極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展

摘 要： 極限思想談的是數(shù)學(xué)中的思維問題，它的廣泛使用是由數(shù)學(xué)本身的發(fā)展所決定的。本文以數(shù)學(xué)發(fā)展史為基礎(chǔ)，從一些典型例子中尋找極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展，主要是以歷史辯證唯物主義觀來重新分析、概述有關(guān)極限思想的問題。

關(guān)鍵詞： 極限思想 產(chǎn)生 發(fā)展 完善 思維功能

1.極限思想的產(chǎn)生

與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成有關(guān)的證明。

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”。

2.極限思想的發(fā)展

極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。

起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量與時間的改變量之比表示運(yùn)動物體的平均速度，讓無限趨近于零，對求極限得到物體的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)。他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等。”但牛頓的極限觀念是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)ｎ無限增大時，無限地接近于常數(shù)Ａ，那么就說以Ａ為極限。”人們?nèi)菀捉邮苓@種描述性語言?，F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。

正因為當(dāng)時缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說的“無窮小悖論”。英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。

貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要的，而且有著認(rèn)識論上的重大意義。

3.極限思想的完善

極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系。在很長一段時間里，許多人嘗試解決微積分理論基礎(chǔ)的問題，但都未能如愿。這是因為數(shù)學(xué)的研究對象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們對變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚，對變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解，對有限和無限的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。

到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出了各自的定義。其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量?！彼咏跇O限的正確定義。然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上的。

首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)ｆ（x）的導(dǎo)數(shù)定義為差商Δy／Δx的極限f′（x），并強(qiáng)調(diào)指出f′（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說清楚。

到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論。他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別的，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小。”

柯西把無窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識。即在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零。

柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。

為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂f(x)＝Ａ，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)Ｎ，使得當(dāng)ｎ＞Ｎ時，不等式｜f(x)－Ａ｜＜ε恒成立。”

這個定義借助不等式，通過ε和Ｎ之間的關(guān)系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動的直觀。

4.極限思想的思維功能

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識無限，從直線形認(rèn)識曲線形，從不變認(rèn)識變，從量變認(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識精確。

極限思想反映了近似與精確的對立統(tǒng)一關(guān)系，他們在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際計算的重要方法。數(shù)學(xué)分析中的“部分和”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”、“矩形的面積”、“平均速度”，分別是相應(yīng)的“無窮級數(shù)和”、“圓面積”、“曲邊梯形的面積”、“瞬時速度”的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來得到精確的。

5.用極限思想所建立的概念

極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終。利用極限的思想方法可得出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、廣義積分的斂散性、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。

參考文獻(xiàn)：

［１］李心渝主編.高等數(shù)學(xué).北京理工大學(xué)出版社，2007.4.