關(guān)于不定積分的幾點補充

摘 要：本文給出并證明了一般積分表中用遞推形式給出的15個公式的顯式表達式。

關(guān)鍵詞： 不定積分 遞推公式 分部積分

一、引言

在《數(shù)學(xué)分析》［１］［２］附錄的積分表中，有15個是給出了遞推公式的形式，筆者覺得有必要給出顯式表達式。下面筆者按文獻［１］中的標序給出相應(yīng)公式。文中我們記0！=1！=0??！=1?。?1，且每個式子中的C表示任意的常數(shù)。

【1】16.當n≠1時，

dx=#8226;x#8226;#8226;+2a#8226;arctan+C，

dx=#8226;x#8226;#8226;+a#8226;ln+C。

【2】19.xdx=#8226;-#8226;#8226;#8226;-+C。

【3】 21.我們記I=dx=ln+C，a>0arctan+C，a<0，當n≠1時，

dx

=-#8226;#8226;#8226;#8226;--I。

【4】23.I同上表示，且記（-1）!!=1，則當n≠1時，

dx=-#8226;#8226;

#8226;#8226;-++I。

【5】25.dx=#8226;-#8226;#8226;#8226;-+C。

【6】50.設(shè)m∈Z，C表示m中取k的組合數(shù)。

sinxdx=(-cosx)#8226;C#8226;+C(*)

=#8226;(-cosx)#8226;sinx#8226;+C′(**)

sinxdx==#8226;x-cosx#8226;sinx#8226;+C。

【7】51.cosxdx=sinx#8226;C#8226;+C(*)

=#8226;(sinx)#8226;cosx#8226;+C′(**)

cosxdx==#8226;-x+sinx#8226;cosx#8226;+C。

【8】54.xsinxdx=(-1)#8226;（2m+1）!#8226;（sinx-)#8226;+C，

xsinxdx=x#8226;（-cosx）+(-1)#8226;（2m）!#8226;（+cosx)#8226;+C。

【9】55.xcosxdx=(-1)#8226;（2m+1）!#8226;（cosx+)#8226;+C，

xcosxdx=x#8226;sinx+(-1)#8226;（2m）!#8226;（sinx-)#8226;+C。

【10】67.tanxdx=(-1)#8226;-ln|cosx|++C，

tanxdx=(-1)#8226;x-tanx#8226;+C。

【11】68.cotxdx=(-1)#8226;ln|sinx|-+C，

cotxdx=(-1)#8226;x+cotx#8226;+C。

【12】69.secxdx=#8226;ln||+tanx#8226;+C，

secxdx=#8226;tanx#8226;+C。

【13】70.cscxdx=#8226;ln||+cotx#8226;+C，

cscxdx=#8226;(-cotx)#8226;+C。

【14】88.xedx=(-1)#8226;n!#8226;e#8226;+C。

【15】97.（lnx）dx=(-1)#8226;n!#8226;x#8226;+C。

二、公式的證明

文獻中的遞推公式可由分部積分公式直接推出，筆者在此不再贅述，僅給出上述15個公式的歸類證明。

證明：（1）公式【1】—【5】及【14】【15】。

設(shè)I=f(n)#8226;I+g(n)，

I=f(n)#8226;I+g(n)=f(n)#8226;［f(n-1)#8226;I+g(n-1)］+g(n)

=f(n)#8226;f(n-1)I+［g(n)+g(n-1)#8226;f(n)］

=f(n)#8226;f(n-1)#8226;f(n-2)I+［g(n)+g(n-1)#8226;f(n)+g(n-2)#8226;f(n)f(n-1)］

=L

=f(n-k)I+g(n-k)#8226;f(n-i)。

（2）公式【6】—【13】。

設(shè)J=s(n)#8226;J+t(n)，

J=s(n)#8226;J+t(n)=s(n)#8226;［s(n-2)J+t(n-2)］+t(n)

=s(n)#8226;s(n-2)J+{t(n)+t(n-2)#8226;s（n）}

=s(n)#8226;s(n-2)#8226;s(n-4)J+{t(n)+t(n-2)#8226;s(n)+t(n-4)#8226;s(n)#8226;s(n-2)}

=L

=s(n-2k)J+t(n-2k)s(n-2i)。

當n=2m+1，m∈Z時，

J=s(2j+1)J+t(2j+1)s(2i+1)；

當n=2m，m∈Z時，J=s(2j)J+t(2j)s(2i)。

（3）公式【6】與【7】中的（*）部分。