數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育功能

[摘 要]數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育功能表現(xiàn)在：感受數(shù)學(xué)的魅力，獲得積極的情感體驗(yàn)；了解數(shù)學(xué)歷史文化，振奮民族精神；再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程，促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的深刻理解；領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)史 數(shù)學(xué)教學(xué) 教育功能

一、問題的提出

1998年4月在法國舉行了由國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)發(fā)起的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”研討會(huì)。會(huì)議提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分反應(yīng)數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，從課程內(nèi)容、概念形成、證明方法、習(xí)題配置等各個(gè)方面，全方位地融入數(shù)學(xué)史，豐富和促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的作用在我國也受到廣泛關(guān)注，首屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育大會(huì)于2005年5月在西北大學(xué)舉行，第二屆會(huì)議于2007年5月在河北師范大學(xué)舉行，標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究已經(jīng)從幕后走向了前臺。2001年7月《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》出臺，其第四部分的“課程實(shí)施建議”，每個(gè)學(xué)段的“教材編寫建議”都有“介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識”，說明數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用早已受到關(guān)注。

但是，從當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，數(shù)學(xué)史教育并沒有得到應(yīng)有的重視和推進(jìn)，很多教師對有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識要么一帶而過，要么視而不見。加上小學(xué)生年齡小、知識面窄、心理不穩(wěn)定，數(shù)學(xué)思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的初級階段等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)史教育離小學(xué)數(shù)學(xué)課堂越來越遠(yuǎn)。正確認(rèn)識數(shù)學(xué)史的教育功能，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著積極的意義。下面以人民教育出版社的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書小學(xué)數(shù)學(xué)（簡稱人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材）為例，就數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育功能及數(shù)學(xué)史教育應(yīng)注意的問題進(jìn)行探討。

二、數(shù)學(xué)史的教育功能

數(shù)學(xué)史如同人類歷史的演變進(jìn)程一樣，是一部厚重的歷史文化。數(shù)學(xué)史是一部從少到多、由淺及深的發(fā)展史，從美索不達(dá)米亞人開始用小石子表示羊群的只數(shù)，預(yù)示著數(shù)學(xué)符號雛形的出現(xiàn)，經(jīng)歷了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，到今天數(shù)學(xué)已形成一脈相承的龐大的數(shù)學(xué)體系，并應(yīng)用到社會(huì)發(fā)展的各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)史也是一部前赴后繼、永不止歇的探索史，費(fèi)馬（Fermat）問題吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家窮其一生的努力，并最終經(jīng)過三百多年的探討，方獲成功；哥德巴赫（Goldbach）猜想的提出也有兩百多年，至今仍有無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者默默無聞地為之奮斗。數(shù)學(xué)史更是一部進(jìn)步與反動(dòng)、科學(xué)與愚昧的斗爭史，天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家伽利略（Galileo）被羅馬教皇奪去了生命，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾（Descartes）遭到了教會(huì)的殘酷迫害，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的希伯斯（Hibbs）被畢達(dá)哥拉斯的信徒們拋入了大海，但他們堅(jiān)持真理、蔑視強(qiáng)權(quán)的精神永存?？梢哉f，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識的背后都體現(xiàn)著人類不畏艱險(xiǎn)、追求進(jìn)步的崇高科學(xué)精神，給人以啟迪和力量，對教育學(xué)生有著不可估量的作用。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材通過多個(gè)版塊的設(shè)計(jì)編排，如“你知道嗎”、“生活中的數(shù)學(xué)”、“閱讀材料”、“數(shù)學(xué)游戲”、“數(shù)學(xué)廣角”等為學(xué)生提供了豐富的數(shù)學(xué)史料，貫穿古今、涵蓋中外，在數(shù)學(xué)知識的引入、形成、鞏固等各個(gè)方面也融入了數(shù)學(xué)史。教師可以結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)、思維特點(diǎn)及數(shù)學(xué)史料自身的特點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)史教育，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流、課外探究的學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)學(xué)的神奇，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

1.感受數(shù)學(xué)的魅力，獲得積極的情感體驗(yàn)

