讓數(shù)學(xué)既好玩又有數(shù)學(xué)味

唐彩斌

這是一個(gè)傳統(tǒng)教材沒有的內(nèi)容。作為六年級(jí)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容，“五角星”走進(jìn)了數(shù)學(xué)課堂。根據(jù)學(xué)生對(duì)五角星的了解以及小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)目標(biāo)，筆者擬定了如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）通過觀察五角星，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并能利用已學(xué)的知識(shí)和技能解決問題;

（2）經(jīng)歷觀察、操作、推理的過程，了解五角星形、邊、角、頂點(diǎn)的特點(diǎn)，并嘗試應(yīng)用已學(xué)知識(shí)求一個(gè)角的度數(shù)和五角星的面積與周長(zhǎng)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力;

（3）結(jié)合五角星的現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)學(xué)作品，感受五角星的數(shù)學(xué)美，感悟五角星的文化價(jià)值。創(chuàng)建一個(gè)適合小學(xué)生學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，總是要上下兼顧，左右權(quán)衡。筆者把原汁原味的教學(xué)流程與思考陳述如下，與大家分享，并求教大家。

教學(xué)案例

（一）引出五角星，提出數(shù)學(xué)問題。

（1）師：這是我們國(guó)家的國(guó)旗和國(guó)徽（出示國(guó)旗、國(guó)徽?qǐng)D片），在國(guó)旗和國(guó)徽上都有一個(gè)共同的圖形，是什么圖形？生：五角星。

（2）師追問：那你們能不能說說什么樣的圖形是五角星？（學(xué)生雖說認(rèn)識(shí)但表達(dá)比較難。）

師：有些事物很熟悉，但當(dāng)有人突然問是什么的時(shí)候會(huì)覺得困難，那我們就改改：說說五角星是什么樣的？（學(xué)生嘗試回答。）

（3）師：盡管你們很難說出五角星的特點(diǎn)，但是你們一定能判斷下面哪個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的五角星？（說明：3號(hào)五角星在超級(jí)畫板中是可以變化的，在變化的過程中讓學(xué)生判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)的五角星。判斷的過程實(shí)際上就是在尋找標(biāo)準(zhǔn)五角星的特點(diǎn)。）

（4）師：那么五角星到底有哪些特點(diǎn)呢？今天我們就一起來研究它。

（5）師：請(qǐng)同學(xué)們觀察標(biāo)準(zhǔn)五角星（限定研究的范圍），結(jié)合我們所學(xué)的知識(shí)和研究其他平面圖形的方法，能不能提出一些數(shù)學(xué)問題？（學(xué)生提出的問題有：五角星是不是對(duì)稱圖形？五角星的角是多少度？怎么計(jì)算五角星的周長(zhǎng)和面積？圖中有多少個(gè)頂點(diǎn)和交點(diǎn)？中心點(diǎn)在哪里？五角星的5個(gè)點(diǎn)是不是在同一個(gè)圓上？等等。）

（6）師：剛才大家提出了關(guān)于五角星的很多問題，我們選擇其中的一些按照一定順序來嘗試解決。（二）獨(dú)立思考，合作解決。

1.研究“形”。

（1）師：五角星是不是對(duì)稱圖形？有幾條對(duì)稱軸？（學(xué)生判斷。）

（2）作業(yè)紙上有兩個(gè)大小不同、角度不同的五角星，稍加變式，請(qǐng)學(xué)生畫出五角星的對(duì)稱軸。

（絕大部分學(xué)生能夠判斷出五角星是軸對(duì)稱，有5條對(duì)稱軸。）

2.研究“點(diǎn)”。

（1）師：五角星的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？（學(xué)生回答有：對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是中心點(diǎn)。

五角星中每行4個(gè)點(diǎn)，一共有5行;一共10個(gè)點(diǎn)，而不是20個(gè)點(diǎn)。我剛才畫了一個(gè)圓，發(fā)現(xiàn)五角星5個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上。）

（2）師追問：是不是所有的五角星都是這樣的呢？生：應(yīng)該是的。

（如下圖，教師用超級(jí)畫板軟件拖動(dòng)其中一點(diǎn)，五角星任意變大變小，但是無論哪個(gè)五角星，其5個(gè)頂點(diǎn)都在一圓上。這一環(huán)節(jié)雖然簡(jiǎn)單，卻包含著學(xué)生猜想-驗(yàn)證的過程，盡管是不完全歸納，但是在動(dòng)態(tài)幾何軟件的支持下，變得很“任意”，提高了不完全歸納的“完全”程度。）

3.研究“角”。

師：我們?cè)賮硌芯课褰切堑慕?，主要研?個(gè)頂角。五角星的一個(gè)角是多少度？教師啟發(fā)學(xué)生做如下的推斷：

方法1：∠2+∠4=∠6，∠3+∠5=∠7，∠1+∠6+∠7=180°，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°;所以五角星一個(gè)角的度數(shù)是180°÷5=36°。

