拋物線定義的教學(xué)①

朱勝強(qiáng)

(南京外國語學(xué)校 210008)

1 問題的提出

蘇教版教材對于橢圓、雙曲線及拋物線等圓錐曲線定義的介紹統(tǒng)一地放在“圓錐曲線與方程”這章的第一小節(jié)“圓錐曲線”中.

先讓學(xué)生直觀感知,用不同的平面截圓錐面可得到三類不同曲線(如圖1),并以橢圓為例,用Dandelin雙球引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特性,形成橢圓的定義.這樣處理,便于讓學(xué)生參與到定義形成的思維活動中來,改變了以往學(xué)生只能被動接受的局面,有利于學(xué)生更深刻地認(rèn)識橢圓.類比橢圓得到雙曲線的定義也就顯得順利成章了.

圖1

圖2

然而,教材在給出拋物線定義之前卻未能像橢圓那樣做充分的鋪墊.但拋物線又不能像雙曲線那樣可與橢圓進(jìn)行充分類比.在拋物線定義之前,教材只有如下一段文字:

對于第三種情形(指圖1中的③),平面與圓錐曲線的截線是一條曲線,截線上任意一點(diǎn)到平面內(nèi)一個定點(diǎn)的距離與一條定直線的距離相等.

無論是文字還是圖形,學(xué)生都無法從中看出這一幾何性質(zhì)的由來.平面內(nèi)的一個定點(diǎn)是哪一點(diǎn)?一條定直線是哪一條直線?是怎么發(fā)現(xiàn)的?在獲得橢圓、雙曲線定義后,拋物線的定義卻成了學(xué)生前進(jìn)道路上的攔路虎,他們不得不等待教師的點(diǎn)撥.

許多教師也覺得拋物線定義的教學(xué)比較棘手,因而干脆就將定義直接告訴學(xué)生,認(rèn)為這樣做反正也不會影響后續(xù)圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不只是限于讓學(xué)生掌握既有知識,還應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程,讓學(xué)生學(xué)會主動獲取知識,學(xué)會數(shù)學(xué)地思考.從這樣的角度來看,又該如何進(jìn)行拋物線定義的教學(xué)呢?教材在這里為我們留下了較大的思考空間.

2 引導(dǎo)學(xué)生定義拋物線

圓錐曲線體現(xiàn)了事物間對立統(tǒng)一的關(guān)系.幾類曲線都可由平面截圓錐面而得,當(dāng)平面與圓錐面軸線所成的角變化時,所得截線便可由圓變?yōu)闄E圓,再變?yōu)閽佄锞€、雙曲線.因此,雖然拋物線與橢圓、雙曲線是不同的曲線,但它們在本質(zhì)上應(yīng)存在著相互聯(lián)系,這可成為溝通已知與未知橋梁.

但教材對橢圓、雙曲線、拋物線間的聯(lián)系是在“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”中才給出的,安排在三種圓錐曲線學(xué)習(xí)之后.所以,在剛接觸圓錐曲線時,便介紹統(tǒng)一定義,顯得不合適.

其實(shí),能反映圓錐曲線間聯(lián)系的不僅僅是統(tǒng)一定義.從一些常用的作圓錐曲線的方法中也能看出不同曲線間的聯(lián)系.有的作法既能作橢圓,也能作雙曲線.當(dāng)部分條件變化時,橢圓可變?yōu)殡p曲線,或雙曲線變?yōu)闄E圓.這種演變的過程往往為新的發(fā)現(xiàn)提供了契機(jī).

下面我們來看一種常用的作橢圓、雙曲線的方法.

在平面內(nèi)選定兩點(diǎn)K,F1,在直線KF1上取一點(diǎn)F2.以F2為圓心,F2K為半徑作圓C,在C上取一動點(diǎn)G,連結(jié)GF1,作線段GF1的垂直平分線交直線GF2于點(diǎn)P.則PF1=PG.

當(dāng)F1在C的內(nèi)部時,PF1+PF2=F2K,F1F2

當(dāng)F1在C的外部時,|PF1-PF2| =F2K,F1F2>F2K,可知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(如圖4).

圖3

圖4

改變點(diǎn)F2在直線KF1上的位置,所得曲線會發(fā)生相應(yīng)的變化,既可得到橢圓,又可得到雙曲線.

若F2在KF1的延長線上不斷向右移動,直線PG與直線KF1逐漸趨向于平行.得到的橢圓會變得越來越扁,越來越長.當(dāng)F2向右充分遠(yuǎn)時,過K的圓弧看起來也像一條與KF1垂直的直線,PG則像是與直線KG垂直的直線(如圖5).

若F2在F1K的延長線上不斷向左移動,過K點(diǎn)的圓弧及直線PG也會發(fā)生同樣的變化 (如圖6).

圖5

圖6

無論F2無限向左還是無限向右運(yùn)動,對應(yīng)的雙曲線或橢圓都無限趨近于同一條“看起來很像拋物線”的曲線.夾在所有這些雙曲線與橢圓之間的曲線會是一條什么樣的曲線呢?

將過K的圓弧用過K且與KF1垂直的直線l代替,G為l上的動點(diǎn),過G垂直于l的直線與線段GF的垂直平分線交于點(diǎn)P,這時P的軌跡會怎樣呢?