愛因斯坦（Einstein）說：“興趣是最好的老師?！苯處熢谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，穿插數(shù)學(xué)史典故，滲透數(shù)學(xué)知識的相關(guān)背景，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊學(xué)生的視野，感知數(shù)學(xué)美。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在六年級上冊“你知道嗎”中，介紹了“黃金比”的知識，“黃金比”是數(shù)學(xué)美的典型例證。德國數(shù)學(xué)家弗希納（Fuxi Na）曾召開一次別出心裁的“矩形展覽會(huì)”，會(huì)上展出了他精心制作的各種矩形，要求參觀者投票選擇各自認(rèn)為最美的矩形，結(jié)果寬與長之比值為0.618的矩形被認(rèn)為是最美的矩形。0.618從此被譽(yù)為“黃金比”，藝術(shù)家們用它創(chuàng)造出令人神往的藝術(shù)珍品，設(shè)計(jì)家們用它設(shè)計(jì)出巧奪天工的建筑，當(dāng)我們走進(jìn)商場看到0.618的服裝品牌，也會(huì)慨嘆創(chuàng)立者對數(shù)學(xué)的癡迷。

教材中的數(shù)學(xué)史材料，無不體現(xiàn)著編排人員的獨(dú)具匠心。有趣的“七巧板”、神奇的“莫比烏斯帶”、神秘的“數(shù)字黑洞”、計(jì)時(shí)工具“刻漏”，這些內(nèi)容無一例外地讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神秘，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)的欲望。還有體現(xiàn)和諧美的“數(shù)學(xué)與藝術(shù)”、數(shù)學(xué)游戲“設(shè)計(jì)鑲嵌圖案”、“數(shù)學(xué)與音樂”、“數(shù)學(xué)與圍棋”等內(nèi)容，通過學(xué)生相互交流、動(dòng)手實(shí)踐，更能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，獲得積極的情感體驗(yàn)。除此之外，還可在探索“1+2+……+99+100的和是多少”的活動(dòng)中介紹高斯（Gauss）善于思索、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神；在制作100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表的活動(dòng)中介紹古希臘的愛拉脫斯特尼（Eratosthenes）篩法，學(xué)習(xí)科學(xué)家們追根究底、謹(jǐn)慎細(xì)致的科學(xué)態(tài)度。

2.了解數(shù)學(xué)歷史文化，振奮民族精神

我國數(shù)學(xué)的發(fā)展有著輝煌的歷史，在元代以前，數(shù)學(xué)的許多重要成果處于世界領(lǐng)先地位，數(shù)學(xué)的發(fā)展在宋元時(shí)期達(dá)到了高峰，但明朝以珠算為中心的商業(yè)算術(shù)普及，使數(shù)學(xué)的整體發(fā)展停滯不前。明末西方初等數(shù)學(xué)傳入了中國，清代前期一批數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)之長，促進(jìn)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。近代則涌現(xiàn)出了具有國際影響的數(shù)學(xué)大師華羅庚、陳景潤、蘇步清、陳省升等，他們在各自的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中做出了令世界矚目的成績。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排了中國古代數(shù)學(xué)中的經(jīng)典算法案例，如《九章算術(shù)》中的“方程問題”、“平面圖形的面積”、“長方體的體積”、“約分術(shù)”、“分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則”、《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠問題”、《算法統(tǒng)宗》中的多位數(shù)乘法的“鋪地錦”算法等。另外，“曹沖稱象的故事”、古代四大發(fā)明之一“指南針”、劉徽的“平面圖形的面積出入相補(bǔ)”方法、祖沖之的“圓周率”、陳景潤對“哥德巴赫猜想”的卓越貢獻(xiàn)等，都體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)的輝煌成就。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生就會(huì)了解祖國的數(shù)學(xué)發(fā)展史，感受祖國數(shù)學(xué)的輝煌成就，激發(fā)民族自豪感。

