數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型及原因

孫小利

學(xué)生在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤是正常的。我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從錯(cuò)誤的理解中走出來(lái)，達(dá)到對(duì)問(wèn)題的正確理解。錯(cuò)誤伴隨著每一個(gè)學(xué)習(xí)者，在糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中，自己獲得發(fā)展。

一、 數(shù)學(xué)問(wèn)題提出過(guò)程出現(xiàn)的錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)始于問(wèn)題。根據(jù)問(wèn)題情境，學(xué)生提出一個(gè)嘗試性的問(wèn)題，最初這種問(wèn)題還不是明確、具體的，它可能在部分或整體上是錯(cuò)誤的或存在漏洞，經(jīng)過(guò)批判討論和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，消除錯(cuò)誤的條件，理順問(wèn)題各個(gè)要素的關(guān)系，形成有意義、有價(jià)值的問(wèn)題。學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境中數(shù)學(xué)信息的觀察分析、對(duì)數(shù)學(xué)信息的綜合、對(duì)數(shù)學(xué)信息的理解、對(duì)數(shù)學(xué)信息質(zhì)疑、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題等方面容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

二、 給出數(shù)學(xué)猜想出現(xiàn)錯(cuò)誤

猜想是學(xué)生在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中逐漸認(rèn)識(shí)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)過(guò)程。當(dāng)學(xué)生對(duì)他們的猜想不滿意時(shí)，也就是說(shuō)，當(dāng)他們已有的猜想不能夠充分描述或解釋數(shù)據(jù)、特例所反映的規(guī)律時(shí)，他們才會(huì)修正猜想。經(jīng)過(guò)試探地尋找錯(cuò)誤和消除錯(cuò)誤，由多個(gè)猜想不斷篩選，得到所謂“正確”的。試錯(cuò)法的運(yùn)用成功與否，主要依賴于試探過(guò)多少次以及怎樣試探。試探過(guò)程中，每發(fā)現(xiàn)一條走不通的路，都為到達(dá)成功的目標(biāo)增加了可能性。數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中猜想既是一個(gè)結(jié)果，又是一個(gè)過(guò)程，它的錯(cuò)誤表現(xiàn)在：

(1)猜想過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤。主要表現(xiàn)在計(jì)算、推理等方面。在“格點(diǎn)多邊形的面積”課例中，有的學(xué)生在數(shù)一個(gè)圖形的內(nèi)點(diǎn)數(shù)、邊點(diǎn)數(shù)、并計(jì)算它的面積時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，就是因?yàn)閿?shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)不準(zhǔn)確、計(jì)算面積錯(cuò)誤等。這直接導(dǎo)致學(xué)生利用數(shù)據(jù)不能總結(jié)規(guī)律，無(wú)法得到猜想。也有的是由于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)理解錯(cuò)誤或混淆某些概念、錯(cuò)誤運(yùn)用算法規(guī)則或相關(guān)性質(zhì)等，得到錯(cuò)誤猜想。這樣的錯(cuò)誤是明顯的，只要學(xué)生認(rèn)真計(jì)算、推理，就可能避免出現(xiàn)這類錯(cuò)誤。

(2）盡管猜想過(guò)程是正確的，但是有的猜想結(jié)果是完全錯(cuò)誤的，有的猜想結(jié)果存在漏洞。上海L老師執(zhí)教“勾股定理”案例中，老師請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，猜想一下，直角三角形三邊存在哪些數(shù)量關(guān)系?小組先討論一下，大膽地猜想，把猜想的結(jié)果全都寫(xiě)在工作單上。某個(gè)學(xué)生工作單上數(shù)據(jù)如下：

學(xué)生在工作單上畫(huà)出4個(gè)圖形，根據(jù)工作單上方格，學(xué)生得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，將其填入表中。學(xué)生觀察、比較表格中6個(gè)量的數(shù)據(jù)，得到5個(gè)猜想:a²+b²=c²，(猜想1)，2ab+1=c²，(猜想2)，a+b+a²=b²，(猜想3)，(a+b)2-2ab=c²，(猜想4)，c²=2ab+(b-a)2 (猜想5)。對(duì)于表格中的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，5個(gè)猜想都是正確的，但對(duì)于其他數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，有的猜想正確，而有的猜想錯(cuò)誤。下面的教學(xué)片段，是學(xué)生利用數(shù)據(jù)對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)其中錯(cuò)誤的過(guò)程。