上面右邊這組圖用來啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和。學(xué)生所需要的推理基礎(chǔ)是已學(xué)內(nèi)容：三角形的內(nèi)角和是180°，平角的度數(shù)是180°。

方法2：如方法1，根據(jù)三角形內(nèi)角和180°，推算出正五邊形的內(nèi)角和是540°，正五邊形有5個(gè)內(nèi)角，所以一個(gè)內(nèi)角是108°。又因?yàn)椤?+∠6+∠7=180°，∠6+∠1=108°，這樣可以推算出∠6=72°，∠7=72°，∠1=180°-72°×2=36°。

方法3略。

4.研究“周長(zhǎng)和面積”。

（1）師：要計(jì)算五角星的周長(zhǎng)和面積，需要度量哪幾條線段的長(zhǎng)度？生：只要量得一條邊的長(zhǎng)度，乘10便是五角星的周長(zhǎng)。

（2）師：計(jì)算面積最少需要度量哪幾條線段？為什么？（學(xué)生嘗試測(cè)量與計(jì)算。教師組織學(xué)生之間交流，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)度量出OA，以及OA邊上的高，求得三角形OAF的面積，然后乘10就是五角星的面積。）

5.研究“黃金比”。

（1）師：五角星中有很多的線段，它們的長(zhǎng)度看上去特別的舒服，這些線段之間有著怎樣的關(guān)系呢？（讓學(xué)生試著先說說自己的直覺。）

（2）引導(dǎo)學(xué)生在五角星中找出幾組具有黃金比的線段。學(xué)生按照提示找出對(duì)應(yīng)的線段：IH：（）=EI：（）=EH：（）=0.618

（3）應(yīng)用超級(jí)畫板展示動(dòng)態(tài)五角星，驗(yàn)證不同的五角星相應(yīng)的線段都具有黃金比的性質(zhì)。

（4）視學(xué)習(xí)情況補(bǔ)充一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題：五角星中很多線段之間存在黃金比，其實(shí)五角星中的很多三角形也有“黃金”的特點(diǎn)：五角星中的5個(gè)三角形均為底角是72°、頂角是36°的等腰三角形，這樣的三角形也叫“黃金三角形”，如果畫出底角的角平分線，又會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)三角形，仍然是黃金三角形?？梢酝ㄋ椎卣J(rèn)為：五角星中滿是“黃金”。

（三）回顧整理，操作應(yīng)用。

（1）師：學(xué)了今天的知識(shí)，你對(duì)五角星有了哪些新的了解？（學(xué)生回答有：五角星有5條對(duì)稱軸，一個(gè)角的度數(shù)是36度。還知道了只要測(cè)量其中一條線段就可以知道五角星周長(zhǎng)，知道2條線段長(zhǎng)度就可以計(jì)算出面積。五角星里有很多的黃金比。

五角星的5個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上。）

（2）引導(dǎo)學(xué)生回憶研究五角星的過程以及是如何分門別類地逐項(xiàng)研究的，感悟?qū)W習(xí)的基本方法。

（四）數(shù)學(xué)欣賞，課外延伸。

（1）師：關(guān)于五角星的數(shù)學(xué)問題有很多，例如著名的“奇妙的5點(diǎn)共圓”：給出一個(gè)五角星，每一個(gè)小三角形的外面都可以畫一個(gè)圓，每相鄰的兩個(gè)圓交于兩個(gè)點(diǎn)，其中之一是所得五邊形的頂點(diǎn)，另5點(diǎn)在同一圓上。還有很多美妙多變的五角星：轉(zhuǎn)動(dòng)的五角星，美妙的五角星和五邊形，還有奇妙的五角星風(fēng)車。

（2）師：五角星如此奇妙，以至除了中國(guó)，世界上有50多個(gè)國(guó)家的國(guó)旗中都有五角星，如美國(guó)、澳大利亞、新加坡等。

其實(shí)五角星的起源很早，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早的五角星圖案是在幼發(fā)拉底河下游（現(xiàn)屬伊拉克）一塊公元前3200年左右制成的泥板上。更有趣的是，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用五角星形作為他們的徽章或標(biāo)志，稱之為“健康”。還有更多的關(guān)于五角星的美妙問題等待著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)！

（3）實(shí)踐作業(yè)：課后請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)所學(xué)的知識(shí)制作一個(gè)五角星。

