對(duì)數(shù)學(xué)思維與教育的分析

冒紅艷

摘 要：首先探討了一般意義上的數(shù)學(xué)思維和廣義數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵，將數(shù)學(xué)思維劃分為掌握數(shù)學(xué)體系和運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的方式兩部分，并詳細(xì)分析了兩部分的內(nèi)涵以及教學(xué)中常見的問題，最后針對(duì)每一部分提出了系統(tǒng)化的合理建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；創(chuàng)造能力；教育

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3198（2009）03-0193-02

1 數(shù)學(xué)思維的組成簡(jiǎn)單介紹

廣義的數(shù)學(xué)思維主應(yīng)該有兩方面組成：

1.1 關(guān)于數(shù)學(xué)體系的了解，暨數(shù)學(xué)思維的內(nèi)容

這是關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)單的說就是數(shù)學(xué)“是什么”。對(duì)于數(shù)學(xué)總體結(jié)構(gòu)的理解是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，也是一切技巧的基礎(chǔ)。這里說的不單單是對(duì)數(shù)學(xué)概念和定理的記憶和簡(jiǎn)單運(yùn)用，而是對(duì)數(shù)學(xué)原理的深刻理解。

1.2 數(shù)學(xué)思維的方式

數(shù)學(xué)的思維方式，就是我們解決數(shù)學(xué)問題的思考的習(xí)慣和能力。也就是“怎么做”。解絕問題的方式有很多種，最基本的就是運(yùn)用前人總結(jié)出來的解決問題的方式。然而很多時(shí)候，已有的方法是不能完全奏效的。這時(shí)候我們就需要運(yùn)用我們的智慧去分析數(shù)學(xué)問題的條件，結(jié)論和特點(diǎn)。從而對(duì)題目進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化，最終解決這個(gè)問題。在這個(gè)過程中體現(xiàn)出來的思維技巧和思維習(xí)慣就是數(shù)學(xué)思維方式，這也是我們所說的狹義上的“數(shù)學(xué)思維”。

2 數(shù)學(xué)體系的內(nèi)涵、問題、教學(xué)重點(diǎn)

2.1 數(shù)學(xué)體系的內(nèi)涵和特點(diǎn)

（1）了解的必要性。

這里所說的“了解數(shù)學(xué)體系”是指對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的整體把握，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求也是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)同所有的科學(xué)一樣，是隨著人類的文明的發(fā)展一步步發(fā)展而來的，本身就有著清晰的發(fā)展脈絡(luò)：由簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算發(fā)展到代數(shù)運(yùn)算，由最初的自然數(shù)到復(fù)數(shù)，由初等的數(shù)學(xué)方法到分析，數(shù)學(xué)在不斷拓展研究的范圍，豐富研究的手段。這要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)和教學(xué)的過程中不能將數(shù)學(xué)的每一部分分割開來，要尊重?cái)?shù)學(xué)的整體性，尊重?cái)?shù)學(xué)本身的傳承關(guān)系。

和其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)更接近純理論性的學(xué)科：數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支往往是從幾個(gè)基本的假設(shè)或者公理出發(fā)，通過歸納、推理、演繹、建立起自身的理論體系。數(shù)學(xué)這門學(xué)科十分強(qiáng)調(diào)邏輯性和嚴(yán)密性，結(jié)構(gòu)十分的清晰嚴(yán)密。要想使這樣的一個(gè)系統(tǒng)稱為自己手中有力的武器，必須對(duì)系統(tǒng)本身有整體上的了解。

（2）了解的要求。

如果學(xué)生能夠很好的回答以下四個(gè)問題，就可以說是達(dá)到了教學(xué)的目標(biāo)。

①包含了什么？

學(xué)生必須了解自己所學(xué)數(shù)學(xué)的最大范圍，也就是自己所掌握的所有數(shù)學(xué)工具的范圍。

②每部分的結(jié)構(gòu)是什么？

數(shù)學(xué)由幾個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分組成，每一部分都有自身的特點(diǎn)，相對(duì)獨(dú)立而又自成體系。每一個(gè)體系之內(nèi)的知識(shí)是有前后相繼的關(guān)系的，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由小的方面擴(kuò)展到更大的方面，引入新的方法和思想。學(xué)生應(yīng)該熟練的掌握每一部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)。

③各部分之間的關(guān)系是什么？

數(shù)學(xué)的各個(gè)部分自成體系，但又是相互緊密聯(lián)系的。要真正的了解數(shù)學(xué)就要十分重視數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的關(guān)系，不能將數(shù)學(xué)割裂成幾個(gè)孤立的部分

④數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史是什么？

數(shù)學(xué)的歷史是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的真實(shí)體現(xiàn)，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史能夠讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。

