)美即是令人動(dòng)情的有意味的形式，科學(xué)美即是令人動(dòng)智的有真義的形式?！边@里提出了“科學(xué)美”的概念，并指出“科學(xué)美”具有“真義”“動(dòng)智”的特點(diǎn)?！逗?jiǎn)介》在“科學(xué)研究者在審美創(chuàng)造活動(dòng)中以美啟真表現(xiàn)”里指出“科學(xué)研究在追求對(duì)稱和諧、邏輯簡(jiǎn)單性和數(shù)學(xué)美的同時(shí)，將促使科學(xué)理論不斷向深刻化方向前進(jìn)”。這里極其明白地指明了“數(shù)學(xué)美”的存在。

二、數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵

1.數(shù)學(xué)美的內(nèi)容

傳統(tǒng)的美學(xué)觀念在美的定義里以其形象性、情感性排斥數(shù)學(xué)美。但又以其“自由創(chuàng)造”論標(biāo)示了數(shù)學(xué)美的內(nèi)容?！睹缹W(xué)原理新編》中說(shuō)，“美是自由創(chuàng)造的形象體現(xiàn)，而自由創(chuàng)造又是合目的性、合規(guī)律性的統(tǒng)一?！焙虾跻?guī)律性是真，合乎目的性（即合乎功利性，人的目的性都體現(xiàn)一定功利要求）即是善。在這一美的定義解說(shuō)里，有三種因素可以看作數(shù)學(xué)美的內(nèi)容：

（1）創(chuàng)造。數(shù)學(xué)科學(xué)規(guī)律存在于廣袤的宇宙之中，數(shù)學(xué)規(guī)律的抽象、總結(jié)都是人們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)意味著發(fā)現(xiàn)者的“創(chuàng)造”，陳景潤(rùn)對(duì)“哥德巴赫猜想”的證明離成功還有一步之遙，就轟動(dòng)了世界，牛頓和尼布萊茲創(chuàng)立了微積分，同時(shí)也開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代物理學(xué)。人們從其數(shù)學(xué)成果里同樣能感受到“人的本質(zhì)力量對(duì)象化”的激動(dòng)與愉悅，整個(gè)人類從形成的數(shù)學(xué)中觀照著自身的智慧，由此而產(chǎn)生的一切愉悅和激動(dòng)是超乎單個(gè)的藝術(shù)美產(chǎn)生的愉悅之上的。人類創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)創(chuàng)造了一切，也包括藝術(shù)。因而，形成數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造是最具智慧的創(chuàng)造，也是最具美感的創(chuàng)造。

（2）真。合乎規(guī)律是真。數(shù)學(xué)揭示的宇宙間物象的普遍規(guī)律極其真實(shí)地反映著客觀世界。例如，易經(jīng)八卦揭示了宇宙的對(duì)立統(tǒng)一性，它就可以用二進(jìn)制數(shù)表示出來(lái)。電腦的產(chǎn)生與研制就是基于數(shù)學(xué)的二進(jìn)制。又如質(zhì)能公式E＝mc2揭示了時(shí)間的相對(duì)性——物體在超光速運(yùn)行下會(huì)出現(xiàn)時(shí)間倒流的現(xiàn)象。一切物理的化學(xué)的還是生物的理論及規(guī)律被數(shù)學(xué)表現(xiàn)得淋漓盡致。合乎邏輯是真，合規(guī)律就其本質(zhì)而言就是合邏輯。數(shù)的運(yùn)算法則就是一個(gè)邏輯系統(tǒng)，真實(shí)地反映了事物的因果關(guān)系，表現(xiàn)出極強(qiáng)的動(dòng)智審美特點(diǎn)。

（3）善。合乎人類目的性是善，數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識(shí)世界的工具，也是人類反映世界的手段。它的產(chǎn)生承載著人類從原始走向文明，從蒙昧走向科學(xué)。它既可以表現(xiàn)為計(jì)算機(jī)運(yùn)算——無(wú)人自動(dòng)化生產(chǎn)、數(shù)字影視娛樂(lè)，也可以表現(xiàn)為宇宙飛船定位航行——在天體星際間定點(diǎn)來(lái)往。給人類帶來(lái)無(wú)窮的?；荩瑹o(wú)限的樂(lè)趣，無(wú)盡的理想。在實(shí)現(xiàn)人類的目的上具有無(wú)與倫比的善益性。數(shù)學(xué)以其最具“創(chuàng)造性”“真義性”和“善益性”與傳統(tǒng)美的觀念相對(duì)接，而表現(xiàn)出“理性的美”。