教學(xué)反思

在研發(fā)和執(zhí)教“認(rèn)識(shí)五角星”的前前后后，筆者曾數(shù)十次地問過專家，也不斷地反問過自己：“這樣的內(nèi)容可以進(jìn)小學(xué)課堂嗎？”專家沒有否認(rèn)，自然更加堅(jiān)定了筆者探索這個(gè)課例的信心，并把此課作為冰山一角，洞察冰山下面的一大研究領(lǐng)域——實(shí)踐與綜合應(yīng)用。

（一）有數(shù)學(xué)味的材料才可作為數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的內(nèi)容。作為一門課程的“綜合實(shí)踐活動(dòng)”與數(shù)學(xué)學(xué)科中的實(shí)踐與綜合應(yīng)用有著不同的教學(xué)定位。

“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”更關(guān)注數(shù)學(xué)的學(xué)科性。從大量成功的研究案例看來，筆者已經(jīng)漸漸明晰“好的實(shí)踐與綜合應(yīng)用”應(yīng)該是立足現(xiàn)實(shí)生活背景針對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容而開展的活動(dòng)，應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的應(yīng)用、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累以及數(shù)學(xué)思想的滲透作為活動(dòng)組織的價(jià)值取向。要讓學(xué)生覺得“好玩”，又要覺得“有味”。

“數(shù)學(xué)好玩”，是陳省身先生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的勉詞，也是學(xué)生在活動(dòng)中熱愛數(shù)學(xué)的直接感受;有味，則是需要以數(shù)學(xué)味來吸引孩子們，需要依靠數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力來驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)。若活動(dòng)仍然停留在淺淺綜合泛泛實(shí)踐，或許只是形式而已，就不是數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合應(yīng)用的目標(biāo)所在。這節(jié)課是本人基于對(duì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域的思考進(jìn)行探索的，可能并不是那種顯而易見的理想的綜合與實(shí)踐活動(dòng)素材。

但是，當(dāng)選擇了“五角星”這個(gè)素材的時(shí)候，筆者就一直沿著“數(shù)學(xué)”的路線不斷探尋五角星可以綜合的數(shù)學(xué)元素。那么它到底綜合了哪些方面的數(shù)學(xué)能力呢？

（1）關(guān)注學(xué)生提問能力和解決問題的策略?？粗环?jiǎn)單的圖從數(shù)學(xué)的角度提出問題，這么多問題如何分門別類地解決？學(xué)生從整體到局部，從點(diǎn)到線，到圖形的周長(zhǎng)和面積，在解決問題的過程中學(xué)會(huì)解決問題。

（2）借助五角星鞏固已有技能，拓展思維。判斷是否為軸對(duì)稱圖形，怎樣畫圓，怎樣應(yīng)用已有知識(shí)“三角形的內(nèi)角和180°”來推算五角星一個(gè)角的度數(shù)，怎樣計(jì)算五角星的周長(zhǎng)和面積，怎樣估計(jì)出哪些線段之間存在黃金比……這些問題的解決都是數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的應(yīng)用，但在這節(jié)課上，這些知識(shí)和技能已經(jīng)不再是孤立的存在，而是貫穿在一起。從另一個(gè)角度來說，這些技能也不是在原有水平上的重復(fù)，而是在綜合應(yīng)用中有了新的拓展，尤其是五角星一個(gè)角的度數(shù)的推導(dǎo)，雖然有“估”和“量”的基礎(chǔ)，但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)是對(duì)學(xué)生縝密的邏輯思維能力的重要挑戰(zhàn)。

（3）引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞。提升學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的能力，能萌發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更重要的是能夠激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索更廣闊數(shù)學(xué)世界的欲望。另外，相關(guān)的文化史料也富有教育意義。

與我們所熟悉的那些類似于“超市購(gòu)物”等問題相比，“五角星”這樣的素材更具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)樗辉偻Ａ粼谇榫匙儞Q下數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的鞏固，數(shù)學(xué)模型也不再是現(xiàn)成的，而是需要學(xué)生自己經(jīng)歷提出問題、解決問題的過程，積累根據(jù)實(shí)際情景自主建模的經(jīng)驗(yàn)，而這種經(jīng)驗(yàn)的積累和思想的滲透，正是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。

（二）用數(shù)學(xué)的眼光來發(fā)掘教學(xué)資源。五角星，一個(gè)非常熟悉的圖形，在現(xiàn)實(shí)生活中熟悉得有些普通。

但當(dāng)我們以數(shù)學(xué)的眼光來看待它時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)，原來它可以不斷激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并拓展他們的思維。實(shí)事求是地說，開始筆者也覺得五角星是個(gè)比較簡(jiǎn)單的圖形，隨便看看說說畫畫，就可以上成一節(jié)課。后來在備課的過程中，不斷找資料，卻越來越發(fā)現(xiàn)原來五角星奇妙無比，深不可測(cè)。

