臺(tái)秤示數(shù)的最小值是出現(xiàn)在擺球的最高點(diǎn)嗎

如圖1所示，一質(zhì)量為M的人站在臺(tái)秤上，手拿一質(zhì)量為m懸線長(zhǎng)為R的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且擺球正好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，求臺(tái)秤示數(shù)的變化范圍分析與解答:

臺(tái)秤所示的數(shù)值是人對(duì)臺(tái)秤的壓力，因此示數(shù)應(yīng)等于人的重力加上或減去懸線中拉力在豎直方向的分力，小球處于圓周下半周時(shí)，懸線對(duì)人的拉力方向是向下的，小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，懸線對(duì)人的拉力最大，且方向豎直向下，故此時(shí)臺(tái)秤示數(shù)最大。小球處于圓周上半周時(shí)，懸線對(duì)人的拉力方向是向上的，據(jù)題意擺球正好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，小球在最高點(diǎn)時(shí)懸線中的拉力為零。很多同學(xué)認(rèn)為臺(tái)秤示數(shù)的最小值出現(xiàn)在此位置，認(rèn)為最小值就等于人的重力Mg，出現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。之所以出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤與我們平時(shí)分析豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)總是分析最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分不開(kāi)，導(dǎo)致知識(shí)上的負(fù)遷移。仔細(xì)分析擺球的運(yùn)動(dòng)，在圓周運(yùn)動(dòng)上半周除最高點(diǎn)，懸線對(duì)人的拉力方向是斜向上的，都有豎直方向的分量，可知臺(tái)秤示數(shù)的最小值肯定不會(huì)出現(xiàn)在擺球的最高點(diǎn)，且一定比人的重力小，臺(tái)秤示數(shù)最小的位置應(yīng)在上半圓周上的某一點(diǎn)。

由以上分析可知，小球在最低點(diǎn)時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)最大，由機(jī)械能守恒定律得:mv2=mv02+2mgR。

其中v0=是小球恰過(guò)最高點(diǎn)的速度。

由此可得v=。

由T-mg=m得

T=6mg，

知懸線對(duì)人向下的拉力為T(mén)'=6mg，

臺(tái)秤的最大示數(shù)為Fmax=T'+Mg=(6m+M)g。

當(dāng)小球經(jīng)過(guò)圓周上半周時(shí)，如圖2所示，即懸線與豎直方向夾角為θ時(shí)，設(shè)其速度為v1，則有

mv12=mv02+mgR(1-cosθ)，

T1+mg cosθ= m，得T1=3mg(1-cosθ)。

其豎直方向的分力

T1y= T1 cosθ=3mgcosθ-3mgcos2θ，

即T1y=-3mg(cosθ-)2+0.75mg，

所以當(dāng)cosθ=即θ=60O時(shí)，

臺(tái)秤的示數(shù)最小，此時(shí)T1ymax=0.75mg，

故臺(tái)秤的最小示數(shù)為Fmin=Mg-T1ymax=(M-0.75m)g。

點(diǎn)評(píng):本題從能的角度討論臺(tái)秤的示數(shù)范圍，當(dāng)擺球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球在不同位置上對(duì)人的拉力并不一樣，因此臺(tái)秤的示數(shù)也不一樣。需特別注意，臺(tái)秤的最小示數(shù)不是出現(xiàn)在擺球的最高點(diǎn)上，而是在上半周懸線與豎直方向夾角為60O的位置上。

(樂(lè)亭縣湯家河高中)