2.2 存在的問題

部分學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的了解主要存在以下兩種問題：

孤立。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，割裂知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，忽略知識(shí)點(diǎn)之間的前后發(fā)展繼承的關(guān)系，不注重?cái)?shù)學(xué)各個(gè)分支之間的交叉運(yùn)用，孤立的記憶每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)沒有總體觀。由此產(chǎn)生的后果：知識(shí)點(diǎn)極容易遺忘，知識(shí)結(jié)構(gòu)混亂。學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)較為困難，方法使用僵化不靈活。

膚淺。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的理解，僅僅停留在表面的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握事物的本質(zhì)。由此而產(chǎn)生的后果：學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏多方面解決問題的能力。

2.3 數(shù)學(xué)體系教學(xué)重點(diǎn)

（1）教學(xué)過程要認(rèn)真“描點(diǎn)”，作好“連線”的準(zhǔn)備。描點(diǎn)，即強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)，具體到每課時(shí)、每章節(jié)、每單元。在強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)的同時(shí)，要有意識(shí)地把該內(nèi)容向前后延伸，強(qiáng)調(diào)該內(nèi)容是哪些知識(shí)的延續(xù)和，同時(shí)又是以后的哪些知識(shí)的準(zhǔn)備和基礎(chǔ)。

（2）在知識(shí)的復(fù)習(xí)和應(yīng)用時(shí)要盡力“連線”，使“點(diǎn)”成為“線”的元素。在最初的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識(shí)點(diǎn)是零散的、不連慣的。為了減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，教學(xué)時(shí)要力求把知識(shí)歸類、連線，使知識(shí)類別化、系統(tǒng)化， 讓學(xué)生了解一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就可以掌握與之相關(guān)的內(nèi)容。

（3）教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生把“線”結(jié)成“網(wǎng)”，以達(dá)到“以點(diǎn)帶面”的記憶效果。數(shù)學(xué)知識(shí)的主線有若干條，副線也有若干條，所有的線橫縱交錯(cuò)。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)在前后向同類主線無限延伸的同時(shí)，也在向副線延伸或輻射，甚至在向其他科目、其他領(lǐng)域延伸，使眾多的知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)線，密密麻麻地形成一張無邊無際的大網(wǎng)。

3 數(shù)學(xué)思維方式的內(nèi)涵、問題、教學(xué)重點(diǎn)

3.1 數(shù)學(xué)思維方式的意義和內(nèi)涵

思維訓(xùn)練是教學(xué)思維論在教學(xué)實(shí)踐中的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維論是思維科學(xué)的一個(gè)重要分支，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)課程論、學(xué)習(xí)論的靈魂。數(shù)學(xué)教材是以邏輯思維為主線，貫穿各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的基礎(chǔ)是發(fā)展學(xué)生思維，發(fā)展思維不可能脫離教學(xué)內(nèi)容獨(dú)立進(jìn)行。因此，我們可以有理由認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施思維訓(xùn)練是教學(xué)思維論在教學(xué)實(shí)踐中的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)思維方式包含兩個(gè)方面：

（1）對(duì)于數(shù)學(xué)基本技巧的掌握比如換元，數(shù)形結(jié)合，極限法，拆分結(jié)合等等。很多新問題可以通過基本技巧的轉(zhuǎn)化或者組合來解答。這些基本的技巧是前人在長(zhǎng)期實(shí)踐中對(duì)數(shù)學(xué)思維方式的經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和歸納，他們不但是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具，同時(shí)也很好的反應(yīng)了數(shù)學(xué)的基本思維原理。

（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。在生活中每當(dāng)我們遇到新的問題，我們都需要運(yùn)用我們的智慧去分析問題，然后去選擇一個(gè)最好的方法解決問題。這就是在運(yùn)用我們的思維能力。良好的思維習(xí)慣能夠幫助我們更快更好的解決問題。對(duì)于數(shù)學(xué)問題也不例外。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)我們需要養(yǎng)成分析問題、轉(zhuǎn)化問題、將未知轉(zhuǎn)化為已知等良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。同時(shí)能夠熟練運(yùn)用方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想解決問題。這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)于思維的鍛煉。關(guān)于數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，G?波利亞在他的經(jīng)典作品《怎樣解題》中有很好的闡釋。

3.2 存在的問題

分析中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，部分學(xué)生存在著一些明顯的缺陷，具體表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)。

僵化。指學(xué)生思維不夠靈活，缺乏聯(lián)想，只停留在課上的內(nèi)容和解題思路，只會(huì)模仿、套用模式解題，一旦題型有變化，就無從下手，不能做到“舉一反三”。

遲鈍。指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。

消極。指學(xué)生習(xí)慣于依賴教師的思路，往往在已做過的題型中找思路，并且很難放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗(yàn)，思維僵化，不能根據(jù)新問題的特點(diǎn)作出靈活的反應(yīng)。