王方漢先生把五角星寫成了專著，已故數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家傅種孫的教育文選中有一篇名文《從五角星談起》，從易到難，旁征博引，縱橫內(nèi)外，娓娓道來，卻不知不覺地引向一般原理，深不可測(cè)……例如，關(guān)于五角星的點(diǎn)，除了植樹的問題外還有古題：十人抬五杠，每杠用四人，一人抬兩，如何抬法？可以應(yīng)用五角星點(diǎn)的排列原理，由此可以推廣到：nc人抬n杠，每杠用2c人，一人抬兩，如何抬法？從五角星，到六角星，七角星……居然都適用。再比如，五角星內(nèi)一共三類角，大小的比為1∶2∶3，沒想到這是可以引申的，七角星的角的比是1∶2∶3∶4∶5，九角星的角的比是1∶2∶3∶4∶5∶6∶7……還有，如果只量一條線段能不能測(cè)量五角星的面積，比如測(cè)量出半徑能否求出所在圓內(nèi)的五角星的面積？答案是肯定的。五角星的面積與所在圓的面積的比是確定的，那么這個(gè)比是多少呢？正五角星的輪廓線圍成的區(qū)域面積約占其外接圓面積的1871/5236。

你可能覺得這個(gè)數(shù)據(jù)太大，如果用一個(gè)分母較小的分?jǐn)?shù)來表示：正五角星的輪廓線圍成的區(qū)域面積約占其外接圓面積的4/15。像五角星這樣的素材一定還有很多，需要我們用數(shù)學(xué)的眼光把它們遴選到小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中來，不受傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)的束縛，讓小學(xué)數(shù)學(xué)“可以有”的內(nèi)容豐富起來，先豐富再嚴(yán)謹(jǐn)，與時(shí)俱進(jìn)地構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容新體系，讓小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)真正“好玩”起來。（作者單位系浙江省杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心、杭州市上城區(qū)教育學(xué)院）

編后

的確，我們很難想象得到，一個(gè)五角星里面，居然蘊(yùn)藏著這么多的奧妙，從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，居然包含著這么多的寶貴資源！僅從這一點(diǎn)，或許就能啟發(fā)大家如何用數(shù)學(xué)的眼光，去發(fā)現(xiàn)更多更好的教學(xué)素材。

換個(gè)角度看，這個(gè)案例卻能帶給我們更多的深思?！皩?shí)踐與綜合應(yīng)用”是個(gè)比較新的領(lǐng)域，對(duì)于實(shí)踐，大家已不再陌生，可是對(duì)于“綜合應(yīng)用”，尤其是“綜合”的內(nèi)涵，卻有著不同的理解。焦點(diǎn)可能還是在于，我們要追求的是拼盤式的綜合，還是有機(jī)整體式的綜合？這個(gè)有機(jī)整體，是指內(nèi)容的前后關(guān)聯(lián)度，還是說有一個(gè)客觀的載體（比如五角星）就可以了？是泛泛地應(yīng)用，還是深入數(shù)學(xué)本質(zhì)？曾經(jīng)聽過一節(jié)初中數(shù)學(xué)課，講的是圓與圓的位置關(guān)系。

前面的環(huán)節(jié)都很平常，先讓學(xué)生形象描述5種位置關(guān)系，再探索用數(shù)量關(guān)系來刻畫這5種關(guān)系，之后，老師出了幾道習(xí)題來檢測(cè)，離開了形象的圖形之后來做這些題目，多少有些空落落的感覺，學(xué)生的思維開始磕磕絆絆走不動(dòng)。不料，老師在一旁畫起了數(shù)軸，再一次把5種位置關(guān)系形象地標(biāo)示在了數(shù)軸上。學(xué)生頓時(shí)豁然開朗。

課要結(jié)束時(shí)，一個(gè)學(xué)生說道：“原來數(shù)學(xué)也像生物鏈一樣，是一環(huán)扣一環(huán)的，與以前學(xué)習(xí)的點(diǎn)與圓的關(guān)系、線與圓的關(guān)系等一樣，是一以貫之的?！边@節(jié)課不是“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”的課，可是我以為，這個(gè)學(xué)生悟到的“一以貫之”思想，正是我們的數(shù)學(xué)課要給予孩子的最重要的一樣?xùn)|西。回過頭來看，“五角星”一課，雖然基本上是幾何推理的內(nèi)容，但內(nèi)容跨度也不小。

不過，它選擇的是小問題串的形式，每個(gè)問題內(nèi)部環(huán)環(huán)相扣，每個(gè)問題之間相對(duì)獨(dú)立。它的好處是，變換快，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，課堂內(nèi)容豐富，也比較適合小學(xué)生注意力短的特點(diǎn)。案例同樣也引發(fā)我們反思：是否還有更好的綜合形式？是否還有更好的資源利用辦法？“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”的理想形態(tài)是什么樣的？我們希望借此展開討論。