當(dāng)然，教材中也介紹了國外數(shù)學(xué)的發(fā)展，如古希臘歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的里程碑，17世紀(jì)傳入中國；瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）在解決“哥尼斯堡的七橋問題”中形成了“一筆畫原理”，開拓了運(yùn)籌學(xué)和圖論等嶄新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他的研究也是運(yùn)用抽象化方法和數(shù)學(xué)模型思想的光輝范例；斐波那契（Fibonacci）和他的《算盤書》對歐洲數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響，斐波那契數(shù)列也煥發(fā)出了無窮的數(shù)學(xué)魅力。學(xué)生能從中了解國外數(shù)學(xué)的成就，也認(rèn)識中國數(shù)學(xué)發(fā)展的不足，從而振奮民族精神，樹立為祖國數(shù)學(xué)復(fù)興而努力奮斗的偉大理想。

3.再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程，促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的深刻理解

龐加萊（Poincare）曾說過：“如果我們要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。”數(shù)學(xué)知識過于“冰冷的美麗”（弗賴燈塔爾語）的背后，有著數(shù)學(xué)家艱難求索的足跡，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，還知識以原貌，還結(jié)論以原點(diǎn)，可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的基本軌跡，觸摸數(shù)學(xué)發(fā)展的蜿蜒曲折，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，加深對數(shù)學(xué)知識的理解。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，編排了一系列的數(shù)學(xué)史料體現(xiàn)了符號化經(jīng)歷的由繁而簡、由丑到美、優(yōu)勝劣汰的過程，例如：“+”“-”“×”“÷”運(yùn)算符號的出現(xiàn)史，小數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的產(chǎn)生與表示法的發(fā)展史，數(shù)字、數(shù)和計(jì)算工具的發(fā)明發(fā)展史，古代勞動(dòng)人民的記數(shù)方法和計(jì)算方法，用字母表示計(jì)量單位，方程的形成史，等等。特別是在計(jì)數(shù)過程中，羅馬數(shù)字和漢語數(shù)字書寫不便、形式不美，難以用有限個(gè)數(shù)字記寫無限多位數(shù)，從而導(dǎo)致印度阿拉伯?dāng)?shù)字0、1、2……9的出現(xiàn)和位置制勝出。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)史的發(fā)展不僅僅是簡單的變遷和移植，有時(shí)還需要對其深入的挖掘、提煉、升華，需要我們對古代數(shù)學(xué)知識做認(rèn)真的思考和清理，進(jìn)行加工和創(chuàng)造，使之適合小學(xué)生的心理特征和小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)。例如，自然數(shù)是在人類的生產(chǎn)和生活的實(shí)踐中逐漸產(chǎn)生的，具體經(jīng)歷了以下過程：有、無→多、少（一一對應(yīng)）→等價(jià)集合→使用符號。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級上冊“認(rèn)識數(shù)”1～5單元，為學(xué)生提供了如下活動(dòng)：找出動(dòng)物園各種動(dòng)物→點(diǎn)數(shù)每一種動(dòng)物的只數(shù)→將每一種動(dòng)物的數(shù)量用小棒表示→抽象出1～5各數(shù)→認(rèn)讀1～5各數(shù)→認(rèn)識數(shù)的順序→寫數(shù)。分析教材，我們可體會(huì)其編寫意圖：

①分類：將觀察到的動(dòng)物歸類，建構(gòu)集合。

②建立圖像模型：從物體數(shù)量的角度觀察事物，用小棒表示對應(yīng)元素，建構(gòu)等價(jià)集合。

③建立符號模型：用數(shù)字刻畫集合中元素的個(gè)數(shù)。

④認(rèn)識數(shù)的順序：用算珠和點(diǎn)子圖加深數(shù)序的印象，根據(jù)數(shù)的順序感知數(shù)的大小。

⑤寫數(shù)：用田字格表明數(shù)的結(jié)構(gòu)和筆順。

整個(gè)過程基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，對自然數(shù)的概念進(jìn)行加工和創(chuàng)造，簡潔理想地重構(gòu)了自然數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展過程，有助于學(xué)生對自然數(shù)的深入理解，使學(xué)生在豐富的操作和實(shí)際活動(dòng)中逐步形成數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)感。

