對(duì)數(shù)學(xué)表象與問(wèn)題解決的探究

摘要： 本文探究了數(shù)學(xué)思維的心理元素之一——數(shù)學(xué)表象，從數(shù)學(xué)表象的特征——形象性、主觀靈活性、抽象概括性和創(chuàng)造性等四個(gè)方面，對(duì)于不同問(wèn)題，從數(shù)學(xué)表象的特征出發(fā)，提出不同的解題方式，最后提出一些解題策略。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)物象 數(shù)學(xué)表象 問(wèn)題解決

一、 對(duì)幾個(gè)概念的闡釋

1.表象

在心理文獻(xiàn)中表象（presentation）又叫意象（image）或心象（mental image）。而當(dāng)強(qiáng)調(diào)事物形象在心理活動(dòng)中的再現(xiàn)時(shí)，又叫做再現(xiàn)表象或表征（representation）。表象經(jīng)常在某種程度上是事物的概括的反映、概括的映像。表象是從具體感知到抽象思維的過(guò)渡和橋梁。

2.數(shù)學(xué)物象、數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)形象思維

數(shù)學(xué)表象是人腦對(duì)數(shù)學(xué)物象進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)的特征概括后得到的觀念性形象，它是通過(guò)邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語(yǔ)言做物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的概括了的理想化形象，使主體能夠?qū)?shù)學(xué)物象進(jìn)行自由的比較、分解、選擇、整合加工改造。加工器中以數(shù)學(xué)表象信息的加工為主流的進(jìn)行心理運(yùn)算的思維為數(shù)學(xué)形象思維。依照數(shù)學(xué)表象的特征主要分為形象性、主觀靈活性、抽象概括性和創(chuàng)造性。

3.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是指學(xué)生在新的情景狀態(tài)下，運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)面臨的問(wèn)題采用新的策略和方法尋求問(wèn)題答案的一種心理活動(dòng)過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)表象的形象性

數(shù)學(xué)表象是人腦對(duì)數(shù)學(xué)物象的反映，是主體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的心象，它是一種理想化了的形象，因而具有形象性的特征。數(shù)學(xué)表象不像具有形象那樣明晰，它是模糊的。數(shù)學(xué)表象的形象性表現(xiàn)出多樣，不管是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題還是數(shù)學(xué)推理論證，都不但具有宏觀整體（綜合）形象，還存在許多從不同的角度觀察所產(chǎn)生的不同形象。

【例１】以橢圓 + =1內(nèi)點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)弦所在直線L的方程為。

說(shuō)明：（1）已知點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直線可直接寫(xiě)出。（2）否則可求斜率，斜率可直接求或用“點(diǎn)差法”間接給出。

解法一：弦所在的直線斜率應(yīng)存在，設(shè)為k

L：y-1=k(x-1)。代入橢圓得，x +［kx+(1-k)］ 4=16，∴(1+4k )x +8k(1-k)x+4(1-k) -16=0；X ＝ =1，4k -4k=1+4k ，k=- ，所以L方程為：即y-1=- (x-1)即x+4y-5=0

解法二：設(shè)弦為AB，A(x ，y )，B(x ，y )則 =1， =1，且x+4y=16，x+4y=16，所以(x +x )(x -x )+4(y +y )(y -y )=0， =-，k =- ，下略。

簡(jiǎn)評(píng)：解法一中，有時(shí)兩邊消去K的兩次項(xiàng)也許消去K不存在的對(duì)應(yīng)解。解法二對(duì)于圓錐曲線數(shù)點(diǎn)共線時(shí)比較適宜。

三、數(shù)學(xué)表象的主觀靈活性

數(shù)學(xué)表象源于對(duì)數(shù)學(xué)物象的知覺(jué)，因而它是以個(gè)人以往的主觀經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。除了那些可以物化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形或?qū)嶒?yàn)?zāi)Ｐ偷谋硐笸?，它是私人的、易變的、模糊的，是不容易進(jìn)行交流的。數(shù)學(xué)表象作為主體內(nèi)在的“圖畫(huà)”，是一個(gè)高度發(fā)達(dá)的動(dòng)力系統(tǒng)，它能迅速靈活地組合轉(zhuǎn)化。

【例２】在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多可有幾個(gè)？（1992年全國(guó)高考題）

解：如圖，作出正方體ABCD- A B C D ，圖中四棱錐D -ABCD的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，故結(jié)果為4個(gè)。借助正方體圖形，使得本題的解答直觀而快捷。

【例3】已知a＞b＞c＞0，函數(shù)f(x)=log (x+1)，求 ， ， 。

分析：若注意到 是表示曲線上一點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率 ，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，作出y=log (x+1)的圖象，如右圖，顯然 ＜ ＜ 。

四、數(shù)學(xué)表象的抽象概括性

數(shù)學(xué)表象是數(shù)學(xué)物象在人腦中的反映，因而數(shù)的抽象概括性決定了數(shù)學(xué)表象必然具有抽象概括性的特征，數(shù)學(xué)表象還源于視知覺(jué)，存在于從具體的記憶表象抽象到創(chuàng)造表象的層次結(jié)構(gòu)，就意味著承認(rèn)數(shù)學(xué)表象具有抽象概括的功能。

在高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)有如求方程“l(fā)og (x+1)-x =0”的解。

可以分解為兩個(gè)函數(shù)f(x)=log (x+1)和g(x)=x ，然后，作出圖像，兩個(gè)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，觀察圖形，顯然就能求出x的解。

五、數(shù)學(xué)表象的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)表象建立在先前知覺(jué)的基礎(chǔ)之上，是以往大量形象信息在大腦中的儲(chǔ)存，它具有靈活易變的特點(diǎn)，能為主體對(duì)其進(jìn)行自由的比較、選擇、分解、整合、加工，從而將人們從死板的真實(shí)中解放出來(lái)，引發(fā)新的結(jié)構(gòu)、新的概念和新的關(guān)系。

【例4】已知x，y，z∈R ，x+y+z=1求證： + + ≤3 。

分析：由方差公式及非負(fù)數(shù)模型特性，有

S = ［（（3x+2)+(3y+2)+(3z+2))-( + + ) ］

= ［9- ( + + ) ］≥0

所以， + + ≤3

【例5】人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）2006年11月第2版P12例2。

已知a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，求證： ＞ 。

證明：設(shè) =M， =N則M+N=1，又N= ≤ (b＞a＞0，m＞0)

∴M=(M+N)-N≥1- = ，∴ ＞ 。

教材中是利用差比法，而通過(guò)比較，在人對(duì)數(shù)學(xué)的感知上，對(duì)式子重新組合，利用不等式的基本性質(zhì)，重新建立新的關(guān)系。從而問(wèn)題解決。

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的方法很多，有化歸法、類(lèi)比推理、歸納法等等，更重要的是從學(xué)生的心理著手，運(yùn)用人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，根據(jù)問(wèn)題在人的大腦中感知的表象，利用一題多解，建立數(shù)學(xué)模型，靈活、概括、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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［4］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)［M］.2006年11月第2版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>