橢圓、雙曲線的定義中,曲線上點(diǎn)的幾何特征都是用距離來刻畫的.這一曲線上點(diǎn)的幾何特征也能用距離來刻畫嗎?

圖7

在平面中作出到定點(diǎn)F1的距離等于到定直線l的距離的點(diǎn)的軌跡(如圖7),學(xué)生很自然地認(rèn)為這是拋物線.至此,也就明確了拋物線的定義.

3 說明截線是拋物線

在新課程教學(xué)中學(xué)生會遇到三種稱之為“拋物線”的曲線.一是初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的圖象;二是平面截圓錐面所得的一類截線;三是用定義給出的拋物線.其中二次函數(shù)的圖象與定義給出的拋物線間的關(guān)系,在學(xué)習(xí)了拋物線方程后會很自然得到說明.為什么平面截圓錐面得到的截線是定義所指的拋物線呢?這樣的問題是許多學(xué)生在學(xué)習(xí)了拋物線定義后未必真正清楚的.用蘇教版教材進(jìn)行拋物線定義教學(xué)時,對問題答案的期待則更顯特殊.因?yàn)榻鼐€是橢圓與雙曲線時,都有了合理的解釋.

如何說明平面截圓錐面所得截線(即圖1③)的確是拋物線,這需要從拋物線的定義的角度來給出解釋.不妨仍借助Dandelin球來嘗試解決這一問題.

圖8

設(shè)平面α不過圓錐面的頂點(diǎn)且與軸線所成的角恰好等于母線與軸線的夾角.α截圓錐面得截線.取一球使其與圓錐面及平面α均相切.記球與平面α的切點(diǎn)為F(如圖8).

在截線上任一點(diǎn)P,記過P的圓錐面的母線與球面的切點(diǎn)為Q,則PF=PQ.

要說明截線符合拋物線的定義,還需在平面α內(nèi)找一條直線l.如何確定這樣的直線呢?

不妨做一個假想,這條直線不會憑空產(chǎn)生,應(yīng)該是某一平面與α的交線.這就需要找一個與α相交的平面.

觀察圖形,目前有的是圓錐面與球面,都是曲面.除平面α外,并沒有其他現(xiàn)成的平面.有沒有隱藏著的,未被察覺的平面呢?仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)圓錐面與球面相切的切點(diǎn)構(gòu)成了一個圓,是平面圖形,自然會確定一個平面.不妨設(shè)這個平面為β,顯然β與軸線垂直.平面α,β有一條交線,記為l.

l是否符合要求呢?也就是P到F的距離是否等于P到l的距離.

過P在平面α內(nèi)作l的垂線,垂足為G,設(shè)P在平面β上的射影為H.則lPG,lPH,所以l平面PGH.所以,平面PGH平面α,故PG是PH在平面α上的射影.所以∠HPG即為PH與平面α所成的角.又因?yàn)镻H與圓錐面的軸線平行.所以∠HPG等于圓錐母線與軸所成的角.所以∠QPH= ∠GPH.所以PG=PQ.又因?yàn)镻F=PQ.所以PF=PG.

也就是說,截線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F與定直線l的距離相等.這說明截線是拋物線.

4 對教學(xué)的思考

長期以來,拋物線一直是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.在大綱版教材中,拋物線定義安排在橢圓、雙曲線的第二定義之后,定義的導(dǎo)出顯得十分自然.新教材中,由于解析幾何內(nèi)容的取舍及編排順序的改變,加之教學(xué)理念的更新,使拋物線定義教學(xué)遇到了新情況.為此,教師應(yīng)充分研究教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),尋求符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)設(shè)計(jì).讓課堂思維活動有一個清新自然的過程,使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展與學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有機(jī)融合.可以看出,數(shù)學(xué)內(nèi)在的自然和諧是追求自然教學(xué)過程的源泉.在遭遇拋物線定義教學(xué)困境時,正是圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系,為解決問題提供了突破口.

教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向作用.從橢圓到拋物線或從雙曲線到拋物線,曲線的類型都發(fā)生了質(zhì)變.若以等量思維來考察曲線的變化,永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)跨越.這里引入了極限的思想或無限逼近的思想,通過直觀圖形,讓學(xué)生感受拋物線是橢圓或雙曲線在一定約束條件下無限演變后的一種極限形態(tài),在已知曲線幾何特征的襯托下,順利地發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征.在教學(xué)設(shè)計(jì)中有意識地融入數(shù)學(xué)思想,可有效地引導(dǎo)學(xué)生的思維.

在拋物線定義的教學(xué)設(shè)計(jì)中還應(yīng)考慮到學(xué)生的實(shí)際接受能力.雖然許多與《標(biāo)準(zhǔn)》配套的教材都介紹了用平面截圓錐面可得圓錐曲線,但也有多種教材并沒有用Dandelin球說明這些截線具有此后定義的圓錐曲線的性質(zhì),蘇教版也僅用它說明橢圓的性質(zhì),應(yīng)是考慮到這樣的說明對立體幾何有較高的要求的緣故.不過,在條件許可的情況下,如果能合理地通過信息技術(shù)展示圖形中的相關(guān)元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,讓學(xué)生了解到截線也符合拋物線的定義,對學(xué)生更全面地理解拋物線的定義,從整體上把握圓錐曲線或許會有所幫助.