T：黑板上共有5個(gè)猜想。僅僅是通過(guò)4個(gè)三角形對(duì)它進(jìn)行一系列計(jì)算得到的一些猜想，那么這些猜想是否適合于其他的所有直角三角形呢?我們來(lái)做一次實(shí)驗(yàn)，在空白網(wǎng)格當(dāng)中，自己任意地舉一個(gè)直角三角形，然后按照剛才的方法，每邊向外做一個(gè)正方形，算一下a²、 b²、c²和2ab，看一下這些猜想是否依然正確?，F(xiàn)在開(kāi)始。在網(wǎng)格中任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，然后每邊向外做一個(gè)正方形，算一下a²、b²、c²和2ab。(學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視)

T：我看一下，很多同學(xué)都畫(huà)完了，也填完了。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的意見(jiàn)?剛才每個(gè)同學(xué)自己又畫(huà)了一個(gè)直角三角形，然后又計(jì)算了a²、b²、c²和2ab，然后看一下這些結(jié)論是否都是成立的呢?

S9：我畫(huà)的三角形，a=4、b=5。

T： 我們看一下他所畫(huà)的直角三角形。直角三角形兩條直角邊，a是4，b是5，因此，你計(jì)算出來(lái)的結(jié)果怎樣呢?

S9：我計(jì)算出來(lái)的結(jié)果是a²=16，b²=25，2ab=40，c²=41。

T： 這5個(gè)猜想是否都成立呢?

S9：都成立的。

T： 全部都是成立的。a²+b²，16+25，41對(duì)吧?另外，2ab+1=c²，40+1，的確是41。然后看一下a+b+a²=b²，4+5+16仍然是25。后面(a+b)2-2ab仍然是41，再看2ab+(b-a)2仍然是41。他舉的例子發(fā)現(xiàn)，剛才得到的猜想都是成立的，大家都同意嗎?

S10：不同意。當(dāng)a=7、b=5時(shí)，a²=49，b²=25，2ab=70，a²+b²=c²等于74，2ab+1=c²就不成立。

T：a=7，b=5，2ab+1=c²不成立。我們看一下計(jì)算結(jié)果，70+1不等于74是不是?你們有沒(méi)有舉這樣的例子?其他的都成立嗎?

S10：其他的成立。

T：其他的都成立？你來(lái)說(shuō)說(shuō)看。

S11：我發(fā)現(xiàn)a+b+a²=b²不成立。

T：a+b+a²=b²不成立。你剛才舉2ab+1=c²不成立?

S10：對(duì)。

T： 你上來(lái)說(shuō)說(shuō)好嗎?你舉的是怎樣的一個(gè)例子？

S11：我舉的兩邊都是4。

T：舉了一個(gè)等腰直角三角形，兩條直角邊都是4，那么結(jié)果算下來(lái)發(fā)現(xiàn)怎樣?

S11：結(jié)果算下來(lái)發(fā)現(xiàn)，2ab+1=c²不成立。

T：不成立。我們看一下，2ab 算出來(lái)是32，32就等于32，不等于32+1了，對(duì)不對(duì)?還有沒(méi)有?

S11：還有。a+b+a²，4+4+16也不等于16。

T：前面三項(xiàng)，4+4+16也不等于16，其他的你驗(yàn)算過(guò)了沒(méi)有?其他的成立嗎?

S11：其他的成立。

通過(guò)對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，有的學(xué)生還是認(rèn)為5個(gè)猜想是對(duì)的，而有的學(xué)生用其他數(shù)據(jù)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)2ab+1=c²、a+b+a²不成立。這說(shuō)明：這類錯(cuò)誤是猜想過(guò)程中比較常見(jiàn)的，主要是由于在猜想過(guò)程中學(xué)生由個(gè)別特例推出一般規(guī)律。盡管學(xué)生在猜想過(guò)程中使用的數(shù)據(jù)是正確的，但是數(shù)據(jù)不充分導(dǎo)致錯(cuò)誤猜想出現(xiàn)。通過(guò)猜想——驗(yàn)證——發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤——再猜想的過(guò)程，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，而且還學(xué)會(huì)用反例的方法反駁猜想。

三、 證明猜想出現(xiàn)錯(cuò)誤

學(xué)生在證明猜想時(shí)，要想得到正確的論證，必須掃清一系列障礙，其中的任何失誤均會(huì)影響論證的進(jìn)程，導(dǎo)致最后證明的失敗。在這方面，已經(jīng)有一些研究: 有人從解題過(guò)程角度提出錯(cuò)誤的層級(jí)，將其分為5個(gè)水平：閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、加工技能、編碼。理解錯(cuò)誤指的是沒(méi)有掌握問(wèn)題中所有信息的意義，操作技能的錯(cuò)誤指的是與算法有關(guān)的錯(cuò)誤，編碼錯(cuò)誤指的是書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤，如筆誤等。

(如皋市如城鎮(zhèn)許莊初中)