4.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，其中蘊(yùn)含了豐富的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是“數(shù)學(xué)的靈魂”，能使人們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考和解決問題。例如公元263年，劉徽在《九章算術(shù)》的注釋中運(yùn)用“割圓術(shù)”，計(jì)算出了的近似值，并證明了其中的圓面積公式。對此，劉徽有精辟的論述：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，已至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣?！眲⒒盏摹案顖A術(shù)”為我們提供了一種研究數(shù)學(xué)的方法，相當(dāng)于今天的“極限思想”。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過學(xué)生可以理解的簡單形式，采用生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來。在一年級上冊教材的“數(shù)學(xué)樂園”中滲透統(tǒng)計(jì)思想、初步感受隨機(jī)思想，在二年級上冊教材的“數(shù)學(xué)廣角”單元安排了“簡單的排列組合思想和邏輯推理方法”，在一、二年級下冊教材的“找規(guī)律”單元安排了“探索給定圖形或數(shù)字中的簡單規(guī)律”。這些編排讓學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有順序地、全面地思考問題的意識。從三年級起的各冊教材在“數(shù)學(xué)廣角”單元分別安排了“排列組合思想和邏輯推理方法”、“集合思想與等量代換思想”、“簡單的運(yùn)籌思想”、“植樹問題的思想方法”、“數(shù)字編碼的數(shù)學(xué)思想方法”、“找次品與優(yōu)化思想”、“雞兔同籠問題與化歸思想”、“抽屜原理與數(shù)學(xué)模型思想”等，這些內(nèi)容使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，形成探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

同時(shí)，大量的數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié)。蘇步青曾經(jīng)說過：“看書要能看到書背后的東西。”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中知識背后的“東西”有著數(shù)學(xué)思想方法。如10以內(nèi)自然數(shù)的認(rèn)識滲透了集合思想、數(shù)學(xué)模型思想、對應(yīng)思想、符號化思想；多邊形的面積中滲透了化歸思想，及割補(bǔ)、移拼方法；統(tǒng)計(jì)與概率中滲透了隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)思想、分類思想；“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”滲透了數(shù)學(xué)模型思想、優(yōu)化思想；等等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要使學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)思想方法，這已經(jīng)是大家公認(rèn)的事實(shí)。因?yàn)閿?shù)學(xué)中最本質(zhì)、最精彩、最有價(jià)值的就是數(shù)學(xué)思想方法，從某種意義上說，它們比數(shù)學(xué)知識更為重要、更加有用，對人的成長更有影響。因此，教師要善于挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)中進(jìn)行滲透。

三、數(shù)學(xué)史教育中應(yīng)注意的幾點(diǎn)問題

1. 科學(xué)性

引入的數(shù)學(xué)史料應(yīng)具有權(quán)威性和真實(shí)性，不能道聽途說、隨意編造，要尊重歷史、尊重事實(shí)，正確介紹史實(shí)。對于一些具體的數(shù)學(xué)思想和方法，為了防止學(xué)生望而生畏，可以暫不給出科學(xué)的術(shù)語和名稱，而是結(jié)合具體的情境讓學(xué)生理解感悟。

2.趣味性

根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維特點(diǎn)，應(yīng)通過生動(dòng)有趣的故事、絢麗多彩的插圖、豐富多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)使數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中呈現(xiàn)，從而吸引學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)他們刻苦鉆研，學(xué)好數(shù)學(xué)。

3.滲透性

數(shù)學(xué)史教育在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必須堅(jiān)持滲透性原則，可以采取故事引入、問題引入；可以在課堂中適時(shí)拋出，活躍氣氛、調(diào)動(dòng)情緒；可以在教學(xué)結(jié)尾處引人入勝、拓展課外。但不能喧賓奪主，要自然地切入數(shù)學(xué)史料，使其融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，潤物細(xì)無聲地陶冶學(xué)生的心靈，提高學(xué)生的人文素養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.實(shí)用性

要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)有目的的引入相關(guān)的、實(shí)用的數(shù)學(xué)史料，若牽強(qiáng)附會(huì)，節(jié)外生枝，嘩眾取寵，就會(huì)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的累贅，影響教學(xué)效果。要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要、時(shí)間安排的多少、數(shù)學(xué)史料的自身特點(diǎn)，靈活確定數(shù)學(xué)史料及教育方法，讓學(xué)生在寬松的環(huán)境中了解更多的數(shù)學(xué)史知識，感受博大而又精深的數(shù)學(xué)文化。

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