造成這樣的思維特點(diǎn)與學(xué)生過去所受的思維訓(xùn)練有很大關(guān)系：有些教師在教學(xué)過程中過分強(qiáng)調(diào)程式化和模式化，教學(xué)中給學(xué)生歸納了各種類型，并要求學(xué)生按部就班地解題，不許越雷池一步，或要求學(xué)生解答大量重復(fù)性練習(xí)題，減少了學(xué)生自己思考和探索的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)模仿、套用模式解題。灌輸式的教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏應(yīng)變能力。心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性，它們反映了思維不同方面的特征，在教學(xué)過程中應(yīng)該有不同的培養(yǎng)手段。

3.3 數(shù)學(xué)思維方式教學(xué)重點(diǎn)

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式的重點(diǎn)是養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。我們可將數(shù)學(xué)思維方式訓(xùn)練的課堂教學(xué)基本模式概括為：提出問題——展示新課——思維擴(kuò)展——思維訓(xùn)練——思維測(cè)評(píng)。在這一模式中，教師是問題暴露、思維點(diǎn)撥、啟迪和誘導(dǎo)者，學(xué)生是思維的主體，是知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和獲取者。

（1）提出問題，創(chuàng)設(shè)情境問題“是數(shù)學(xué)的心臟”，是思維的起點(diǎn)。有問題才會(huì)有思考，思維是從問題開始的。巧妙恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}，創(chuàng)設(shè)良好的思維情境，能夠迅速集中學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。這是上好數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練課的首要環(huán)節(jié)。

（2）研究問題，展示新課的理性認(rèn)識(shí)過程是由表象的具體到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程。研究數(shù)學(xué)問題的過程首先是由具體到抽象的過程，在此環(huán)節(jié)中，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化加工為例題形式，使被抽象出來的數(shù)學(xué)問題再回到實(shí)踐中去驗(yàn)證，這一階段是學(xué)生的思維定向階段，是運(yùn)用思維探索規(guī)律學(xué)會(huì)抽象的過程。

（3）解決問題，思維擴(kuò)展這一環(huán)節(jié)是知識(shí)的形成階段，屬抽象思維的高級(jí)階段。數(shù)學(xué)教學(xué)過程實(shí)質(zhì)上是由一連串的轉(zhuǎn)化過程所構(gòu)成的。學(xué)生接受新知識(shí)要借助于舊知識(shí)，而舊知識(shí)的思維形式往往會(huì)成為新知識(shí)思維形式的障礙（如思維定勢(shì)），因此，教師首先要抓好教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在數(shù)學(xué)知識(shí)的質(zhì)變（往往是重點(diǎn)）過程中，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)折，排除思維活動(dòng)的障礙（往往是難點(diǎn)），渡過思維操作的“關(guān)卡”，以實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展。

（4）發(fā)展問題，思維訓(xùn)練教學(xué)中，注意結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)識(shí)水平從不同角度、不同層次、不同側(cè)面有目的、有針對(duì)性地不斷設(shè)計(jì)組編一些探索型、開放型、判斷改錯(cuò)型、歸納與綜合型等題目，為學(xué)生提供多種類型的思維訓(xùn)練素材，這是發(fā)展學(xué)生的思維能力所不可缺少的。這要求教師注重挖掘課本典型題例的潛在功能，充分發(fā)揮它的導(dǎo)向、典型、發(fā)展和教育作用，反復(fù)滲透與運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法，把數(shù)學(xué)知識(shí)溶入活的思維訓(xùn)練中去，并在不斷的“問題獲解”過程中深化、發(fā)展學(xué)生的思維。

（5）總結(jié)問題，思維測(cè)評(píng)是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的檢測(cè)與評(píng)定形式。測(cè)評(píng)方法可小型多樣，因課堂內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際情況而定，如選編一些口答、搶答、限定時(shí)間解答等題型對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)單項(xiàng)測(cè)評(píng)或多項(xiàng)綜合測(cè)評(píng)。學(xué)生可先自我評(píng)價(jià)，體驗(yàn)成功的樂趣。

4 結(jié)語

現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。思維活動(dòng)的強(qiáng)弱，決定一個(gè)人的思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，探求問題的思考、推理論證的過程等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)都以邏輯思維為主線。這是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施思維訓(xùn)練的理論依據(jù)之一。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中，教師要千方百計(jì)地通過學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，全面揭示數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理活動(dòng)統(tǒng)一起來。課堂教學(xué)中充分有效地進(jìn)行思維訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，它不僅符合素質(zhì)教育的要求，也符合知識(shí)的形成與發(fā)展以及人的認(rèn)知過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)性價(jià)值。

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