2.數(shù)學(xué)美的形式

《美學(xué)原理新編》中指出“形式美具有獨(dú)立的意義，而形式美對(duì)美的具體內(nèi)容帶有相對(duì)的獨(dú)立性”“形式美概括了美的形式的某些共同特征，具有一定的抽象性”。數(shù)學(xué)對(duì)客觀世界中美的形式的抽象是多種多樣的。就幾何而言：“圓形柔和飽滿；方形剛勁大方；立三角有安全感，倒三角具傾危狀”“相交線表現(xiàn)為激蕩；平行線表現(xiàn)為安穩(wěn)”。就數(shù)而言，它抽象著時(shí)間與空間：如用正、負(fù)數(shù)表示未來(lái)與過(guò)去，用三維數(shù)、四維數(shù)、多維數(shù)來(lái)表示三維空間、四維空間、多維空間；它抽象著有限與無(wú)限：如有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)。數(shù)學(xué)抽象著整個(gè)物質(zhì)世界。

數(shù)學(xué)美的形式和美式（一般指藝術(shù)美）中的形式美的法則也是一致的。如：

單純齊一：?jiǎn)渭兪且?jiàn)不到明顯的差異和對(duì)立因素，齊一是一種整齊的美。如各種口訣表的形式，楊輝三角遞增的一致性，圓形是單純的代表、正方形是整齊的標(biāo)志。

對(duì)稱均衡：對(duì)稱均衡是指以中軸為標(biāo)志兩側(cè)的形式相同或相似。如對(duì)角線分開(kāi)的平行四邊形、直徑線中分的圓、數(shù)軸兩邊的正負(fù)數(shù)等。

調(diào)和對(duì)比：調(diào)和是差異中趨向于同。如數(shù)的進(jìn)制中的十進(jìn)制，每一位上的數(shù)字是不同的，但每一位上是10個(gè)數(shù)字是相同的，顯示一種調(diào)和的美；對(duì)比是差異中傾向于異。如正數(shù)與負(fù)數(shù)、加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方等表示著物量間的矛盾對(duì)比關(guān)系。

比例：如相似、位似，同形同構(gòu)，及各種變換都反映了整體與局部、局部與局部之間的“勻稱”關(guān)系。就一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，“黃金分割”是視覺(jué)上最和諧的比例。

節(jié)奏韻律：如三角函數(shù)公式及周期規(guī)律，數(shù)列與級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等。

多樣統(tǒng)一：數(shù)學(xué)理論、規(guī)律與內(nèi)容更是反映了多樣統(tǒng)一的法則。如數(shù)形結(jié)合的法則，代數(shù)式、方程與函數(shù)的關(guān)系等。數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富而不雜亂，統(tǒng)一而不單調(diào)。數(shù)學(xué)理論真正達(dá)到了整體的和諧性。

綜上所述，不難想見(jiàn)，數(shù)學(xué)普遍遵循形式美的對(duì)稱性法則、簡(jiǎn)單性法則、和諧統(tǒng)一性等法則。

三、數(shù)學(xué)的審美

1.數(shù)學(xué)審美的心理機(jī)制

“就科學(xué)審美活動(dòng)而言，當(dāng)有意義的張力形式與主體的審美心理的張力形式同形同構(gòu)，審美主體就有了動(dòng)智的美感。就有可能把握到實(shí)在美的本質(zhì)并產(chǎn)生出科學(xué)美的概念和符號(hào)體系，即作出科學(xué)審美的創(chuàng)造。”（《簡(jiǎn)介》）數(shù)學(xué)審美與科學(xué)審美的機(jī)制一樣，人們?cè)趯徱晹?shù)學(xué)理論時(shí)往往能夠產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的動(dòng)智愉悅，激起各種智力猜想，以致對(duì)它產(chǎn)生不可自制的迷戀，涌起傾心向往的審美情感。正是這種審美情感驅(qū)使人們投入到數(shù)學(xué)探索研究之中，從而促使新的理論的誕生。

2.數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造

數(shù)學(xué)課程美的揭示與審美主體（學(xué)生）頭腦中形成美的張力形式“同形同構(gòu)”時(shí)，便可產(chǎn)生數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造。數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造的形成有如下的過(guò)程特點(diǎn)：①出現(xiàn)數(shù)學(xué)美。在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)美，給學(xué)生提供審美對(duì)象。一方面是顯示數(shù)學(xué)美的內(nèi)容：如對(duì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的介紹，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)美的自由創(chuàng)造；指出各種數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)邏輯對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的揭示，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的真美；在教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，同時(shí)介紹這種知識(shí)給人類帶來(lái)的?；荩@示數(shù)學(xué)的善美。另一方面是展現(xiàn)數(shù)學(xué)的形式美，理解數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)的抽象形成美的形式；明確數(shù)學(xué)形式美的法則，特別是上述六種基本法則。②養(yǎng)成數(shù)學(xué)審美觀。即構(gòu)建學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)美的張力形式。這步工作是和揭示數(shù)學(xué)美同步進(jìn)行的。③審美對(duì)象與審美觀溝通結(jié)合，實(shí)現(xiàn)審美創(chuàng)造。教師的數(shù)學(xué)美育就在于對(duì)學(xué)生與數(shù)學(xué)美之間進(jìn)行啟發(fā)性溝通。