巧思妙構解三角形

正、余弦定理及三角形面積公式的重要作用之一就是用于解三角形，而用正、余弦定理的一般思路是：從條件出發(fā)，利用正、余弦定理進行代換、轉化、化簡、運算，實現邊與邊、角與角、邊與角的關系，或求出角的大小來。它多是從數的方面來著手，放松了對形的研究，但三角形畢竟是形，如能對問題進行進一步的研究、挖掘，充分利用圖形，結合圖形性質，也會收到意想不到的效果。下面介紹兩個通過“巧思妙構”來解三角形的例子：

例1．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=120°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=5，CD=8，求四邊形ABCD的面積。

思路1：由∠DAB=120°=∠CAD+∠CAB，因此，可考慮使用Rt△ABC與 Rt△ACD之間的關系，求出AB、AD的長度，進而求出四邊形ABCD的面積。

設∠BAC=，∠DAC=，AC=，

則在Rt△ABC中：，

在Rt△ADC中：，，又∵+=120°，

∴= ⑴

整理，化簡得：

解得：或（不合題意，舍去），∴，

由勾股定理可得：AB=，

故S=

注：此解法雖容易想，由于沒有用到正、余弦定理，雖把題解出來了，但過程太繁，特別是⑴式的化簡，是一繁雜的過程。特別在考試時這種方法不可取。那么，怎么辦呢？

考慮到正、余弦定理的幾何意義，有下面的思路：

思路2：注意到∠ABC+∠ADC=180°，則A、B、C、D四點共圓，且AC為直徑。

∵∠ABC+∠ADC=180°，則A、B、C、D四點共圓，且AC為直徑。∠DAB=120°，故∠DCB=60°，在△BCD中，由余弦定理得：BD===7，再由正弦定理得：AC=2R==

下同解法一。

思路3：注意到∠ABC+∠ADC=180°，則A、B、C、D四點共圓，且AC為直徑，說明Rt△ABC與 Rt△ACD有同一個外接圓。

解法三：∵∠ABC+∠ADC=180°，則A、B、C、D四點共圓，且AC為直徑，

說明Rt△ABC與 Rt△ACD有同一個外接圓。

∴，即

整理得：，即，

∴

又，從而有 AD=

，從而有 AB=，下同解法一。

思路4： 回憶起“在三角形中，一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”，有下面的解法。

解法四：延長CD交BA的延長線于E，則

∠DAB是△ADE的一個外角，它等于

∠ADE+∠AED，又∠ADE是∠ADC的外角，

∴∠ADE=90°，∠AED=30°，

在三角形△BCE中， ∠ABC=90°，CB=5，

∴CE=10，BE=5，又CD=8， ∴DE=2

在△ADE中，AD=

∴四邊形ABCD的面積S=S

注：本題通過巧妙補形，再分割求面積，運算簡單，深得“巧思妙構”之神韻。

高中數學的學習，既要掌握通法通解，還要能靈活解題，不拘泥于一個思考方向上，要多進行多角度多方位考察，平時多進行發(fā)散思維的訓練，才能在高考中考出理想的成績。